2．2圓的切線的判定和性質(zhì)[對應(yīng)學(xué)生用書P15]eq\a\vs4\al([自主學(xué)習(xí)])1．切線的判定定理文字語言符號語言圖形語言切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線OA是圓O的半徑．直線l⊥OA且A∈l，則l是圓O的切線2．切線的性質(zhì)定理及推論文字語言符號語言圖形語言切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑直線l與圓O相切于點(diǎn)A，則l⊥OA推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線經(jīng)過切點(diǎn)直線l與圓O相切于點(diǎn)A.過O作直線m⊥l，則A∈m推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線經(jīng)過圓心直線l與圓O相切于點(diǎn)A過A作直線m⊥l，則O∈m3．切線長定理過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這兩條切線長相等．eq\a\vs4\al([合作探究])怎樣求圓的切線長？提示：利用圓外的點(diǎn)、圓心、切點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形求長．[對應(yīng)學(xué)生用書P16]切線的判定定理的應(yīng)用[例1]如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圓．求證：AC是⊙O的切線．[思路點(diǎn)撥]本題主要考查切線的判定問題，解此題時只需證明AC⊥OE即可．∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E為⊙O半徑OE的外端，∴AC是⊙O的切線．證明直線與圓相切一般有以下幾種方法：(1)直線與圓只有一個公共點(diǎn)；(2)圓心到直線的距離等于圓的半徑；(3)切線的判定定理．幾何證明問題常用方法(3)．1．如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，要使DE是⊙O的切線，還需補(bǔ)充一個條件，則補(bǔ)充的條件不正確的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD解析：選A當(dāng)AB＝AC時，如圖：連接AD，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以AD⊥BC，所以CD＝BD，因?yàn)锳O＝BO，所以O(shè)D是△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，因?yàn)镈E⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切線．所以B正確．當(dāng)CD＝BD時，AO＝BO，同B，所以C正確．當(dāng)AC∥OD時，因?yàn)镈E⊥AC，所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切線．所以D正確．2．已知D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求證：AB是△BCD的外接圓的切線．證明：如圖，連接OB，OC，OD，OD交BC于E.∵∠DCB是所對的圓周角，∠BOD是所對的圓心角，∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵∠ADB是△BCD的一個外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，從而∠BOC＝120°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，∵∠EOC＝∠ECO＝30°，∴OE＝EC.在△BOE中，∵∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，∴BE＝2OE＝2EC，∴eq\f(CE,BE)＝eq\f(CD,DA)＝eq\f(1,2)，∴AB∥OD.∴∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圓的切線.切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用[例2]如圖，已知∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，CD為⊙O的直徑，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半徑．[思路點(diǎn)撥]⊙O切AB于點(diǎn)E，由圓的切線的性質(zhì)，易聯(lián)想到連接OE構(gòu)造Rt△OAE，再利用相似三角形的性質(zhì)，求出⊙O的半徑．∵AB與⊙O切于點(diǎn)E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.∵∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(AO,AB).∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴eq\f(OE,5)＝eq\f(12－OE,13)，∴OE＝eq\f(10,3).即⊙O的半徑為eq\f(10,3).利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算有時需添加輔助線，其中連接圓心和切點(diǎn)的半徑是常用輔助線，從而可以構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．3.如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，延長AO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC.若∠A＝40°，則∠C＝()A．20° B．25°C．40° D．50°解析：選B連接OB，因?yàn)锳B切⊙O于點(diǎn)B，所以O(shè)B⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°，又因?yàn)辄c(diǎn)C在AO的延長線上，且在⊙O上，4．AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC.證明：連接OD，則OD⊥DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以O(shè)C＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA.所以AB＝2BC.[例3]如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作⊙O的切線交AC于E.求證：DE⊥AC.[思路點(diǎn)撥]本題主要考查切線性質(zhì)定理的應(yīng)用．解題時由于DE是⊙O的切線，則OD⊥DE，故要證DE⊥AC，只需證明OD∥AC即可．[精解詳析]連接OD、AD，如圖．∵AB為⊙O直徑，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，即△ABC為等腰三角形，∴AD為BC邊上的中線，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.與圓的切線有關(guān)問題往往連接圓心與切點(diǎn)添加輔助線后出現(xiàn)垂直關(guān)系，這是解決圓的切線問題的一個關(guān)鍵點(diǎn)．5．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝20°，求∠P的度數(shù)．∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠OAB＝∠OBA.又∠BAC＝20°，∴∠OBA＝20°，∠BAP＝90°－∠BAC＝70°，∠ABP＝90°－∠OBA＝70°.∴∠P＝180°－∠BAP－∠ABP＝40°.6.如圖，已知AD為⊙O的直徑，B為AD延長線上一點(diǎn)，BC與⊙O切于C點(diǎn)，∠A＝30°.求證：(1)BD＝CD.(2)△AOC≌△BDC.證明：(1)因?yàn)锳D為⊙O的直徑，所以∠ACD＝90°，又因?yàn)椤螦＝30°，OA＝OC＝OD，所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，又因?yàn)锽C與⊙O切于C點(diǎn)，所以∠OCB＝90°，所以∠BCD＝30°，所以∠B＝30°，所以∠BCD＝∠B，所以BD＝CD.(2)因?yàn)椤螦＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，所以AC＝BC，在△AOC和△BDC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,AC＝BC，,∠ACO＝∠BCD，))所以△AOC≌△BDC.本課時主要考查圓的切線的性質(zhì)定理與判定定理的應(yīng)用，題目難度中檔．[考題印證]如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30°，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長線交于點(diǎn)P，則PA＝.[命題立意]本題主要考查圓的切線的性質(zhì)定理和圓周角定理的應(yīng)用．由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan60°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)[對應(yīng)學(xué)生用書P18]一、選擇題1．矩形的兩鄰邊長分別為2.5和5，若以較長一邊為直徑作半圓，則矩形中與半圓相切的邊有()A．1條 B．2條C．3條 D．0條解析：選C以較長的邊為直徑作半圓，半徑正好與另一邊相等，所以由圖可知，與半圓相切的邊有3條．2.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，連接OE，OF，則∠EOF＝()A．30° B．45°C．100° D．90°解析：選C因?yàn)椤螦BC＝40°，∠ACB＝60°，所以∠A＝80°，則∠EOF＝180°－80°＝100°.3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，PC＝AC＝1，則⊙O的半徑為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),5) D．eq\f(\r(2),5)解析：選A連接OC.設(shè)∠PAC＝θ.因?yàn)镻C＝AC，所以∠CPA＝θ，∠COP＝2θ.又因?yàn)镻C與⊙O相切于點(diǎn)C，所以O(shè)C⊥PC.所以3θ＝90°.所以θ＝30°.設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△POC中，r＝CP·tan30°＝1×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),3).4．如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過B點(diǎn)的切線與AD的延長線交于C，若AD＝DC，則sin∠ACO＝()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(2),10)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),4)解析：選A連接BD，則BD⊥AC.∵AD＝DC，∴BA＝BC，∵BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，∴∠OBC＝90°，∠BCA＝45°.∴sin∠BCO＝eq\f(OB,OC)＝eq\f(OB,\r(5)OB)＝eq\f(\r(5),5)，cos∠BCO＝eq\f(BC,OC)＝eq\f(2OB,\r(5)OB)＝eq\f(2\r(5),5).∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin45°cos∠BCO－cos45°sin∠BCO＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(10),10).二、填空題5．如圖，⊙O是邊長為2的等邊△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑為．解析：設(shè)⊙O與BC邊的切點(diǎn)為D，連接OD以及OC，如圖，由等邊三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得OD⊥BC，∠OCD＝30°，OD即為圓的半徑．又由BC＝2，則CD＝1，所以在Rt△OCD中，eq\f(OD,CD)＝tan30°，解得OD＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)6．如圖，已知EB是半圓O的直徑，A是BE延長線上一點(diǎn)，AC切半圓O于點(diǎn)D，BC⊥AC于C，若BC＝6，AC＝8，則AE＝，AD＝.解析：據(jù)題意設(shè)圓的半徑為R，連接OD，由OD∥BC得：eq\f(OD,BC)＝eq\f(AO,AB)?eq\f(R,6)＝eq\f(10－R,10)?R＝eq\f(15,4)，故AE＝10－2R＝eq\f(5,2)，由eq\f(AD,AC)＝eq\f(OD,BC)，得AD＝5.答案：eq\f(5,2)57．已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB＝1，則圓O的半徑R＝.解析：AB＝eq\r(AP2－PB2)＝eq\r(3).由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(3).∴R＝eq\r(3).8．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90°，AO的延長線交BC于點(diǎn)D，AC＝4，CD＝1，則⊙O的半徑等于．解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)E為BC與⊙O的切點(diǎn)，連接OE，則OE⊥BC.又∵∠C＝90°，∴DE＝1－r.∴eq\f(DE,DC)＝eq\f(OE,AC)，∴eq\f(1－r,1)＝eq\f(r,4)，解得r＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)三、解答題9.如圖，AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接PC交⊙O于點(diǎn)B，連接AB，且PC＝10，PA＝6.求：(1)⊙O的半徑．(2)cos∠BAC的值．解：(1)因?yàn)锳C是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，所以CA⊥PA，即∠PAC＝90°，因?yàn)镻C＝10，PA＝6，所以AC＝eq\r(PC2－PA2)＝8，所以O(shè)A＝eq\f(1,2)AC＝4，所以⊙O的半徑為4.(2)因?yàn)锳C是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，所以∠ABC＝∠PAC＝90°，所以∠P＋∠C＝90°，∠BAC＋∠C＝90°，所以∠BAC＝∠P，在Rt△PAC中，cos∠P＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以cos∠BAC＝eq\f(3,5).10．如圖，已知PAB是⊙O的割線，AB為⊙O的直徑．PC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，BD⊥PC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，PA＝AO＝OB＝1.(1)求∠P的度數(shù)；(2)求DE的長．解：(1)∵C為切點(diǎn)，∴OC⊥PC，△POC為直角三角形．∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，∴sinP＝eq\f(OC,PO)＝eq\f(1,2).∴∠P＝30°.(2)∵BD⊥PD，在Rt△PBD中，由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，得BD＝eq\f(3,2).連接AE，則∠AEB＝90°，∴AE∥PD.∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin30°＝1，∴DE＝BD－BE＝eq\f(1,2).11．如圖所示，⊙O的外切四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°.(1)求證：OC⊥OD.(2)若CD＝4cm，∠BCD＝60°，求⊙O的半徑