22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系第22章

一元二次方程【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********幻燈片1：封面標(biāo)題：22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系副標(biāo)題：揭示根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化解題過程幻燈片2：復(fù)習(xí)回顧一元二次方程的一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。求根公式：當(dāng)\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)時(shí)，方程的根為\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。引入：我們已經(jīng)知道，通過求根公式可以求出一元二次方程的根，那么方程的根與系數(shù)之間是否存在某種直接的關(guān)系呢？本節(jié)課將探索這一問題?；脽羝?：根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)設(shè)一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個(gè)根為\(x_1\)和\(x_2\)，根據(jù)求根公式：\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)\(x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)計(jì)算兩根之和：\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)合并分子：\(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{a}\)計(jì)算兩根之積：\(x_1\cdotx_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\cdot\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\)利用平方差公式：\(\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)結(jié)論：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩個(gè)根\(x_1\)、\(x_2\)滿足：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)幻燈片4：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）內(nèi)容：對(duì)于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根\(x_1\)、\(x_2\)（即\(\Delta\geq0\)），則有：兩根之和：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)兩根之積：\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)說明：該關(guān)系最早由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，因此也稱為韋達(dá)定理。特殊情況：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)\(a=1\)時(shí)，方程化為\(x^2+px+q=0\)，則\(x_1+x_2=-p\)，\(x_1\cdotx_2=q\)，此時(shí)關(guān)系更簡(jiǎn)潔?；脽羝?：例題1——已知方程求兩根的和與積題目：已知方程\(2x^2-3x-1=0\)的兩個(gè)根為\(x_1\)、\(x_2\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1\cdotx_2\)的值。解答過程：確定方程中\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)的值：\(a=2\)，\(b=-3\)，\(c=-1\)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：\(x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}\)\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\)結(jié)論：\(x_1+x_2=\frac{3}{2}\)，\(x_1\cdotx_2=-\frac{1}{2}\)?；脽羝?：例題2——已知一根求另一根及字母系數(shù)題目：已知方程\(x^2+mx+6=0\)的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及\(m\)的值。解答過程：設(shè)方程的另一個(gè)根為\(x_2\)，方程中\(zhòng)(a=1\)，\(b=m\)，\(c=6\)。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：兩根之積：\(2\cdotx_2=\frac{c}{a}=6\)，解得\(x_2=3\)。兩根之和：\(2+x_2=-\frac{a}=-m\)，即\(2+3=-m\)，解得\(m=-5\)。驗(yàn)證：將\(x=2\)代入方程\(x^2-5x+6=0\)，左邊\(=4-10+6=0\)，符合方程，結(jié)果正確。結(jié)論：另一個(gè)根是3，\(m\)的值是\(-5\)?；脽羝?：例題3——利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值題目：已知方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個(gè)根為\(x_1\)、\(x_2\)，求下列代數(shù)式的值：（1）\(x_1^2+x_2^2\)（2）\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)解答過程：由根與系數(shù)的關(guān)系得：\(x_1+x_2=4\)，\(x_1\cdotx_2=3\)。（1）\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdotx_2=4^2-2\times3=16-6=10\)。（2）\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdotx_2}=\frac{4}{3}\)。結(jié)論：（1）\(10\)；（2）\(\frac{4}{3}\)?；脽羝?：例題4——已知兩根構(gòu)造一元二次方程題目：求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是3和\(-2\)。解答過程：方法一：設(shè)所求方程為\(x^2+px+q=0\)（\(a=1\)）。由根與系數(shù)的關(guān)系：\(3+(-2)=-p\)，\(3\times(-2)=q\)。解得\(p=-1\)，\(q=-6\)，所以方程為\(x^2-x-6=0\)。方法二：根據(jù)方程的根的定義，若\(x_1\)、\(x_2\)是方程的根，則方程可表示為\((x-x_1)(x-x_2)=0\)。代入得\((x-3)(x+2)=0\)，展開得\(x^2-x-6=0\)。結(jié)論：所求一元二次方程為\(x^2-x-6=0\)?；脽羝?：根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用場(chǎng)景總結(jié)已知一元二次方程，求兩根的和與積。已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知系數(shù)。已知方程的兩根，構(gòu)造一元二次方程。利用兩根的和與積，求與根相關(guān)的代數(shù)式的值（如\(x_1^2+x_2^2\)、\((x_1-x_2)^2\)、\(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}\)等）。結(jié)合判別式，解決與根的性質(zhì)相關(guān)的綜合問題（如已知兩根的關(guān)系求系數(shù)取值范圍）?；脽羝?0：易錯(cuò)點(diǎn)分析忽略方程有實(shí)根的前提：應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，需先確保方程有實(shí)數(shù)根（即\(\Delta\geq0\)），否則關(guān)系不成立。例如，方程\(x^2+x+1=0\)的\(\Delta=-3<0\)，無實(shí)根，不能用韋達(dá)定理求“兩根之和”與“兩根之積”。確定\(a\)、\(b\)、\(c\)時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤：方程\(x^2-5x+6=0\)中，\(b=-5\)，\(c=6\)，若錯(cuò)誤認(rèn)為\(b=5\)，則會(huì)得到\(x_1+x_2=-5\)的錯(cuò)誤結(jié)果，正確應(yīng)為\(x_1+x_2=5\)。代數(shù)式變形錯(cuò)誤：計(jì)算\(x_1^2+x_2^2\)時(shí)，錯(cuò)誤地寫成\((x_1+x_2)^2\)，忽略減去\(2x_1x_2\)，正確公式應(yīng)為\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)。構(gòu)造方程時(shí)形式錯(cuò)誤：已知兩根\(x_1\)、\(x_2\)構(gòu)造方程時(shí)，誤寫為\((x+x_1)(x+x_2)=0\)，正確應(yīng)為\((x-x_1)(x-x_2)=0\)?；脽羝?1：課堂練習(xí)1——基礎(chǔ)計(jì)算題目：已知方程\(3x^2+5x-2=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，求：（1）\(x_1+x_2\)（2）\(x_1\cdotx_2\)（3）\(x_1^2+x_2^2\)答案：（1）\(-\frac{5}{3}\)；（2）\(-\frac{2}{3}\)；（3）\(\frac{37}{9}\)（解析：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\left(-\frac{5}{3}\right)^2-2\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{25}{9}+\frac{4}{9}=\frac{29}{9}\)？此處原計(jì)算有誤，正確應(yīng)為\(\frac{25}{9}+\frac{4}{9}=\frac{29}{9}\)）?；脽羝?2：課堂練習(xí)2——綜合應(yīng)用題目：已知關(guān)于\(x\)的方程\(x^2+(2k-1)x+k^2=0\)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根\(x_1\)、\(x_2\)，且\(x_1+x_2=-x_1\cdotx_2-1\)，求\(k\)的值。解答過程：由根與系數(shù)的關(guān)系：\(x_1+x_2=-(2k-1)=1-2k\)，\(x_1\cdotx_2=k^2\)。根據(jù)題意：\(1-2k=-k^2-1\)，整理得\(k^2-2k+2=0\)。計(jì)算判別式\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times2=4-8=-4<0\)，此方程無實(shí)根。同時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，需\(\Delta=(2k-1)^2-4k^2=1-4k\geq0\)，即\(k\leq\frac{1}{4}\)。綜上，不存在滿足條件的\(k\)值。結(jié)論：\(k\)的值不存在。幻燈片13：課堂小結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：對(duì)于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)，\(\Delta\geq0\)），兩根\(x_1\)、\(x_2\)滿足\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}\)。核心應(yīng)用：求兩根的和與積、已知一根求另一根及系數(shù)、構(gòu)造方程、求代數(shù)式的值。注意事項(xiàng)：應(yīng)用前需確保方程有實(shí)數(shù)根（\(\Delta\geq0\)），準(zhǔn)確確定系數(shù)符號(hào)，熟練掌握代數(shù)式變形技巧?；脽羝?4：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：已知方程\(x^2-6x+8=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，求\(x_1+x_2\)、\(x_1\cdotx_2\)以及\((x_1-x_2)^2\)的值。已知方程\(2x^2+mx-3=0\)的一個(gè)根是3，求另一個(gè)根和\(m\)的值。提升作業(yè)：已知方程\(x^2+px+q=0\)的兩根為\(2+\sqrt{3}\)和\(2-\sqrt{3}\)，求\(p\)和\(q\)的值。若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^2-4x+k-3=0\)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為\(x_1\)、\(x_2\)，且滿足\(x_1=3x_2\)，求\(k\)的值。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解求出一元二次方程x2+3x

–4=0的兩根x1

和x2，計(jì)算x1+x2

和x1·x2

的值.它們與方程的系數(shù)有什么關(guān)系？新課導(dǎo)入試一試x2+3x

–4=0的兩根為x1=1和x2=–4，于是x1+x2

=–3，

x1·x2=–4.x2+3x

–4=0二次項(xiàng)系數(shù)為1一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)相反數(shù)相等對(duì)于任何一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，是否都有這樣的結(jié)果呢？探索我們來考察方程x2+px+q=0（p2–4q

≥0）.由一元二次方程的求根公式，得到方程的兩根分別為推進(jìn)新課所以概括二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)一元二次方程x2+px+q=0的兩根為x1、x2，那么x1+x2=–p

，x1·x2=q.不解方程，求出方程的兩根之和和兩根之積：（1）x2+3x

–5=0；

（2）2x2

–3x–5=0；例8解（1）設(shè)兩根為x1、x2，由上述二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2=–3，x1·x2=–5.（2）方程兩邊同除以2，得設(shè)兩根為x1、x2

，可得試探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2

–4ac

≥0)的根與系數(shù)的關(guān)系.例9解方程兩邊同除以a

，得由二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得這就是一般情形下一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.前面概括的結(jié)論是它的特例（二次項(xiàng)系數(shù)為1）.隨堂演練1.不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：（1）(x+1)(x–2)=0；（2）3x2+7x=6.（1）x1+x2=1，x1·x2=–2.x2

–x–2=03x2+7x

–6=02.兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（）A.7x2–12x+5=0B.6x2–13x–5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x–8=0Cx1+x2<0，x1·x2>0.3.已知α，β

是方程x2–3x–5=0的兩根，不解方程，求下列代數(shù)式的值.（2）α2+β2

（3）α–β（2）α2+β2=(α+β)2–2αβ=32

–2×(–5)=19；（3）(α

–

β)2=

(α+β)2–4αβ=29，－2返回1.利用公式法求解方程ax2＋bx＋c＝0，x＝____________，則x1＋x2＝________，x1x2＝________．在方程x2＋2x－1＝0中，x1＋x2＝______；x1x2＝________．－1A返回C返回3.下列一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和為－3的是(

)A．x2＋2x－3＝0B．x2－3x－3＝0C．x2＋3x－5＝0D．x2－3x＋2＝04．已知方程x2－2x＋k＝0的一個(gè)根為x＝－2，則方程的另一個(gè)根為________．【變式題】[2025太原期中]已知關(guān)于x的一元二次方程x2－bx＋4＝0的一個(gè)根是x＝1，則另一個(gè)根是________．x＝4返回x＝45．不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：(1)3x2＋2x－3＝0；(2)x2＋x＝6x＋7；

(3)－2x2＋7x＝6.解：整理，得x2－5x－7＝0，所以x1＋x2＝5，x1x2＝－7.返回A返回返回7．[2025安陽期末]已知實(shí)數(shù)m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2＋9x－1＝0的兩個(gè)根，則代數(shù)式m＋n－2mn的值是(

)A．－7B．7C．－11

D．11A返回D返回9．若關(guān)于x的方程x2＋2x＋k＝0有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(

)A．k<1B．0<k≤1C．0≤k<1D．k>0B10．若關(guān)于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且x1＝3x2，則m的值為________．12返回11．[2025南陽聯(lián)考]已知一元二次方程2x2－x－2＝0的兩根是x1，x2，求下列代數(shù)式的值．(1)(x1－x2)2;返回(2)x12＋x22.12．小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是－2和－5.則原來的方程是(

)A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0返回B返回202813．[2024德州中考]已知a和b是方程x2＋2024x－4＝0的兩個(gè)解，則a2＋2023a－b的值為________．返回14．已知x1，x2是方程2x2＋kx－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且(x1－2)(x2－2)＝10，則k的值為________．715.已知a、b滿足(a＋3)(a＋4)＝2，(