10.4線段的垂直平分線它們有什么共同的特點(diǎn)？溫故知新導(dǎo)入新課1.軸對稱圖形具有軸對稱的特點(diǎn)而顯得異常美麗.那什么樣的圖形是軸對稱圖形呢?如果一個圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸.1、畫一條線段BC,對折BC使點(diǎn)B、C重合，折痕與BC的交點(diǎn)為D.畫一畫、想一想2、想一想:BD=CD嗎?折痕與直線所成的兩個角是多少度?折痕(即線段的對稱軸)與線段有什么關(guān)系?垂直平分證明BClD新知探究A通過剛才的動畫對垂直平分線有了一個直觀感受，下面給出數(shù)學(xué)證明。垂直平分線：垂直且平分一條線段的直線動手操作怎樣畫出線段的垂直平分線？方法①：折紙方法②：過中點(diǎn)畫垂線動手操作怎樣畫出線段的垂直平分線？AB已知:線段AB,如圖.求作:線段AB的垂直平分線.作法:1.分別以點(diǎn)A，B為圓心,大于

AB長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C和D.ABCD2.過點(diǎn)C,D作直線CD.則直線CD就是線段AB的垂直平分線.請與同伴交流CD為什么是AB的垂直平分線？方法③：尺規(guī)作圖動手操作畫一畫、想一想1、請大家兩個人為一組，一個人畫一條線段AB另一人作出這條線段的垂直平分線2、在線段AB的垂直平分線上任取一點(diǎn)P，分別連結(jié)PA、PB，你發(fā)現(xiàn)連結(jié)的這兩條線段有什么關(guān)系？3、換個點(diǎn)再試一試？通過剛才的探究，你有猜想，如何驗(yàn)證？線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

探究發(fā)現(xiàn)

線段垂直平分線的性質(zhì)已知：如圖，MN⊥AB于點(diǎn)C，AC=BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)。試說明：PA=PB△APC≌△BPC邊:角:邊:∠ACP=∠BCPAC=BC分析：要得到AP=BPPC=PCCMABNP（1）如何說明PA=PB？思考（2）請你書寫過程？

歸納總結(jié)

線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。幾何語言CMABNP∵M(jìn)N⊥AB，AC=BC，點(diǎn)P在直線MN上∴AP=BP點(diǎn)在線段垂直平分線上距離（線段）相等【用途】利用“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”可以解決線段相等的問題。例1

如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于DABCED（1）若∠A=40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若△DBC的周長為15cm，BC=5cm，求AC的長。解：(1)∵AB=AC,∠A=40°∴∠C=∠ABC=（180°-40°）2=70°∵DE垂直平分AB

∴AD=BD∴∠A=∠ABD=40°∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°(2)∵DE垂直平分AB

∴AD=BD∴AD+CD=BD+CD=AC∵△DBC的周長為15cm，BC=5cm∴BD+CD+BC=15∴BD+CD=AC=10cmABCED

探究發(fā)現(xiàn)

線段垂直平分線的判定問題1：請你指出“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”

的條件和結(jié)論。條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上結(jié)論：點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等問題2：請你寫出“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”

的逆命題。到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。問題3：這個命題是真命題嗎？若是，請你證明，若不是，請舉反例。

探究發(fā)現(xiàn)

線段垂直平分線的判定已知：如圖，QA=QB試說明：點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上QABMNC解：過點(diǎn)Q作MN⊥AB于點(diǎn)C在Rt△AQC和Rt△BQC中∴∠QCA=∠QCB=90°AQ=BQ（已知）QC=QC（公共邊）∴Rt△AQC≌Rt△BQC（HL）∴AC=BC到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。作垂直，證中點(diǎn)取中點(diǎn)，證垂直

歸納總結(jié)

線段垂直平分線的判定定理到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。幾何語言∴

MN⊥AB，AC=BC∵

AQ=BQ點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等點(diǎn)在線段的垂直平分線上【用途】利用“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”可以解決點(diǎn)的位置問題。QABMNC1.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段

AB

的垂直平分線交

AB

于

D，交

AC

于

E，連接

BE，則∠CBE

等于()A．80°

B．70°C．60°D．50°CBADEC2.如圖所示，在△ABC

中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線交BC

于點(diǎn)

D，DF⊥AC于點(diǎn)

F，

并與

BC邊上的高

AE交于

G.求證：EG＝EC.FABCEGD證明：連接

AD.∵點(diǎn)

D在線段

AB

的垂直平分線上，∴EG＝EC.∴△DEG≌△AEC(ASA).∴∠CAE＝∠CDF.∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.又∵DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.∴AE＝DE.∵AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.FABCEGD作法：(1)作直線

l.3.已知：線段

a.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.EDlABaC

N

Maa(5