第1章有理數(shù)1.1從自然數(shù)到有理數(shù)模塊導引：模塊導引：學習目標知識精講思維導圖考點解析課后作業(yè)清晰闡述自然數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)的概念，明確其產(chǎn)生背景與生活實際聯(lián)系。清晰闡述自然數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)的概念，明確其產(chǎn)生背景與生活實際聯(lián)系。熟練運用自然數(shù)和分數(shù)解決簡單實際問題，能準確識別并判斷有理數(shù)。深入領會數(shù)的發(fā)展歷程，感受因生活和生產(chǎn)需要數(shù)的不斷擴充過程。一、自然數(shù)的概念自然數(shù)是指用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4……所表示的數(shù)。自然數(shù)由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數(shù)有有序性，無限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質數(shù)等二、正數(shù)與負數(shù)3）符號：一個數(shù)前面的“”，“”號叫做它的符號．正數(shù)前面的“”號可以省略，注意與表示是同一個正數(shù)．負數(shù)前面的“”號不可以省略．注：不能簡單的根據(jù)符號來判斷正負，而需要根據(jù)正負數(shù)的定義判別．三、用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量如果正數(shù)表示某種意義，那么負數(shù)表示它的相反意義，反之亦然．“相反意義的量”包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是要有量．四、“0”的特殊性1）既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；2）是正數(shù)與負數(shù)的分界；3）是自然數(shù)；4）的意義：有時表示沒有，比如文具盒中有支鉛筆，表示沒有鉛筆；有時是一個數(shù)，比如是一個確定的溫度；有時也作為基準，比如海拔高度為表示的是海平面的平均高度．五、有理數(shù)的概念與分類1）整數(shù)：正整數(shù)、、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)．所有的正整數(shù)組成正整數(shù)集合，所有的負整數(shù)組成負整數(shù)集合．2）分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)．有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分數(shù)，所以我們也把它們看成分數(shù)．3）有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．4）有理數(shù)的分類：考點一：正負數(shù)的意義1．在，，0，中負數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了正負數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握正負數(shù)的定義．根據(jù)負數(shù)的定義，小于0的數(shù)為負數(shù)，逐一判斷所給的各數(shù)即可．【詳解】題目中的四個數(shù)分別為：：負數(shù)；：正數(shù)；：既不是正數(shù)也不是負數(shù)；：負數(shù)．其中負數(shù)為和，共2個．故選：B．【答案】B【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負數(shù)的意義是解答本題的關鍵．已知收入記為“”，則支出應記為“”，直接根據(jù)數(shù)值對應符號即可得出答案．所以支出元記作元．故選：B．A． B．0 C． D．4【答案】A【詳解】本題考查負數(shù)的概念，負數(shù)是指小于0的數(shù)．根據(jù)負數(shù)的概念判斷即可．故選：A．4．《九章算術》是我國古代著名的數(shù)學著作，在世界數(shù)學史上首次正式引入負數(shù)．若收入元記作元，則支出元記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負數(shù)的意義是解答本題的關鍵．在一對具有相反意義的量中，規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．根據(jù)題意，收入與支出為相反意義的量，若收入記為正，則支出應記為負．【詳解】解：∵收入元記作元，∴支出元記作元．故選：B．5．下列數(shù)是負數(shù)的是（

）【答案】B【分析】本題考查負數(shù)的定義，掌握知識點是解題的根據(jù)．根據(jù)負數(shù)的定義，小于0的數(shù)為負數(shù)．直接判斷各選項的符號即可．【詳解】解：選項A：2025是正數(shù)，顯然大于0，不符合條件．選項B：2025帶有負號，數(shù)值部分為2025，因此是負數(shù)，符合題意．選項C：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，不符合條件．故選B．考點二：相反意義的量【答案】B【分析】本題考查正負數(shù)的實際應用，需根據(jù)題意確定正負號的意義．故選：B．7．我國是歷史上最早認識和使用負數(shù)的國家，現(xiàn)在手機微信掃碼收付款快捷方便，成為了當代人的一種生活方式．如果把收款20元記為元，那么元表示（

）A．收款5元 B．付款5元 C．收款15元 D．付款15元【答案】B【分析】本題考查了相反意義的量“用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量，具有相反意義的量都是相互依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是他們都是數(shù)量”，熟記相反意義的量的定義是解題關鍵．根據(jù)相反意義的量的定義求解即可得．【詳解】解：因為收款與付款是一對具有相反意義的量，所以如果把收款20元記為元，那么元表示付款5元，故選：B．【答案】A【分析】本題考查了相反意義的量“用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量，具有相反意義的量都是相互依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是他們都是數(shù)量”，熟記相反意義的量的定義是解題關鍵．根據(jù)相反意義的量的定義求解即可得．【詳解】解：因為升高與下降是一對具有相反意義的量，故選：A．【答案】D故選：D．10．在現(xiàn)實生活中，正數(shù)和負數(shù)都有實際意義．若將向東走10米記作米，則向西走20米記作（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查正負數(shù)的實際應用，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：根據(jù)題意，向東走10米記作米，規(guī)定東為正方向，則西為負方向，因此，向西走20米應記作米．故選：D．考點三.正負數(shù)的實際應用【答案】D【分析】本題考查正負數(shù)的實際應用，解題關鍵是明確正負數(shù)表示具有相反意義的量．∴零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負數(shù)表示，故選：D．12．中國人很早就開始使用負數(shù)．早在1700多年前，我國數(shù)學家劉徽給出了用算籌區(qū)分正數(shù)、負數(shù)的方法，即“正算赤，負算黑”，就是用紅色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負數(shù)．如圖：（此算籌為紅色）．表示的數(shù)是：如圖：（此算籌為黑色），表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了對古代用算籌表示正負數(shù)方法的理解運用，需明確算籌表示數(shù)字的規(guī)則是解決本題的關鍵．根據(jù)“正算赤，負算黑”的原則，算籌為黑色即表示負數(shù)，再根據(jù)算籌橫豎所表示的數(shù)位求解即可．【詳解】解：因為“正算赤，負算黑”，所以算籌為黑色即表示負數(shù)，因為如圖：（此算籌為紅色），表示的數(shù)是，可知左側一橫表示十位數(shù)，右側一豎表示個位數(shù)，所以如圖：（此算籌為黑色），表示的數(shù)是．故選：B．13．某學員在駕校練習駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相同，則兩次拐彎的角度可能是（

）A．第一次向左拐，第二次向右拐【答案】A【分析】本題考查了正負數(shù)的實際應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相同，說明兩次拐彎的總效果相當于沒有改變方向，將向左拐的角度視為正，向右拐的角度視為負，兩次拐彎的角度之和應為0°，逐項判斷即可．綜上，只有選項A滿足兩次拐彎角度之和為0°，方向不變；故選：A．14．中國人很早就開始使用負數(shù)．魏晉時期的數(shù)學家劉徽在其著作《九章算術注》中用不同顏色的算籌分別表示正數(shù)和負數(shù)（紅色為正，黑色為負）．若紅色算籌“”表示的數(shù)是“”，則黑色算籌“”表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，根據(jù)例題的思路，以及正數(shù)和負數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：若紅色算籌“”表示的數(shù)是“”，則黑色算籌“”表示的數(shù)是，故選：C．【答案】B【分析】根據(jù)溫度范圍的表示方法，以為基準，允許上下浮動，計算最低和最高溫度即可確定正確選項．故項：B．考點四.有理數(shù)的定義16．下列說法正確的是（

）A．一定是負數(shù) B．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)C．有理數(shù)分為正數(shù)，負數(shù)和零 D．正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的基本概念．根據(jù)有理數(shù)的基本概念逐一分析即可．【詳解】解：A：當為負數(shù)時，為正數(shù)，故原說法錯誤；B：根據(jù)有理數(shù)的定義，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故原說法正確；C：有理數(shù)分為正有理數(shù)、負有理數(shù)和零，而非籠統(tǒng)的“正數(shù)、負數(shù)和零”，故原說法錯誤；D：整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)和零，選項中遺漏了零，故原說法錯誤；故選：B．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的定義，熟練掌握有理數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的定義進行判定即可．故選A．18．在下列四個數(shù)中，有理數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)有理數(shù)（能表示為兩個整數(shù)之比，包含整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)）和無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）的定義，逐一判斷選項中的數(shù)所屬類型．本題主要考查了有理數(shù)與無理數(shù)的定義，熟練掌握有理數(shù)（可表示為兩整數(shù)之比，含整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)）和無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）的定義是解題的關鍵．【詳解】有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)．選項A：（圓周率）是無限不循環(huán)小數(shù)，不屬于有理數(shù)．選項B：是分數(shù)，符合有理數(shù)的定義．綜上，只有選項B是有理數(shù)．故選：BA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的概念，有理數(shù)是包括分數(shù)、有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)；據(jù)此判斷即可．故選：D．20．下列說法中，錯誤的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的兩種分類方法判斷即可．②是分數(shù)，不是整數(shù)，故②正確；③非負有理數(shù)是大于或等于零的有理數(shù)，故③錯誤；④是有理數(shù)，故④錯誤；⑤沒有最小的有理數(shù)，故⑤錯誤；⑥有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，故⑥錯誤；故選：D．考點五.數(shù)字0的意義21．下列說法正確的是（

）A．既是正數(shù)，也是負數(shù) B．表示沒有C．既不是正數(shù)，也不是負數(shù) D．比負數(shù)小【答案】C【分析】本題考查了的意義，根據(jù)的意義逐一排除即可，正確理解的意義是解題的關鍵．【詳解】解：、既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，原選項說法錯誤，不符合題意；、可以表示沒有，也可以表示其他，原選項說法錯誤，不符合題意；、既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，原選項說法正確，符合題意；、比負數(shù)大，原選項說法錯誤，不符合題意；故選：．22．下列說法正確的是（

）C．0是正數(shù) D．是分數(shù)但不是正數(shù)【答案】A【分析】本題主要考查了正負數(shù)的定義，分式的定義，0的意義，大于0的數(shù)叫做正數(shù)，小于0的數(shù)叫做負數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，據(jù)此結合分數(shù)的定義可得答案．B、是負數(shù)，也是整數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；C、0不是正數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；D、是分數(shù)，也是正數(shù)，原說法錯誤，故此選項不符合題意；故選：A．23．下列語句中正確的有(

)個．①不帶“”號的數(shù)都是正數(shù)；②如果是正數(shù)，那么一定是負數(shù)；③不存在既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)；④表示沒有溫度．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題主要考查正數(shù)與負數(shù)的意義，根據(jù)正數(shù)與負數(shù)的性質及的意義可求解．【詳解】解：①0不帶“”號但不是正數(shù)，故原說法錯誤；②如果是正數(shù)，那么一定是負數(shù)，故正確；③0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)，故原說法錯誤；④表示溫度為℃，故原說法錯誤．故正確的有1個．故選：A．24．下列敘述中，正確的是（

）A．0既不是正數(shù)也不是負數(shù) B．0是正數(shù)C．0是負數(shù) D．0不是整數(shù)【答案】A【分析】本題考查了的意義，有理數(shù)的分類，根據(jù)的意義逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是整數(shù)故選：A．25．下列對“0”的說法正確的個數(shù)是（

）①0是正數(shù)與負數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如；④0是正數(shù)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，根據(jù)0的意義，逐一判斷即可解答．【詳解】①因為正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，所以0是正數(shù)與負數(shù)的分界，故①正確；②0除了表示“什么也沒有”，還可以表示其他意義，如等，故②錯誤；③0可以表示特定的意義，如，故③正確；④0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，故④錯誤，綜上所述：正確的有①③，共2個，故選：B．一、單選題A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查了負有理數(shù)：既是負數(shù)又是有理數(shù)的數(shù)，即小于0的有理數(shù)，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，熟記負有理數(shù)的定義是解題關鍵．根據(jù)負有理數(shù)的定義逐個判斷即可得．0是有理數(shù)，但既不是正數(shù)也不是負數(shù)，故選：C．【答案】D故選：D．3．下面各數(shù)，只讀一個零的是（

）【答案】C【分析】本題考查了讀數(shù)的規(guī)則，根據(jù)整數(shù)的讀法規(guī)則，從高位起，每四位為一級，每級末尾的不讀，中間連續(xù)幾個只讀一個，需逐一分析各選項的讀法，判斷只讀一個零的選項．讀作：五百零八萬零五百，共讀兩個零，故A選項不符合題意；讀作：九千萬七千，不讀零，故B選項不符合題意；讀作：六百二十萬三千零九十，只讀一個零，故C選項符合題意．故選：C．【答案】A【分析】本題考查了正負數(shù)的意義．根據(jù)正負數(shù)表示相反意義的量，零上溫度用正數(shù)表示，則零下溫度用負數(shù)表示作答即可．故選：A．5．下面不具有相反意義的量是（

）A．身高增加和體重增長3千克 B．節(jié)約3噸水和浪費2噸水C．存入800元和支出500元 D．前進和后退【答案】A【分析】本題考查了相反意義的量，理解相反意義的量是解題的關鍵．根據(jù)兩個量是否具有相反意義逐項判定即可．判斷是否為相反意義的量需滿足兩點：意義相反且為同一種類的量．【詳解】相反意義的量需為同一屬性且方向相反．A．身高增加和體重增長屬于不同類別的量（身高與體重），無法構成相反意義，故此選項符合題意；B．節(jié)約與浪費均針對水的用量，是同一種類的量，具有相反意義的量，故此選項不符合題意；C．存入與支出均針對資金流動，是同一種類的量，具有相反意義的量，故此選項不符合題意；D．前進與后退均針對方向，是同一種類的量，具有相反意義的量，故此選項不符合題意；故選：A．A．向東走 B．向南走 C．向西走 D．向北走【答案】D【分析】本題考查正負數(shù)表示相反意義的量．題目中規(guī)定向南走記為“”，則相反方向向北走應記為“”．“”表示向南，“”表示其相反方向，即向北，故選：D．【答案】D【分析】本題考查具有相反意義的量，解決本題的關鍵突破口是理解用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量．首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據(jù)題意作答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負數(shù)表示．故選：D．8．“神舟二十號”載人飛船入軌后，于北京時間2025年4月24日23時49分，成功對接于空間站天和核心艙徑向端口，整個對接過程歷時約6.5小時．若飛船對接前5秒記為秒，那么飛船對接后10秒應記為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】A【分析】此題考查了相反意義的量，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個