1.2.3空間幾何體的直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則.2.會用斜二測畫法畫出簡單幾何體的直觀圖．知識點(diǎn)斜二測畫法思考1邊長2cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，A′B′與C′D′有何關(guān)系？A′D′與B′C′呢？在原圖與直觀圖中，AB與A′B′相等嗎？AD與A′D′呢？答案A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝eq\f(1,2)AD.思考2正方體ABCD－A1B1C1D1的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個面都畫成正方形了嗎？答案沒有都畫成正方形．梳理(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則(2)立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段長度不變，其他同平面圖形的畫法．類型一平面圖形的直觀圖例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖．解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫出相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點(diǎn)D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2)．(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)．引申探究例1中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．反思與感悟(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便．(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對應(yīng)線段．關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可．跟蹤訓(xùn)練1用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖．解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．(2)畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．類型二直觀圖的還原與計(jì)算eq\x(命題角度1由直觀圖還原平面圖形)例2如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形．解①畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，得△ABC.則△ABC即為△A′B′C′對應(yīng)的平面圖形，如圖所示．反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵：(1)平行x′軸的線段長度不變，平行y′軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍；(2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形是________．答案菱形解析如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．eq\x(命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計(jì)算)例3如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積．解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，即得到了原圖形．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長度AD＝2，所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.反思與感悟(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實(shí)際圖形中的高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45°角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高．(2)若一個平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S′，則S′＝eq\f(\r(2),4)S.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)答案C解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為eq\f(1,2)，又直觀圖與原平面圖形面積比為eq\r(2)∶4，所以原圖形的面積為eq\r(2)，故選C.類型三空間幾何體的直觀圖例4用斜二測畫法畫出正六棱柱(底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的棱柱)的直觀圖．(尺寸自定)解如圖所示．①畫軸．畫出x軸，y軸，z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②畫底面．畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.③畫側(cè)棱．過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長度相等的線段AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，F(xiàn)F′.④連線成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，并加以整理，就得到底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的正六棱柱．反思與感悟簡單幾何體直觀圖的畫法(1)畫軸：通常以高所在直線為z軸建系．(2)畫底面：根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法確定底面．(3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)．(4)連線成圖．跟蹤訓(xùn)練4用斜二測畫法畫出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點(diǎn)P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)解畫法：(1)畫出六棱錐P－ABCDEF的底面．①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，如圖(1)，畫出相應(yīng)的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如圖(2)；②在圖(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝eq\f(1,2)MN，以點(diǎn)N′為中點(diǎn)，畫出B′C′平行于x′軸，并且等于BC，再以M′為中點(diǎn)，畫出E′F′平行于x′軸，并且等于EF；③連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(2)畫出正六棱錐P－ABCDEF的頂點(diǎn)，在z′軸正半軸上截取點(diǎn)P′，點(diǎn)P′異于點(diǎn)O′.(3)成圖．連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸，便可得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′，如圖(3)．1．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()答案C解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1.2．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()答案C解析在x軸上或與x軸平行的線段在新坐標(biāo)系中的長度不變，在y軸上或平行于y軸的線段在新坐標(biāo)系中的長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直觀圖還原成原圖形為選項(xiàng)C.3．若一個三角形采用斜二測畫法，得到的直觀圖的面積是原三角形面積的()A.eq\f(\r(2),4)倍B．2倍C.eq\f(\r(2),2)倍D.eq\r(2)倍答案A4．如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實(shí)際長度是________．答案10解析在原圖中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，∴AB＝eq\r(62＋82)＝10.5．畫出一個正三棱臺的直觀圖．(尺寸：上、下底面邊長分別為1cm,2cm，高為2cm)解(1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖△ABC，其中O為△ABC的重心，BC＝2cm，線段AO與x軸的夾角為45°，AO＝2OD.(2)過O作z軸，使∠xOz＝90°，在z軸上截取OO′＝2cm，作上底面等邊三角形的直觀圖△A′B′C′，其中B′C′＝1cm，連接AA′，BB′，CC′，得正三棱臺的直觀圖．1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn)．確定點(diǎn)的位置，可采用直角坐標(biāo)系．建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上．2．用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握?。骸耙恍薄?、“二測”兩點(diǎn)：(1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′、O′y′軸，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱折半”．課時作業(yè)一、選擇題1．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′等于()A．45° B．135°C．90° D．45°或135°答案D解析因?yàn)椤螦的兩邊分別平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故選D.2．下面每個選項(xiàng)的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論．3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等邊三角形答案C4．關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖，以下說法正確的是()A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B．正方形的直觀圖為平行四邊形C．梯形的直觀圖不是梯形D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形答案B解析由直觀圖的性質(zhì)知B正確．5．下列直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的是()答案A解析由題意應(yīng)看到正方體的上面、前面和右面，由幾何體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的使用，可知A正確．6．已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為()A．16 B．64C．16或64 D．無法確定答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.7．如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的形狀是()答案A解析直觀圖中正方形的對角線長為eq\r(2)，故在平面圖形中平行四邊形的高為2eq\r(2)，只有A項(xiàng)滿足條件，故A正確．8．已知兩個底面半徑相等的圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm，另一個圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個頂點(diǎn)之間的距離為()A．2cmB．3cmC．2.5cmD．5cm答案D解析圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為2＋3＝5(cm)，在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為5cm.故選D.二、填空題9．在斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為________．答案(4,2)解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半”可得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,2)．10．在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在坐標(biāo)系xOy中原四邊形OABC為______(填形狀)，面積為________cm2.答案矩形8解析由題意結(jié)合斜二測畫法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四邊形OABC的面積為S＝2×4＝8(cm2)．11．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測畫法畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，則在直觀圖中，梯形的高為________．答案1解析作CD、BE⊥OA于點(diǎn)D、E，則OD＝EA＝eq\f(OA－BC,2)＝2(cm)，∴OD＝CD＝2cm，∴在直觀圖中梯形的高為eq\f(1,2)×2＝1(cm)．三、解答題12．如圖所示，畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖．解(1)過點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖(1)所示．畫出對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(2)所示．(2)如圖(2)所示，在x′軸正半軸上取點(diǎn)B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′正半軸上取一點(diǎn)D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形O′B′C′D′就是所求作的直觀圖．13．如圖所示，在△ABC中，AC＝12cm，AC邊上的高BD＝12cm，求其水平放置的直觀圖的面積．解方法一畫x′軸，y′軸，兩軸交于O′，使∠x′O′y′