垂直于弦的直徑人教版數(shù)學(xué)九年級上冊24.1.201020304教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷探究過程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、觀察分析、歸納問題和解決問題的能力。探索數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。圓的軸對稱性和垂徑定理探索并證明垂徑定理利用垂徑定理解決實(shí)際問題教學(xué)重、難點(diǎn)理解圓的對稱性根據(jù)垂徑定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明課堂導(dǎo)入如圖，1400多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)是37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，求趙州橋主橋拱的半徑(精確到0.1m)。知識講解1

用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？

可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形。任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸。知識講解2如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和?。浚?）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是CDODCBAE（2）AE=BE，AC=BC,AD=BD((((

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的常見基本圖形：ABOCDEABOEDABOEABO

EC上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件作題設(shè)都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？思考探索垂徑定理的條件與結(jié)論，即一條直線若滿足：①過圓心(CD是直徑)②垂直于弦(CD⊥AB)則可推出：③平分弦(AM=BM)④平分弦所對的優(yōu)弧(AC=BC)⑤平分弦所對的劣弧(AD=BD)·OCDMAB⌒⌒⌒⌒

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論運(yùn)用格式：·OCDABM∵CD是直徑，AM=BM∴CD⊥AB

AC=BC、AD=BD⌒⌒⌒⌒思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。思考當(dāng)直徑CD平分一條弦AB(不是直徑)時(shí)，能否得出CD

AB?OABCDE垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.為什么？圓的任意兩條直徑都互相平分，但它們不一定互相垂直.想一想判斷下列說法是否正確：1.垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.平分弦的直徑垂直于弦.COABDECOABD3.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑.過圓心不是直徑延伸垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.①過圓心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所對的優(yōu)弧,⑤平分弦所對的劣弧.④平分弦所對的弧,①②→③④⑤①③→②④⑤還有別的結(jié)論嗎？如：①④→②③⑤？問題解決：37m7.23mABOCD設(shè)AB所在的圓的圓心為O，連接OA，半徑為R.⌒根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.⌒⌒解：如圖，用AB表示主橋拱，⌒經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB交于點(diǎn)C.R18.57.23R－7.23

趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.問題解決：18.5ABOCD7.23R－7.23R解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在的圓的圓心為O，半徑為R.⌒⌒經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB交于點(diǎn)C，連接OA.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.⌒⌒∵AB=37m，CD=7.23m解得R≈27.3（m）答：趙州橋的主拱半徑約為27.3m.在Rt△OAD中，由勾股定理得∴R2=18.52+(R－7.23)2

OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.23∴AD=AB=×37=18.5m1212課堂小結(jié)：一：你學(xué)習(xí)了關(guān)于圓的哪些數(shù)學(xué)知識？二：你掌握了哪些常用的輔助線作法和解題方法？垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對的兩條?。?.垂徑定理：2.圓心到弦的距離、半徑、半弦構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形解決.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸．1.圓的軸對稱性：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．3.推論：D·OABCE1.關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，連接半徑等重要的輔助線.3.半徑、弦長、弦心距、弓形高中，知二求二.新知應(yīng)用解得.即因此，⊙O的半徑為5cm.在Rt△OEA中，由勾股定理，得2例3

如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證：AC＝BD.思路1：連接OA，OB，OC，OD．

證明△OAC≌△OBD（證明△OAD≌△OBC）．新知應(yīng)用例3

如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求證：AC＝BD.思路2：連接OA，OB，OC，OD．過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)．還有更簡單的證明方法嗎？新知應(yīng)用(4)若，CD是直徑,則

、

、

.(1)若CD⊥AB,CD是直徑,則

、

、

.(2)若AM=MB,CD是直徑,則

、

、

.(3)若CD⊥AB,AM=MB,則

、

、

.1.如圖所示:練習(xí)●OABCD└MAM=BM⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD⊥AB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD是直徑⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BCCD⊥ABAM=BM⌒⌒AD=BD2．判斷：（1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對的兩?。ǎ?）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一?。ǎ?）經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦．（）（4）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行．（）（5）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧．（）√