2.3函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性

考點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性

1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln為偶函數(shù),則a=()

2??1

2?+1

A.-1B.0C.D.1

1

2

答案B解法一:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln3,

1

f(-1)=(a-1)ln3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0.3

解法二:f(-x)=(-x+a)ln=(-x+a)ln=(x-a)ln,∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),

?2??12?+12??1

∴x+a=x-a,即a=0.?2?+12??12?+1

(全國(guó)乙理,,分,中)已知()是偶函數(shù),則()

2.202345fx=?a=

?e

??

A.-2B.-1C.1D.2e?1

答案D解法一(特值法):f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函數(shù),可得f(x)=f(-x),令

x=1,得f(1)=f(-1),

即,化簡(jiǎn)得e=ea-1,

e1

?=???

a-1e=?11,所以ea(e=2.?1)

解法二:f(x)=的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).

?

?e

??

由f(x)為偶函e數(shù)?知1f(x)=f(-x),

即,即,

????

?e??ee1

??=?????=?????

化e簡(jiǎn)得?1e2x=eeax,?所1以ae=2?.1e(e?1)

3.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,11,5分,中)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

則()

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

答案ABC令x=y=0,則f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正確.

令x=y=1,則f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正確.

令x=y=-1,則f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,

令y=-1,則f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),故C正確.

取特殊函數(shù)f(x)=0,滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此時(shí)x=0不是f(x)的極小值點(diǎn),故D錯(cuò)誤,

故選ABC.

4.(2015北京文,3,5分)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=x2sinxB.y=x2cosx

C.y=|lnx|D.y=2-x

答案BA中函數(shù)為奇函數(shù),B中函數(shù)為偶函數(shù),C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù),故選B.

5.(2014課標(biāo)Ⅰ,理3,文5,5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列

結(jié)論中正確的是()

A.f(x)g(x)是偶函數(shù)

B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

答案C由題意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對(duì)于選項(xiàng)A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)

是奇函數(shù),故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù),故B

項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)

D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D項(xiàng)錯(cuò)誤,選C.

評(píng)析本題考查函數(shù)奇偶性的定義及其應(yīng)用,考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力及邏輯推理論證能力,準(zhǔn)確理解函數(shù)

奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2021全國(guó)乙理,4,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1??

1+?

A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1

答案B解題指導(dǎo):思路一:將函數(shù)f(x)的解析式分離常數(shù),通過圖象變換可得函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱,此

函數(shù)即為奇函數(shù);

思路二:由函數(shù)f(x)的解析式,求出選項(xiàng)中的函數(shù)解析式,由函數(shù)奇偶性定義來判斷.

解析解法一:f(x)=-1+,其圖象的對(duì)稱中心為(-1,-1),將y=f(x)的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位,再沿y

2

?+1

軸向上平移1個(gè)單位可得函數(shù)f(x-1)+1的圖象,關(guān)于(0,0)對(duì)稱,所以函數(shù)f(x-1)+1是奇函數(shù),故選B.

解法二:選項(xiàng)A,f(x-1)-1=-2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項(xiàng)B,f(x-1)+1=,此函數(shù)為奇函數(shù);選項(xiàng)C,

22

??

f(x+1)-1=,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項(xiàng)D,f(x+1)+1=,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故選B.

?2??22

?+2?+2

8.(2023全國(guó)甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin為偶函數(shù),則a=.

π

答案2?+2

解析解法一:由題意知f(x)的定義域?yàn)镽,

∵f(x)=(x-1)2+ax+sin=x2+(a-2)x+cosx+1,

π

∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x?)+c2os(-x)+1=x2-(a-2)x+cosx+1.

∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2-(a-2)x+cosx+1,即

(a-2)x=-(a-2)x,

∴a-2=0,∴a=2.

解法二:由題意知f(x)的定義域?yàn)镽.∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos

1=a+cos1,∴a=2.

9.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=.

答案1

解題指導(dǎo):利用偶函數(shù)的定義,取定義域內(nèi)的特殊值即可求出a的值.

解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)為偶函數(shù),

∴f(1)=f(-1),

∴2a-,

11

2=?2??2

∴a=1.

當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3(2x-2-x),定義域?yàn)镽,且滿足f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù).

一題多解y=x3和y=2x-2-x為奇函數(shù),利用結(jié)論:奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),可快速判斷出a=1.

10.(2022全國(guó)乙文,16,5分)若f(x)=ln+b是奇函數(shù),則a=,b=.

1

?+1??

答案-;ln2

1

2

解析∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

由已知得x≠1,∴x≠-1,即當(dāng)x=-1時(shí),=0,∴a+=0,∴a=-,此時(shí)f(x)=ln+b,

1111+?

?+1??222(1??)

∵f(x)為奇函數(shù)且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln+b=0,∴b=-ln=ln2.

1+011

2(1?0)+?=ln22

綜上可知,a=-,b=ln2.

1

11.(2017課標(biāo)2Ⅱ文,14,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則

f(2)=.

答案12

解析本題主要考查運(yùn)用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值.

由題意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.

12.(2015課標(biāo)Ⅰ理,13,5分)若函數(shù)f(x)=xln(x+)為偶函數(shù),則a=.

2

?+?

答案1

解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),則ln(x+)+ln(-x)=0,

2222

?+??+??+??+?

∴l(xiāng)n[()2-x2]=0,得lna=0,∴a=1.

2

?+?

13.(2012課標(biāo)文,16,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

2

(?+1)+sin?

2

答案2?+1

解析f(x)==1+,令g(x)=,則g(x)為奇函數(shù),有g(shù)(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.

2

?+1+2x+sin?2?+sin?2?+sin?

222

?+1?+1?+1

考點(diǎn)2函數(shù)的周期性

1.(2021全國(guó)甲理,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),

f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f=()

9

2

A.-

9375

4B.?2C.4D.2

答案D解題指導(dǎo):利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),將出現(xiàn)的自變量0,3,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為[1,2]內(nèi)自變

9

2

量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,進(jìn)而得到a,b以及f的值.

9

2

解析由題知即

?(??+1)=??(?+1),?(??)=??(?+2),

從而f(x+4)=-f(?x(+?2)?,即+2f()x=+2?)(=?-f+(x2)),,?(??)=?(?+4),

所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①

又由題知f(x+1)為奇函數(shù),x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②

由①②得從而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].

?=?2,

?=2,

所以f.故選D.

95513325

2=?2+2=??2=?2=??2=?(?2)×2+2=2

一題多解因?yàn)閒(x+1)與f(x+2)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)和直線x=2對(duì)稱,

且f(x)為周期函數(shù),周期T=4,

從而f(0)=-f(2),①

f(3)=f(1)=0,②

f,

913

2=?2=??2

由①②結(jié)合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,

所以f.

9325

2=?(?2)×2+2=2

2.(2016山東,9,5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x3-1;當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(-x)=-f(x);當(dāng)

x>時(shí),f=f.則f(6)=()

111

?+??

A.-22B.-21C.20D.2

答案D當(dāng)x>時(shí),由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),

111

?+??

f(-1)=(-1)3-1=2-2,所以f(6)=2f(1)=2,故2選D.

3.(2021全國(guó)甲文,12,5分)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(1+x)=f(-x).若f,則f=()

115

?3=33

A.-

5115

3B.?3C.3D.3

答案C解題指導(dǎo):求出函數(shù)f(x)的周期再進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可求解.

解析由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定義在R上的奇函數(shù),可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),

所以f(x)的周期為2,則f,故選C.

5511

3=?3?2=??3=3

知識(shí)延伸:若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=,周期為2a;若函數(shù)f(x)

?

為偶函數(shù),且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=,周期為a.2

?

2

4.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則f(k)=

22

?=1

()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故

f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為6.

令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,

同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;

令x=2,y=1,得f(3)=-2;

令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;

令x=5,y=1,得f(6)=2.

故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,

所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故選A.

22

?=1

5.(2022全國(guó)乙理,12,5分)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)

的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,g(2)=4,則f(k)=()

22

?=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

答案D由y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得

g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,則f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-

③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

對(duì)于④,分別令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2,f(2)+f(4)=-2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.

對(duì)于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,則g(1)-f(1)=7⑦,

對(duì)于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,

由⑦⑧,得f(1)=-1.對(duì)于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,

又g(2)=4,所以f(0)=1，對(duì)于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3.

則=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故選D.

22

?=1?(?)

6.(2016四川,14,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=4x,則f+

5

?

f(1)=.2

答案-2

解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期為2,

∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵

f=f=-f=-=-2,∴f+f(1)=-2.

1

51125

??4?

2222

考點(diǎn)3函數(shù)的對(duì)稱性

1.(多選)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x).若

f,g(2+x)均為偶函數(shù),則()

3

2?2?

A.f(0)=0B.g=0

1

?2

C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)

答案BC解法一:若設(shè)f(x)=1,則g(x)=0,易知所設(shè)f(x)符合題意,此時(shí)f(0)=1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

設(shè)f(x)=sin(πx),則g(x)=f'(x)=πcos(πx),

由于f=sinπ=sin=-cos(2πx),

333π

g(2+x)=2π?c2o?s[π(2+x)]2=π?c2o?s(2π+πx2)=?π2πco?s(πx),

所以f,g(2+x)均為偶函數(shù),則所設(shè)f(x)符合題意.

3

2?2?

于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

由于f是偶函數(shù),所以f'是奇函