第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市部分學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某學(xué)校開設(shè)6門球類運動課程、4門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有(

)A.48種 B.36種 C.24種 D.12種2.計算3C86+A.114 B.99 C.142 D.1983.已知等差數(shù)列{an}的公差為?2，且a2+A.9 B.11 C.13 D.154.已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2?6x+4在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(9,+∞) D.[9,+∞)5.在等比數(shù)列{an}中，a1+a2=6，若a1，A.2 B.3 C.4 D.56.已知函數(shù)f(x)=ax2x?1(x>1)有最大值?8，則A.?2 B.?4 C.?8 D.?127.用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個區(qū)域，相鄰兩個區(qū)域不能同色，且至少要用四種顏色，則不同的涂色方法有(

)A.240

B.480

C.420

D.3608.將數(shù)列{2n?1}和{3n}中所有的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}(若有相同元素，按重復(fù)方式計入排列)，則數(shù)列{A.2160 B.2240 C.2236 D.2490二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在二項式(x?2)6的展開式中，下列結(jié)論正確的是(

)A.常數(shù)項為?64 B.含x的系數(shù)為?192

C.所有的二項式系數(shù)之和為64 D.所有項的系數(shù)之和為?110.已知數(shù)列{an}的前n項和為SnA.若{an}為等差數(shù)列，則{Snn}是等差數(shù)列

B.若{an}為等差數(shù)列，則Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列

C.若{an}為等比數(shù)列，則“m+n=p+q，m，11.已知函數(shù)f(x)=x2+eA.若f(x)恰有3個零點，則a=e+1e2

B.若f(x)恰有3個零點，則a=e2+1e3

C.若f(x)恰有4個零點，則a的取值范圍是(e?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(1?1x)(x+1)5的展開式中x313.在數(shù)列{an}中，a1=1，2a14.已知f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意的x∈R，都有f′(x)<f(x)，且f(2)=e2，則不等式f(2lnx)>x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3?4x2?ax+b的圖象在x=0處的切線方程為16x+y?2=0．

(1)求a，b的值；

16.(本小題15分)

若(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a17.(本小題15分)

(1)7名學(xué)生站成一排照相留念，其中男生5人，女生2人，2名女生必須相鄰而站，且女生不站兩端，有多少種不同的站法？

(2)某興趣小組有10名同學(xué)，其中男生6名，女生4名，現(xiàn)要從中選取3人參加學(xué)校舉行的匯報展示活動，男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？

(3)從0，1，3，5中任取2個數(shù)字，從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？18.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3an+2n?6．

(1)證明：{an?1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；

(2)記bn=(?1)n(4a19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2xlnx?a(x2?1)(a∈R)．

(1)若a=1，求證：f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)若f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

(3)證明：1+答案解析1.【答案】D

【解析】解：學(xué)校開設(shè)6門球類運動課程、4門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的選法共有6+4+2=12種．

故選：D．

利用分類加法計數(shù)原理可求．

本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：由題意可知，3C82+A62=3×8×73.【答案】B

【解析】解：因為等差數(shù)列{an}的公差為?2，且a2+a4+a6=39，

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得3a4=39，即a44.【答案】D

【解析】解：由題意，f(x)的定義域為(0,+∞)，

因為f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以f′(x)=ax+x?6≥0在(0,+∞)上恒成立，

所以a≥?x2+6x在(0,+∞)上恒成立，因為函數(shù)y=?x2+6x=?(x?3)2+9，

所以當(dāng)x=3時，y=?x2+6x取得最大值9，

所以a≥9，即a的取值范圍是[9,+∞)．

5.【答案】B

【解析】解：等比數(shù)列{an}中，a1，a2+3，a3成等差數(shù)列，所以2(a2+3)=a1+a3，

又a1+a2=6，所以2a2+a1+a2=a1+a6.【答案】A

【解析】解：易知f′(x)=2ax(x?1)?ax2(x?1)2=ax(x?2)(x?1)2，且x∈(1,+∞)；

顯然當(dāng)a=0時不合題意，

當(dāng)a>0時，若x∈(1,2)，易知f′(x)<0，此時函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，

若x∈(2,+∞)，易知f′(x)>0，此時函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增；

此時f(x)無最大值，不符合題意；

當(dāng)a<0時，若x∈(1,2)，易知f′(x)>0，此時函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

若x∈(2,+∞)，易知f′(x)<0，此時函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減；

所以f(x)在x=2處取得極大值，也是最大值，即f(2)=4a=?8，

解得a=?2，符合題意；

綜上可知，a=?2．

7.【答案】C

【解析】解：已知用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個區(qū)域，相鄰兩個區(qū)域不能同色，且至少要用四種顏色，

根據(jù)題意可知，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區(qū)域CADEB，

C區(qū)域有5種顏色可選，A區(qū)域有4種顏色可選，D區(qū)域有3種顏色可選；

若E區(qū)域與D區(qū)域顏色相同，E區(qū)域有1種顏色可選，則B區(qū)域有3種顏色可選；

若E區(qū)域與D區(qū)域顏色不同，E區(qū)域有2種顏色可選，則B區(qū)域有2種顏色可選；

再由分類加法和分步乘法計數(shù)原理計算可得共有5×4×3×(1×3+2×2)=420種．

故選：C．

按照分類加法和分步乘法計算原理，對5個區(qū)域進(jìn)行分步、分類涂色即可．

本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．8.【答案】C

【解析】解：由題意，數(shù)列{an}的前50項必在數(shù)列{2n?1}前50項之內(nèi)取得，

{2n?1}中第50個數(shù)為2×50?1=99，第41個數(shù)為2×41?1=81，

因為34=81<99，35=243>99，

則數(shù)列{an}的前50項和S50中含{2n?1}中元素46個，含{3n}中元素4個，

所以S50=46×1+46×(46?1)2×2+3(1?34)1?3=22369.【答案】BC

【解析】解：二項式的展開式的通項公式為Tr+1=C6rx6?r(?2)r，r=0，1，…，6，

令6?r=0，則r=6，所以常數(shù)項為C66x0(?2)6=(?2)6=64，所以A錯誤；

令6?r=1，則r=5，所以含x的項的系數(shù)為C65×(?2)5=?192，B正確；

所有項的二項式系數(shù)之和為210.【答案】ACD

【解析】解：對于A，若{an}為等差數(shù)列，

則Sn=na1+n(n?1)d2=d2n2+(a1?d2)n，

所以Snn=d2n2+(a1?d2)nn=d2n+a1?d2，

所以Sn+1Sn?Snn=d2

所以{Snn}為等差數(shù)列，故A正確；

對于B，若Sn，S2n，S3n成等差數(shù)列，則S3n+Sn=2S2n成立，

所以S3+S1=2S2，即a1+a2+a3+11.【答案】AD

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=x2+e2x?3?axex的定義域為R，當(dāng)x=0時，f(x)=e?3≠0，

令f(x)=0，則x2+e2x?3?axex=0，

x2+e2x?3=axex，

兩邊同時除以xex，

得a=xex+ex?3x(x≠0)，

令g(x)=xex+ex?3x(x≠0)，

則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即為直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象交點個數(shù)，

求導(dǎo)得g′(x)=1?xex+ex?3(x?1)x2=(x?1)(e2x?3?x2)x2ex(x≠0)，

令函數(shù)?(x)=e2x?3?x2，

求導(dǎo)得?′(x)=2e2x?3?2x，

令函數(shù)φ(x)=?′(x)，

求導(dǎo)得φ′(x)=4e2x?3?2，

易知函數(shù)φ′(x)在R上單調(diào)遞增，

令φ′(x)=4e2x?3?2=0，解得x=3?ln22，

當(dāng)x<3?ln22時，φ′(x)=4e2x?3?2<0；當(dāng)x>3?ln22時，φ′(x)=4e2x?3?2>0，

則函數(shù)φ(x)，即?′(x)在(?∞,3?ln22)上單調(diào)遞減，在(3?ln22,+∞)上單調(diào)遞增，

而?′(0)=2e?3>0,?′(12)=2e?2?1<0,?′(32)=?1<0,?′(2)=2e?4>0，

則存在x0∈(0,12),x1∈(32,2)，使得?′(x0)=?′(x1)=0，

當(dāng)x<x0或x>x1時，?′(x)>0，

當(dāng)x0<x<x1時，?′(x)<0，

于是函數(shù)?(x)在(?∞,x0)，(x1,+∞)上單調(diào)遞增，在(x0,x1)上單調(diào)遞減，

又?(?1)=e?5?1<0,?(0)=e?3>0,?(12)=e?2?14<0,?(2)=e?4<0,?(52)=e2?254>0，

則存在x2∈(?1,0),x3∈(0,12),x4∈(2,52)，

使得?(x2)=?(x3)=?(x4)=0，

所以當(dāng)x<x2或x3<x<x412.【答案】5

【解析】解：(x+1)5的展開式的通項為Tr+1=C5rx5?r,r=0,1,2,3,4,5．

從1?1x中選擇1，

則需求(x+1)5的展開式中含x3的項，

由5?r=3可得，r=2，

此時有T3=C52x3=10x3；

從1?1x中選擇?1x，

則需求(x+1)5的展開式中含x4的項，

由5?r=4可得，r=1，

此時有T413.【答案】20244047【解析】解：因為2an+1?an+nan+1=(n+1)an，又a1=1，

所以2+nan=n+1an+1，因此n+1an+1?nan=214.【答案】(0,e)

【解析】解：設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)ex，因此導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f′(x)ex?f(x)ex(ex)2=f′(x)?f(x)ex<0，

因此函數(shù)g(x)=f(x)ex在R上單調(diào)遞減，根據(jù)不等式f(2lnx)>x2，

可得f(2lnx)x15.【答案】a=16，b=2．

極大值為37427，極小值為?62．【解析】(1)由題意知導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2?8x?a，

又f(x)=x3?4x2?ax+b的圖象在x=0處的切線為16x+y?2=0，

因此函數(shù)f(x)在(0,b)處切線斜率為?16，

因此f′(0)=?a=?16，解得a=16，又因為f(0)=b=2，

因此a=16，b=2．

(2)根據(jù)第一問知導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2?8x?16，令f′(x)=0，解得x=4或x=?43，

當(dāng)?43<x<4時，f′(x)<0，當(dāng)x<?43時，f′(x)>0，當(dāng)x>4時，f′(x)>0，

因此函數(shù)f(x)在(?43,4)上單調(diào)遞減，在(?∞,?43)上單調(diào)遞增，在16.【答案】m=2；

?243．

【解析】(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3=80，

(1)含x3的項為：C52?12?(mx17.【答案】960；

64；

756．

【解析】(1)從男生5人中選出2人站在兩邊，有A52種不同的站法；

2名女生看成一個整體，跟剩下的3名男生排列，有A22A44種，

所以一共有A52A22A44=960種不同的站法；

(2)從10人中選取3人，有C103種選法；男生甲與女生乙都不參加，有C83種選法．

所以男生甲與女生乙至少有1人參加，共有C103?C83=64種選法；

(3)第一類：從0，1，3，5中任取2個數(shù)字，包含0的一共有C31種不同的選法．

從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，一共有C42種不同的選法．

一共可以組成C31C42C31A33=324個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；

第二類：從0，1，3，5中任取2個數(shù)字，不包含0的一共有C32種不同的選法．

從2，18.【答案】證明見解析，an=3n+1；

【解析】解：(1)證明：根據(jù)題目：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3an+2n?6，

數(shù)列{an}中，2Sn=3an+2n?6，當(dāng)n≥2時，2Sn?1=3an?1+2(n?1)?6，

兩式相減得2an=3an?3an?1+2，整理得an=3an?1?2，于是an?1=3(an?1?1)，

而2a1=3a1+2?6，即a1=4，則a1?1=3，

所以數(shù)列{an?1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，an?1=3n，an=3n+1．

(2)①根據(jù)題目：記bn=(?1)n(4an?2)a19.【答案】證明見解析．

a∈[1,+∞)．

證明見解析．．

【解析】解：(1)證明：由a=1，那么函數(shù)f(x)=2xlnx?(x2?1)，

因此導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2+2lnx?2x，令函數(shù)?(x)=2+2lnx?2x，

那么導(dǎo)函數(shù)?′(x)=2x?2，令?′(x)=0，則x=1，

因此x∈(1,+∞)，導(dǎo)函數(shù)?′(x)<0，?(x)在x∈(1,+∞)單調(diào)遞減，

x∈(0,1)，導(dǎo)函數(shù)?′(x)>0，?(x