第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市望城一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.設(shè)集合A={?1,0,1,2}，B={y|y=x}，則A∩B=A.{0} B.{0,1,2} C.{0,1} D.{0,2}2.已知復(fù)數(shù)z=1?i，則z?+1zA.32?12i B.323.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，∠AOC=π4，且|OC|=2.若OC=λOA+μOBA.22 B.2 C.24.已知函數(shù)f(x)=cos(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為πA.2 B.3 C.1 D.?15.小孟一家打算從武漢、十堰、荊州選一個(gè)城市去旅游，這三個(gè)城市都有游樂園，去武漢市、十堰市、荊州市的概率分別為0.5，0.3，0.2，到了武漢市小孟一家去游樂園的概率為0.6，到了十堰市小孟一家去游樂園的概率為0.4，到了荊州市小孟一家去游樂園的概率為0.3，則小孟一家去游樂園的概率為(

)A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.216.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A、BA.2 B.2 C.1027.在正三棱錐P?ABC中，O為△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，則該正三棱錐的外接球的表面積為(

)A.49π B.36π C.32π D.28π8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且SA.an<an+1 B.Sn>二、多選題9.給出以下四個(gè)說法，其中正確的說法是(

)A.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小

B.在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明擬合的效果越好

C.在回歸直線方程y=0.2x+12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y?平均增加0.2個(gè)單位

D.對分類變量X與Y，若它們的隨機(jī)變量K2的觀測值k10.已知拋物線C1：x2=4y.現(xiàn)將拋物線C1繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到新拋物線C2.記C2的焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F的直線交拋物線C2于M，NA.焦點(diǎn)F(1,0) B.|MN|=6

C.準(zhǔn)線方程為x=?1 D.△MON的面積為211.已知a>0，m(x)=ex?2?e2?x，f(x)=am(x)?sinπx，若A.m(x)在

R上遞增

B.m(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(

2，0)中心對稱

C.任取不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈R均有三、填空題12.已知離散型隨機(jī)變量X～B(10,14)，Y=2X?1，則E(Y)=13.某班元旦晚會(huì)準(zhǔn)備了8個(gè)節(jié)目，其中歌曲節(jié)目有3個(gè)，舞蹈節(jié)目有2個(gè)，小品、相聲、魔術(shù)節(jié)目各1個(gè)，要求小品、相聲、魔術(shù)這3個(gè)節(jié)目不安排在第一個(gè)表演，這3個(gè)節(jié)目中最多有2個(gè)節(jié)目連續(xù)表演，且魔術(shù)在小品后面表演，則該班元旦晚會(huì)的節(jié)目表演不同的安排方式有

種.(用數(shù)字作答)14.1675年，卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.已知點(diǎn)F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF四、解答題15.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a=bcosC?33bsinC．

(1)求B的大?。?/p>

(2)若△ABC的面積為33，且BC=316.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥平面AA1B1B，∠ABB1=π3，AB=1，AC=AA1=2，D為棱BB1的中點(diǎn)．

(1)求證：AD⊥平面17.(本小題17分)

已知點(diǎn)A，B是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，橢圓E的短軸長為2，離心率為32．

(1)求橢圓E的方程；

(2)點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(?2,2)，并且與橢圓E交于點(diǎn)M，N，直線BM與直線OP交于點(diǎn)T，設(shè)直線AT18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+cosx．

(1)若a=1，求f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)?x∈[0,π]，f(x)≤2ex?1，求a的取值范圍．答案解析1.【答案】B

【解析】解：B={y|y=x}=[0,+∞)，

故A∩B={0,1,2}，

故選：B．

化簡集合B2.【答案】D

【解析】解：由復(fù)數(shù)z=1?i，得z=1+i，

則z?+1z=2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?i)(1+i)=1+3i3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閨OC|=2，∠AOC=π4，C為坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)一點(diǎn)，

所以C(2,2)，又因?yàn)镺C=λOA+μOB，

所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ)，

所以4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(2ωx+π3)的最小正周期為T=2π2ω=π，所以ω=1．5.【答案】A

【解析】解：小孟一家打算從武漢、十堰、荊州選一個(gè)城市去旅游，這三個(gè)城市都有游樂園，

去武漢市、十堰市、荊州市的概率分別為0.5，0.3，0.2，

到了武漢市小孟一家去游樂園的概率為0.6，

到了十堰市小孟一家去游樂園的概率為0.4，

到了荊州市小孟一家去游樂園的概率為0.3，

由全概率公式，得小孟一家去游樂園的概率為0.5×0.6+0.3×0.4+0.2×0.3=0.48．

故選：A．

利用全概率公式求解．

本題考查全概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6.【答案】D

【解析】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，CF′，

由AF?FB=0可得AF⊥BF，四邊形AFBF′為矩形，

可設(shè)|BF|=t，則|FC|=2t，|BF′|=2a+t，|CF′|=2t+2a，

在直角三角形CBF′中，可得|BC|2+|BF′|2=|CF′|2，

即為(3t)2+(2a+t)2=(2t+2a)2，

解得t=23a，

又在直角三角形BFF′中，|BF|2+|BF′|2=|FF′|2，

即為t2+(2a+t)2=4c2，

即為7.【答案】A

【解析】解：設(shè)側(cè)棱長為x，且易知OA=23×32×6=23，

則cos∠PAO=OAPA=23x，cos∠APB=x2+x2?362x2=x2?18x2，

因?yàn)椤螦PB=2∠PAO，則cos∠APB=cos2∠PAO，

所以2(23x)2?1=x2?18x2，

解得x=21，

所以O(shè)P=P8.【答案】D

【解析】解：∵Sn=3n?23n=1?23n，

∴n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=1?23n?(1?23n?1)=43n，

n=1時(shí)，a1=S9.【答案】BC

【解析】解：對于A，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越大，故A錯(cuò)誤；

對于B，在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，R2的值越大，說明擬合的效果越好，故B正確；

對于C，在回歸直線方程y=0.2x+12中，

當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y?平均增加0.2個(gè)單位，故C正確；

對于D，對分類變量X與Y，若它們的隨機(jī)變量k2的觀測值k越小，

則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小，故D錯(cuò)誤．

故選：BC10.【答案】ACD

【解析】解：已知拋物線C1：x2=4y.現(xiàn)將拋物線C1繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到新拋物線C2，

則拋物線C2的方程為y2=4x，

對于選項(xiàng)A，拋物線C2的焦點(diǎn)F為(1,0)，即選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，聯(lián)立y2=4xy=x?1，

消y可得x2?6x+1=0，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

則x1+x2=6，

則|MN|=x1+x2+2=8，

即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C11.【答案】ABD

【解析】【分析】分別求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，以及圖象特點(diǎn)，然后進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于較難題．【解答】解：m′(x)=ex?2+e2?x>0，則m(x)在

R上單調(diào)遞增，故A正確，

m(x)+m(4?x)=ex?2?e2?x+e2?x?ex?2=0，則m(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(

2，0)中心對稱，故B正確，

令Qx=ex?2+e2?x，則Q′x=ex?2?e2?x，當(dāng)x>2時(shí)，Q′x>0，即Qx為增函數(shù)，即m(x)圖象下凹，此時(shí)m(x1)+m(x2)2>mx1+x22，故C錯(cuò)誤，12.【答案】4

【解析】解：因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X～B(10,14)，

所以E(X)=10×14=52，

又因?yàn)閅=2X?1，

所以E(Y)=2E(X)?1=4．

故答案為：13.【答案】10800

【解析】【分析】本題考查了排列組合問題，屬于中檔題．

利用間接法，先求出小品，魔術(shù)，相聲連續(xù)表演的種數(shù)，進(jìn)而求出這3個(gè)節(jié)目不都連續(xù)的種數(shù)，再分析魔術(shù)節(jié)目和小品節(jié)目的順序即可求出結(jié)果．【解答】

解：先選出第一個(gè)節(jié)目，有C51種可能，

若小品，魔術(shù)，相聲連續(xù)表演，

將三者看成一個(gè)整體，將他們內(nèi)部進(jìn)行全排列，然后對這個(gè)整體和剩下的四個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，則這種情況下有C51A33A55種可能，

若不考慮是否連續(xù)表演，則有C514.【答案】3

【解析】解：∵|PF1|?|PF2|=6，|F1F2|=4，

由余弦定理得，cos∠F1PF2=|PF15.【答案】解：(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R為三角形外接圓半徑)，可得α=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

因?yàn)閍=bcosC?33bsinC，

則2RsinA=2RsinBcosC?332RsinBsinC，

即sinA=sinBcosC?33sinBsinC，

又因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC?33sinBsinC，

所以cosBsinC=?33sinBsinC，

因?yàn)閟inC>0，

所以cosB=?33sinB，即tanB=?3，

所以B=2π3；

(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為33，即12acsinB=33，

所以12acsin2π3=33，【解析】(1)利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再通過三角函數(shù)的運(yùn)算求出角B的值；

(2)根據(jù)已知條件結(jié)合三角形面積公式求出ac的值，再利用向量關(guān)系將AD用其他向量表示出來，然后利用基本不等式求出AD最短時(shí)的條件，進(jìn)而求出AC的長．

本題主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．16.【答案】解：(1)證明：∵AC⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，

∴AC⊥AD，

∵AC/?/A1C1，

∴AD⊥A1C1

由已知得AB=BD=1，∠ABD=π3，

∴∠ADB=π3，同理可得∠A1DB1=π6，

∴∠ADA1=π?(∠ADB+∠A1DB1)=π2，即AD⊥A1D，

又A1D∩A1C1=A1，A1D，A1C1?平面A1C1D，

∴AD⊥平面A1C1D，

(2)連接AB1，∵∠ABB1=π3，AB=1，BB1=2，

∴AB1⊥AB，【解析】(1)根據(jù)題意，分別證明AD⊥A1C1，AD⊥A1D，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)題意，連接AB1，以A為原點(diǎn)，AB，AC，A17.【答案】解：(1)由題意可得2b=2，e=ca=1?b2a2=32，

可得a=2，b=1，

所以橢圓的方程為：x24+y2=1；

(2)證明：由(1)可得A(?2,0)，B(2,0)，

顯然直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，由題意2=?2k+m，即m=2+2k，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+mx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8kmx+4【解析】(1)由短軸長及離心率的值，可得a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

(2)設(shè)直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出直線BM的方程，與直線OP的方程聯(lián)立，可得T的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AT，AN的斜率之積的表達(dá)式，整理，可得斜率之積為定值．

本題考查求橢圓的方程及直線橢圓的綜合應(yīng)用，兩條直線斜率之積為定值的證法，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)因?yàn)閍=1，所以f(x)=ln(x+1)+cosx,f′(x)=1x+1?sinx，

則f(0)=1，f′(0)=1，

故所求切線方程為y?1=x?0，即x?y+1=0；

(2)由題意，對?x∈[0,π]，f(x)≤2ex?1，

等價(jià)于aln(x+1)+cosx?2ex+1≤0在[0,π]上恒成立，

令g(x)=aln(x+1)+cosx?2ex+1，則g′(x)=ax+1?sinx?2ex，

若a≤0，則g′(x)<0，即g(x)在[0,π]上單調(diào)遞減，

故g(x)≤g(0)=0，符合題意；

若a>0，令?(x)=ax+1?sinx?2ex，

則?′(x)=?a(x+1)2?cosx?2ex