第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1<x<6}，A∪B={x|x<6}，則B可能為(

)A.{x|x<0} B.{x|x<1} C.{x|x<3} D.{x|x<7}2.已知a∈R，復(fù)數(shù)z=(3?ai)(1+i)為純虛數(shù)，則|a?5+z?|=A.5 B.8 C.10 D.123.已知正數(shù)a，b滿足1a+b=2，則ba的最大值為A.1 B.2 C.3 D.44.若{e1,eA.{e1?e2,e2?5.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”(明?《增廣賢文》)是勉勵(lì)人們專(zhuān)心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1?1%)365=A.25 B.30 C.35 D.406.已知l，m，n是三條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若α//β，β//γ，則α//γB.若l?α，m?α，l//β，m//β，則α//β

C.若l//α，l//β，則α//βD.若l//m，m?α，則l//α7.已知函數(shù)f(x)=3x2?kx+2在[?1,2]上具有單調(diào)性，則k的取值范圍為A.(?∞,?12]∪[6,+∞) B.(?∞,?6]∪[12,+∞)

C.(?∞,?3]∪[6,+∞) D.(?∞,?6]∪[3,+∞)8.勒洛三角形是一種定寬曲線，它是德國(guó)機(jī)械工程專(zhuān)家勒洛首先進(jìn)行研究的，其畫(huà)法是：先畫(huà)一個(gè)正三角形，再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，則勒洛三角形的面積為(

)A.4π?3 B.C.8π?3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.在△ABC中，BD=12DC，E為AC的中點(diǎn)，則DE=16AC?23AB

B.已知a=(1,?2),b=(λ,1)，若a與b的夾角是鈍角，則λ<2

C.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=3EC，點(diǎn)F是CD10.已知函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=cosx，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(g(x))為奇函數(shù) B.g(f(x))為偶函數(shù)

C.f(g(x))在[0,π]上僅有1個(gè)零點(diǎn) D.g(f(x))的最小正周期為π11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形ADDA.點(diǎn)A1，B1，D，M四點(diǎn)共面

B.幾何體M?A1B1BA的體積為43

C.存在唯一的點(diǎn)P，使MP//三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b滿足a+b=(1,?2)及a?b=(5,8)13.已知扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若其周長(zhǎng)為6，當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角為α，則cos(cos2025πα)+sin14.已知某圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為62+4，母線與底面成45°角，圓臺(tái)的高為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=EB，BD=3BF，設(shè)AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示AC，AF．

(2)證明：E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．

(3)若AB=3，16.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是側(cè)棱PB的中點(diǎn)．

(1)證明：AE⊥平面PBC；

(2)求異面直線AE與PD所成的角；

(3)求直線AB到平面PCD的距離．17.(本小題15分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，O，G分別是線段AC，PA的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段BP，BC上，且BEBP=BFBC．

(1)證明：O，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

(2)證明：PC//平面BDG．

(3)若點(diǎn)H在線段PD上，且滿足PH=4HD，試問(wèn)側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)K，使得BK//平面HAC18.(本小題17分)

已知向量m=(sin(π4+x),3sinx)，n=(sin(π4?x),cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=m?n．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

19.(本小題17分)

對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)以及非空數(shù)集S：若對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1?x2∈S時(shí)，都有f(x1)?f(x2)∈S，則稱(chēng)f(x)是S關(guān)聯(lián)的．

(1)設(shè)f(x)=2x+1，寫(xiě)出符合條件的三個(gè)開(kāi)區(qū)間(m,n)，使得f(x)是(m,n)關(guān)聯(lián)的；

(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+1，若存在一個(gè)閉區(qū)間[m,n](m<n)使得f(x)是參考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.C

6.A

7.B

8.D

9.ACD

10.BCD

11.BD

12.?21

13.1+sin1

14.1415.(1)在平行四邊形ABCD中，AE=EB，BD=3BF，設(shè)AB=a，AD=b，

則AC=AB+AD=a+b，

AF=AB+BF=AB+13BD=AB+13(AD?AB)=216.(1)證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB∩PA=A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以AE⊥BC，

因?yàn)锳P=AB，E是側(cè)棱PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB，

又BC∩PB=B，BC?平面PBC，PB?平面PBC，

所以AE⊥平面PBC．

(2)連接AC，BD，兩直線交于點(diǎn)O，連EO，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)是DB的中點(diǎn)，

又E分別是PB的中點(diǎn)，所以EO/?/PD，

所以∠AEO或其補(bǔ)角就是異面直線AE與PD所成的角，

因?yàn)锳BCD為正方形，且AP=AB=AD=2，

所以PB=PA2+AB2=22+22=22，PD=22+22=PA2+AD2=22，

AC=AB2+BC2=22+22=22，

故AE=12PB=2，EO=12PD=2，AO=12AC=2，

即△AEO是正三角邊，

所以∠AEO=60°．

所以異面直線AE與PD所成的角為60°．

(3)因?yàn)锳B/?/CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，

所以AB//平面PCD，

則直線AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，

又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，17.(1)證明：如圖1，在正四棱錐P?ABCD中，連接OG．

∵O，G分別是線段AC，PA的中點(diǎn)，

∴PC//OG．

又BEBP=BFBC，∴PC//EF，∴EF//OG，

∴O，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

(2)證明：由(1)得PC//OG．

∵PC?平面BDG，OG?平面BDG，

∴PC//平面BDG．

(3)存在，理由如下：

如圖2，在線段PH上取一點(diǎn)M，使得HM=HD，

作MK//HC，交PC于點(diǎn)K，連接BM，BK，OH．

∵HM=HD，BO=OD，∴BM//OH．

∵BM?平面HAC，OH?平面HAC，∴BM//平面HAC．

同理可證MK//平面HAC．

∵BM∩MK=M，BM?平面BMK，MK?平面BMK，

∴平面BMK//平面HAC．

又BK?平面BMK，∴BK//平面HAC．

∵PH=4HD，HM=HD，

∴PMPH=34，

∵M(jìn)K//HC，

∴PKPC=PMPH=18.解：(1)m=(sin(π4+x),3sinx)，n=(sin(π4?x),cosx)，

設(shè)函數(shù)f(x)=m?n=sin(π4+x)sin(π4?x)+3sinxcosx

=cos(π4?x)sin(π4?x)+32sin2x

=12sin(π2?2x)+32sin2x

=119.(1)已知對(duì)x1?x2∈(m,n)，f(x1)?f(x2)=2(x1?x2)∈(m,n)，

若n>0，讓x1?x2接近n，就有2(x1?x2)接近2n，要滿足2(x1?x2)∈(m,n)，

則n>2n，這不可能．若m<0，讓x1?x2接近m，有2(x1?x2)接近2m，

要滿足2(x1?x2)∈(m,n)，則m<2m，也不可能．所以m、n中有±∞，

經(jīng)檢驗(yàn)(?∞,n)，n≤0、(m,+∞)，m≥0、(?∞,+∞)這三類(lèi)開(kāi)區(qū)間滿足題意，

如(?∞,?1)，(1,+∞)，(?∞,+∞)；

(2)若f(x)是[m,n]關(guān)聯(lián)的f(x1)?f(x2)=(x1?x2)(ax1+ax2+b)∈[m,n]．

當(dāng)a≠0，x1?x2≠0，且x1?x2∈[m,n]時(shí)，x1+x2能取任意值，ax1+ax2+b也能取任意值，

那么f(x1)?f(x2)能取任意值，矛盾，則a=0，則f(x1)?f(x2)=b(x1?x2).

若|b|>1，x