第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市望城一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|1<x<6}，A∪B={x|x<6}，則B可能為(

)A.{x|x<0} B.{x|x<1} C.{x|x<3} D.{x|x<7}2.已知a∈R，復(fù)數(shù)z=(3?ai)(1+i)為純虛數(shù)，則|a?5+z?|=A.5 B.8 C.10 D.123.已知正數(shù)a，b滿足1a+b=2，則ba的最大值為A.1 B.2 C.3 D.44.若{e1,eA.{e1?e2,e2?5.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”(明?《增廣賢文》)是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1?1%)365=A.25 B.30 C.35 D.406.已知l，m，n是三條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若α//β，β//γ，則α//γB.若l?α，m?α，l//β，m//β，則α//β

C.若l//α，l//β，則α//βD.若l//m，m?α，則l//α7.已知函數(shù)f(x)=3x2?kx+2在[?1,2]上具有單調(diào)性，則k的取值范圍為A.(?∞,?12]∪[6,+∞) B.(?∞,?6]∪[12,+∞)

C.(?∞,?3]∪[6,+∞) D.(?∞,?6]∪[3,+∞)8.勒洛三角形是一種定寬曲線，它是德國機(jī)械工程專家勒洛首先進(jìn)行研究的，其畫法是：先畫一個(gè)正三角形，再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形ABC的邊長為4，則勒洛三角形的面積為(

)A.4π?3 B.C.8π?3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.在△ABC中，BD=12DC，E為AC的中點(diǎn)，則DE=16AC?23AB

B.已知a=(1,?2),b=(λ,1)，若a與b的夾角是鈍角，則λ<2

C.在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=3EC，點(diǎn)F是CD10.已知函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=cosx，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(g(x))為奇函數(shù) B.g(f(x))為偶函數(shù)

C.f(g(x))在[0,π]上僅有1個(gè)零點(diǎn) D.g(f(x))的最小正周期為π11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形ADDA.點(diǎn)A1，B1，D，M四點(diǎn)共面

B.幾何體M?A1B1BA的體積為43

C.存在唯一的點(diǎn)P，使MP//三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b滿足a+b=(1,?2)及a?b=(5,8)13.已知扇形的半徑為r，弧長為l，若其周長為6，當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角為α，則cos(cos2025πα)+sin14.已知某圓臺(tái)軸截面的周長為62+4，母線與底面成45°角，圓臺(tái)的高為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=EB，BD=3BF，設(shè)AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示AC，AF．

(2)證明：E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線．

(3)若AB=3，16.(本小題15分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=AD=2，E是側(cè)棱PB的中點(diǎn)．

(1)證明：AE⊥平面PBC；

(2)求異面直線AE與PD所成的角；

(3)求直線AB到平面PCD的距離．17.(本小題15分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，O，G分別是線段AC，PA的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段BP，BC上，且BEBP=BFBC．

(1)證明：O，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

(2)證明：PC//平面BDG．

(3)若點(diǎn)H在線段PD上，且滿足PH=4HD，試問側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)K，使得BK//平面HAC？若存在，求出18.(本小題17分)

已知向量m=(sin(π4+x),3sinx)，n=(sin(π4?x),cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=m?n．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)19.(本小題17分)

對于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)以及非空數(shù)集S：若對任意x1，x2∈R，當(dāng)x1?x2∈S時(shí)，都有f(x1)?f(x2)∈S，則稱f(x)是S關(guān)聯(lián)的．

(1)設(shè)f(x)=2x+1，寫出符合條件的三個(gè)開區(qū)間(m,n)，使得f(x)是(m,n)關(guān)聯(lián)的；

(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+1，若存在一個(gè)閉區(qū)間[m,n](m<n)使得f(x)是[m,n]答案解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={x|1<x<6}，A∪B={x|x<6}，

又{x|1<x<6}∪{x|x<3}={x|x<6}，

故集合B可能為{x|x<3}．

故選：C．

結(jié)合并集的定義，即可求解．

本題主要考查并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：由z=(3?ai)(1+i)=3+a+(3?a)i為純虛數(shù)，

得：3+a=03?a≠0，即a=?3，

所以z=6i，

則|a?5+z?|=|?8?6i|=10．

故選：C．

由純虛數(shù)的概念得到3.【答案】A

【解析】解：正數(shù)a，b滿足1a+b=2，

則2=1a+b≥2ba，所以ba≤1，所以ba≤1．

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=14.【答案】D

【解析】解：對于A，e1?e2=?(e2?e1)，故二者線性相關(guān)，不符合基底的定義，故A錯(cuò)誤；

對于B，2e1?e2=2(e1?12e2)，故二者線性相關(guān)，不符合基底的定義，故B錯(cuò)誤；

5.【答案】C

【解析】解：假設(shè)經(jīng)過n天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍，

由題意可得(1.010.99)n=(10199)n=2，

lg2≈0.301030，lg101≈2.004321，lg99≈1.995635，

則n=log101992=lg26.【答案】A

【解析】解：對于A選項(xiàng)，由平行的傳遞性可知A選項(xiàng)成立；

對于B選項(xiàng)，直線l，m不一定相交，根據(jù)面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，α與β也有可能相交，錯(cuò)；

對于D選項(xiàng)，直線l不一定在平面α外，也可能在面α內(nèi)，故不成立，錯(cuò)．

故選：A．

由線面位置關(guān)系逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．

本題考查了線面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=3x2?kx+2，是二次函數(shù)，其對稱軸為：x=k6，

若函數(shù)f(x)=3x2?kx+2在[?1,2]上具有單調(diào)性，則有k6≤?1或k6≥2，

得k≤?6或k≥12，即8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)檎切蜛BC的邊長為4，所以任意一個(gè)扇形的面積為12αr2=12×π3×42=8π3，

又因?yàn)槭钦切?，則9.【答案】ACD

【解析】解：對于A，因?yàn)椤鰽BC中，BD=12DC，E為AC的中點(diǎn)，

所以DE=DC+CE=23BC+12CA

=23(AC?AB)?12AC=16AC?23AB，故A正確，

對于B，因?yàn)閍與b的夾角是鈍角，

所以a?b<0且兩向量不共線，

由a?b<0，得λ?2<0，得λ<2，

當(dāng)a與b共線時(shí)，λ1=1?2，得λ=?12，

所以當(dāng)a與b的夾角是鈍角時(shí)，λ<2且≠?12，故B錯(cuò)誤；

對于C，如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則由題意可得A(0,0)，B(4,0)，E(4,3)，F(xiàn)(2,4)，

所以AE=(4,3)，BF=(?2,4)，

所以AE?BF=?8+12=4，故C正確；

10.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)F(x)=f(g(x))=sin(cosx)，G(x)=g(f(x))=cos(sinx)，

依次分析選項(xiàng)：

對于A，F(xiàn)(x)=f(g(x))，其定義域?yàn)镽，有F(?x)=sin(cos(?x))=sin(cosx)=F(x)，

則f(g(x))為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對于B，G(x)=g(f(x))=cos(sinx)，其定義域?yàn)镽，

有G(?x)=cos[sin(?x)]=cos(?sinx)=cos(sinx)=G(x)，

則g(f(x))為偶函數(shù)，B正確；

對于C，若f(g(x))=sin(cosx)=0，必有cosx=kπ，k∈Z，

解可得cosx=0，則x=kπ+π2，k∈Z，

若x∈[0,π]，必有x=π2，即f(g(x))在[0,π]上僅有1個(gè)零點(diǎn)，C正確；

對于D，G(x)=g(f(x))=cos(sinx)11.【答案】BD

【解析】解：對于選項(xiàng)A：在正方體ABCD?A1B1C1D1中AB//A1B1//CD，

又A1B1?平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以A1B1/?/平面ABCD，又DC，DM?平面ABCD，且DC∩DM=D，

所以A1B1與DM為異面直線，

所以點(diǎn)A1，B1，D，M四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

所以VM?A1B1BA=13SA1B1BA×BM=13×22×1=43，故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C：取A1D1的中點(diǎn)G，A1A的中點(diǎn)H，連接HM，HG，GM，

則HG//AD1，HG?平面ACD1，AD1?平面ACD1，

所以HG/?/平面ACD1，

又D1G//CM且D1G=CM，所以四邊形D1GMC為平行四邊形，

所以D1C//GM，

GM?平面ACD1，D1C?平面ACD1，

所以GM/?/平面ACD1，

又HG∩GM=G，HG，GM?平面HGM，

所以平面ACD1/?/平面HGM，又MP/?/平面ACD1，

點(diǎn)P為正方形AD12.【答案】?21

【解析】解：由題意，2a=(6,6)，2b=(?4,?10)，

4a?b=6×(?4)+6×(?10)=?84，

解得a?13.【答案】1+sin1

【解析】解：由題意得l+2r=6，可得l=6?2r，由r>0,l>0可得0<r<3

所以扇形的面積S=12lr=12(6?2r)?r=(3?r)?r≤(3?r+r2)2=94，

當(dāng)且僅當(dāng)3?r=r時(shí)，即r=32時(shí)，S有最大值914.【答案】14【解析】解：作出圓臺(tái)的軸截面如圖，

由題意圓臺(tái)軸截面的周長為62+4，母線與底面成45°角，圓臺(tái)的高?=2，

設(shè)圓臺(tái)的是底面半徑為r，高為?，則下底面半徑為(r+?)，

可得，4r+2?+22?=62+4，可得r=2，

即有圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為22，高為2，

∴圓臺(tái)的體積為V=115.【答案】AC=a+b，AF=23a+【解析】(1)在平行四邊形ABCD中，AE=EB，BD=3BF，設(shè)AB=a，AD=b，

則AC=AB+AD=a+b，

AF=AB+BF=AB+13BD=AB+13(AD?AB)=23a+13b；

證明：(2)由題意得16.【答案】證明見解析；

60°；

2．【解析】(1)證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB∩PA=A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，又AE?平面PAB，所以AE⊥BC，

因?yàn)锳P=AB，E是側(cè)棱PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB，

又BC∩PB=B，BC?平面PBC，PB?平面PBC，

所以AE⊥平面PBC．

(2)連接AC，BD，兩直線交于點(diǎn)O，連EO，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)是DB的中點(diǎn)，

又E分別是PB的中點(diǎn)，所以EO/?/PD，

所以∠AEO或其補(bǔ)角就是異面直線AE與PD所成的角，

因?yàn)锳BCD為正方形，且AP=AB=AD=2，

所以PB=PA2+AB2=22+22=22，PD=22+22=PA2+AD2=22，

AC=AB2+BC2=22+22=22，

故AE=12PB=2，EO=12PD=2，AO=12AC=2，

即△AEO是正三角邊，

所以∠AEO=60°．

所以異面直線AE與PD所成的角為60°．

(3)因?yàn)锳B/?/CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，

所以AB/?/平面PCD，

則直線AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，

又PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

又底面ABCD為正方形，AD⊥CD，

PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，

且PD?平面PAD，所以17.【答案】證明見解析；

證明見解析；

存在，PKPC=【解析】(1)證明：如圖1，在正四棱錐P?ABCD中，連接OG．

∵O，G分別是線段AC，PA的中點(diǎn)，

∴PC//OG．

又BEBP=BFBC，∴PC//EF，∴EF/?/OG，

∴O，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

(2)證明：由(1)得PC//OG．

∵PC?平面BDG，OG?平面BDG，

∴PC/?/平面BDG．

(3)存在，理由如下：

如圖2，在線段PH上取一點(diǎn)M，使得HM=HD，

作MK//HC，交PC于點(diǎn)K，連接BM，BK，OH．

∵HM=HD，BO=OD，∴BM//OH．

∵BM?平面HAC，OH?平面HAC，∴BM//平面HAC．

同理可證MK//平面HAC．

∵BM∩MK=M，BM?平面BMK，MK?平面BMK，

∴平面BMK//平面HAC．

又BK?平面BMK，∴BK//平面HAC．

∵PH=4HD，HM=HD，

∴PMPH=34，

∵M(jìn)K//HC，

∴PKPC=PMPH=34．

故在棱PC上存在一點(diǎn)K，使得BK//平面18.【答案】π；

3?226；【解析】解：(1)m=(sin(π4+x),3sinx)，n=(sin(π4?x),cosx)，

設(shè)函數(shù)f(x)=m?n=sin(π4+x)sin(π4?x)+3sinxcosx

=cos(π4?x)sin(π4?x)+32sin2x

=12sin(π2?2x)+32sin2x

=12cos2x+32sin2x=sin(2x+π6)，

所以f(x)19.【答案】(?∞,?1)，(1,+∞)，(?∞,+∞)；(答案不唯一)

f(x)=bx+1，|b|≤1；

證明見解析．

【解析】(1)已知對x1?x2∈(m,n)，f(x1)?f(x2)=2(x1?x2)∈(m,n)，

若n>0，讓x1?x2接近n，就有2(x1?x2)接近2n，要滿足2(x1?x2)∈(m,n)，

則n>2n，這不可能．若m<0，讓x1?x2接近m，有2(x1?x2)接近2m，

要滿足2(x1?x2)∈(m,n)，則m<2m，也不可能．所以m、n中有±∞，

經(jīng)檢驗(yàn)