第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省威海市乳山市銀灘高級中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)y=e2025+xlnx的導(dǎo)函數(shù)為A.y=e2025+lnx+1 B.y=lnx+1

C.y=2.設(shè)隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，P(?1<X<5)=0.6，則P(X>5)=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.63.將4封不同的信全部投入3個(gè)郵筒，每個(gè)郵筒至少投1封信，則不同投法的種數(shù)為(

)A.34 B.43 C.12 4.(2+x?x2)6的展開式中含A.?480x4 B.?180x4 C.5.已知事件A與B獨(dú)立，且P(AB)=512,P(B)=56A.14 B.512 C.126.已知函數(shù)f(x)=ax3?3x?1的極大值為1，則a=A.?3 B.?1 C.1 D.37.已知集合A={1,2,3,4}，集合B={1,2,3,4,5}，從A、B中分別任取三個(gè)元素，兩次抽取的結(jié)果互不影響，則從A中抽取的三個(gè)元素之和不大于8且從B中抽取的三個(gè)元素之和大于8的概率為(

)A.310 B.920 C.7108.定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x>0時(shí)，恒有f(x)+x2f′(x)>0，則不等式x2A.(?∞,14)∪(12,+∞) B.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.以下說法正確的有(

)A.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=0)=13，則E(2X+1)=53

B.相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b的符號(正負(fù))相同

C.在對兩個(gè)分類變量進(jìn)行χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)(10.已知(x2?1A.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為210 B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為29

C.第六項(xiàng)的系數(shù)最大 11.已知函數(shù)f(x)=x3+kxA.當(dāng)k>3時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.當(dāng)k=3時(shí)，f(x)在x=?1處有極值

C.當(dāng)k<0時(shí)，f(k?1)<f(k)

D.當(dāng)k=?3時(shí)，曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.將5名志愿者安排到3個(gè)路口進(jìn)行安全疏導(dǎo)，要求每個(gè)路口都有志愿者前往，且每個(gè)志愿者只能去一個(gè)路口，則不同的安排方法的種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)13.一個(gè)口袋中裝有形狀大小相同的6個(gè)小球，其中有紅球3個(gè)，黃球2個(gè)，綠球1個(gè)，從中依次有放回的摸出3個(gè)球，則摸出同一種顏色球的概率為______．14.已知函數(shù)f(x)=12x2+x與g(x)=2lnx+m在區(qū)間[四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為5．

(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；

(2)方程f(x)=t在16.(本小題15分)

為了研究高二學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯題的情況，學(xué)校在高二級部學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了150名學(xué)生，調(diào)查他們平時(shí)的數(shù)學(xué)成績與整理數(shù)學(xué)錯題情況，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下．?dāng)?shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)552075不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)304575合計(jì)8565150(1)依據(jù)2×2列聯(lián)表判斷，能否有99.9%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與每天整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)？

(2)從調(diào)查的不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題的學(xué)生中，按照數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人.若從這10人中隨機(jī)抽取2人，記X為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

參考公式：χ2=n(ad?bc)2P(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82817.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?x．

(1)求f(x)的極值；

(2)若f(x)≥mx?e2對任意x∈(0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18.(本小題17分)

數(shù)學(xué)考試中的多選題，每題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)正確答案，全部選出正確答案得6分.若正確答案是2個(gè)，只選對1個(gè)得3分，有選錯的得0分；若正確答案是3個(gè)，只選對1個(gè)得2分，只選對2個(gè)得4分，有選錯的得0分.若多選題正確答案是2個(gè)的概率為p(0<p<1)，正確答案是3個(gè)的概率為1?p.某學(xué)生對其中一道題完全不會，他隨機(jī)的進(jìn)行填涂．

(1)若他只隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)，求他的得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若他隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)，求他的得分Y的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(3)若p=23，該同學(xué)隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)還是隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)，能使得分更好？19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+m)．

(1)設(shè)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)為P，在P點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，求此切線的方程；

(2)在(1)的條件下，f(x)≤ex?k在定義域內(nèi)恒成立，求k的取值范圍；

(3)若e參考答案1.B

2.A

3.D

4.B

5.C

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.AD

11.ACD

12.150

13.1614.(315.(1)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+2mx+n，

根據(jù)f(x)=x3+mx2+nx在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為5，

那么可得3+2m+n=51+m+n=2，

解得m=1n=0．

(2)f(x)=t在x∈[?1,2]有解，等價(jià)于求函數(shù)y=f(x)在[?1,2]上的值域，

由第一問知導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+2x=x(3x+2)，

當(dāng)x∈[?1,2]時(shí)，解f′(x)>0，可得?1<x<?23或0<x<2，此時(shí)函數(shù)f(x)遞增，

解f′(x)<0，可得?23<x<0，此時(shí)函數(shù)f(x)遞減，

因此f(x)在(?23,0)上遞減，在(?1,?23)上遞增，在(0,2)上遞增，

因?yàn)閒′(?23)=f′(0)=0，因此x=?2316.(1)將表格數(shù)據(jù)代入公式可得：χ2=150×(55×45?30×20)275×75×85×65≈16.968，

根據(jù)小概率事件的概率P(χ2>10.828)=0.001，可以判斷有99.9%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與每天整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)；

(2)由題易知采用分層抽樣的10人中，成績優(yōu)秀的有4人，成績不優(yōu)秀的有6人，

隨機(jī)變量X的取值為：0，1X012P182從而E(X)=0×13+1×17.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，由f(x)=xlnx?x得f′(x)=lnx，

解方程f′(x)=0，可得x=1，

解不等式f′(x)>0，可得x>1，所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，

解不等式f′(x)<0，可得0<x<1，所以f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

所以y極小值=f(1)=?1，無極大值．

(2)xlnx?x≥mx?e2對任意x∈(0,+∞)恒成立也即lnx+e2x≥m+1恒成立，

令g(x)=lnx+e2x，下求g(x)在區(qū)間(0,+∞)上的最小值即可．

g′(x)=1x?e2x2=x?e2x2，解不等式g′(x)>0，可得x>e2，

所以g(x)在區(qū)間18.(1)根據(jù)題目X可以的取值是{0,2,3}，

P(X=0)=pC21C41+(1?p)1C41X023P

1

31從而E(X)=0×(14+14p)+2×(34?34p)+3×12p=32．

(2)根據(jù)題目Y046P

1

11E(Y)=0×(12+13p)+4×(12?12p)+6×16p=2?p；

(3)19.(1)根據(jù)題意可得P(1?m,0)，又導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1x+m，

因此k=f′(1?m)=1，

因此切線為y=x?(1?m)=x+m?1，又因?yàn)?=1+m?1，可得m=1，

因此切線為y=x．

(2)根據(jù)函數(shù)f(x)≤ex?k，即ln(x+1)≤ex?k在定義域內(nèi)恒成立，

因此k≤ex?ln(x+1)在(?1,+∞)上恒成立，

令函數(shù)g(x)=ex?ln(x+1)，

因此導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex?1x+1，令函數(shù)m(x)=ex?1x+1，

因此導(dǎo)函數(shù)m′(x)=ex+1(x+1)2>0恒成立，因此函數(shù)m(x)=ex?1x+1在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，

即導(dǎo)函數(shù)g′(x)=ex?1x+1在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)間′(0)=0，

因此當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)g′(x)>0，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)g′(x)<0，函數(shù)g(x)在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞減，

因此g(x)min=g(0)=1，所以k∈(?∞,1]．

(3)