第十章

二元一次方程組

章末復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教版（204）七年級(jí)下冊

請你帶著下面的問題，進(jìn)入本章的復(fù)習(xí)吧！

1．舉例說明怎樣用代入法和加減法解二元一次方程組．“代入”與“加減”的目的是什么？

2．比較解三元一次方程組與解二元一次方程組的聯(lián)系與區(qū)別，你能說說“消元”的思想方法在解三元一次方程組中的體現(xiàn)嗎？

3．用二元或三元一次方程組解決一個(gè)實(shí)際問題，你能說說用方程組解決實(shí)際問題的基本思路嗎？

例1

方程

2x－

＝0，3x＋y＝0，2x＋xy＝1，3x＋y－2z＝0，x2－x＋1＝0，2x＋6y＝2x中，二元一次方程的個(gè)數(shù)是（）．

A．4

B．3

C．2

D．1考點(diǎn)一二元一次方程與二元一次方程組

解析：2x－

＝0

不是整式方程，故不是二元一次方程；

3x＋y＝0

是二元一次方程；

2x＋xy＝1

中“xy”項(xiàng)的次數(shù)為

2，故不是二元一次方程；

3x＋y－2z＝0中含有三個(gè)未知數(shù)，故不是二元一次方程；

例1

方程

2x－

＝0，3x＋y＝0，2x＋xy＝1，3x＋y－2z＝0，x2－x＋1＝0，2x＋6y＝2x中，二元一次方程的個(gè)數(shù)是（

）．

A．4

B．3

C．2

D．1考點(diǎn)一二元一次方程與二元一次方程組

x2－x＋1＝0中只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為

2，故不是二元一次方程；

2x＋6y＝2x

化為一般形式為

y＝0，故不是二元一次方程．綜上所述，二元一次方程只有一個(gè)．D

識(shí)別二元一次方程看兩點(diǎn)：

一看原方程是不是整式方程，且只含有兩個(gè)未知數(shù)；二看化簡為一般形式后的方程是否符合兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都不為0，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1．考點(diǎn)一二元一次方程與二元一次方程組

例2

下列方程組中是二元一次方程組的是（

）．

A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)一二元一次方程與二元一次方程組

解析：A項(xiàng)化簡后為

只含有一個(gè)未知數(shù)，故不是二元一次方程組，不符合題意；

B項(xiàng)中“xy”項(xiàng)的次數(shù)為

2，故不是二元一次方程組，不符合題意；

C項(xiàng)中含有三個(gè)未知數(shù)，故不是二元一次方程組，不符合題意；

D項(xiàng)化簡后為

是二元一次方程組，符合題意．D考點(diǎn)一二元一次方程與二元一次方程組

識(shí)別二元一次方程組“先化再看”：

先將方程組化簡為最簡形式，再判斷．一看方程組中的方程是否都是整式方程；二看方程組中是不是只含有兩個(gè)未知數(shù)；三看含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是都為1．

1．若

x2m－1＋5y3n－2m＝7

是二元一次方程，則

mn＝______．

解析：由二元一次方程的定義，可得2m－1＝1，3n－2m＝1．

解得

m＝1，n＝1．所以

mn＝11＝1．1考點(diǎn)一二元一次方程與二元一次方程組

例3

若關(guān)于x，y的二元一次方程組

的解是

則

a＝______，b＝______．考點(diǎn)二二元一次方程與二元一次方程組的解

解析：將

代入方程組

得

解得

23（1）將方程（組）的解代入方程（組）中，得到一個(gè)關(guān)于待求字母參數(shù)的新方程（組），注意當(dāng)方程中未知數(shù)較多時(shí)，要先弄清是關(guān)于哪些未知數(shù)的方程；（2）求解這個(gè)新方程（組），得出待求字母參數(shù)的值．考點(diǎn)二二元一次方程與二元一次方程組的解已知二元一次方程（組）的解求字母參數(shù)的值的方法

2．如果

是方程x－3y＝－3的一組解，那么5－a＋3b＝______．考點(diǎn)二二元一次方程與二元一次方程組的解

解析：將

代入方程

x－3y＝－3，得

a－3b＝－3．

所以

5－a＋3b＝5－(a－3b)＝5－(－3)＝8．8

3．已知

x＝4，y＝－2

與

x＝－2，y＝－5

都是方程

y＝kx＋b的解，則k＋b＝______．考點(diǎn)二二元一次方程與二元一次方程組的解

解析：將

x＝4，y＝－2

代入方程

y＝kx＋b

得

－2＝4k＋b，①

將

x＝－2，y＝－5代入方程

y＝kx＋b

得

－5＝－2k＋b，②

聯(lián)立①②，得

解得

所以

k＋b＝

－4＝－

．－

解：（1）①×2，得4x＋6y＝8．③

②－③，得

5x－4x＝7－8，

解得

x＝－1．

所以原方程組的解為

把

x＝－1

代入①，得y＝2．考點(diǎn)三二元一次方程組的解法

例4

選擇合適的方法解下列方程組：

（1）

（2）

例4

選擇合適的方法解下列方程組：

（1）

（2）

考點(diǎn)三二元一次方程組的解法

解：（2）由①，得

y＝2x－7．③

把③代入②，得

3x＋2(2x－7)＝0，

解得

x＝2．

所以原方程組的解為

把

x＝2

代入③，得

y＝－3．兩種消元法的比較考點(diǎn)三二元一次方程組的解法思路方法特點(diǎn)消元過程消元代入法未知數(shù)的系數(shù)為±1把系數(shù)為±1的未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)表示代入另一方程得到一元一次方程加減法某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等兩個(gè)方程相減得到一元一次方程相反兩個(gè)方程相加考點(diǎn)三二元一次方程組的解法

例5

解方程組

解：設(shè)

＝m，

＝n．

則原方程組可轉(zhuǎn)化

解得

所以

解得

即

所以原方程組的解為考點(diǎn)三二元一次方程組的解法

整體思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，尤其是在解方程組時(shí)，利用它可以把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，使看似不可解的問題轉(zhuǎn)化為直觀的可解的問題，需要注意的是，整體代換求出的結(jié)果還要回代到原問題中．考點(diǎn)三二元一次方程組的解法考點(diǎn)三二元一次方程組的解法

4．解方程組

解：方法1：①－②，得

2y－y＝5－2，

解得

y＝3．

所以原方程組的解為

把

y＝3

代入②，得x＝－1．考點(diǎn)三二元一次方程組的解法

4．解方程組

解：方法

2：由①，得x＝5－2y．③

把③代入②，得

5－2y＋y＝2，

解得

y＝3．

所以原方程組的解為

把

y＝3

代入③，得

x＝－1．

例6

甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)要完成

A，B

兩項(xiàng)工程．B

工程的工作量比A工程的工作量多

25％，甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需的時(shí)間分別是20天、24天、30天．為了完成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做A

工程，乙、丙兩隊(duì)做

B

工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成A

工程．問乙、丙兩隊(duì)合作了多少天？

分析：可設(shè)

A工程的工作量為

1，進(jìn)而可得B

工程的工作量．兩個(gè)相等關(guān)系為“甲獨(dú)做的工作量＋甲、丙合作的工作量＝

1”“乙、丙合作的工作量＋乙獨(dú)做的工作量＝B

工程的工作量”，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．考點(diǎn)四二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

解：設(shè)乙、丙兩隊(duì)合作了

x

天，甲、丙兩隊(duì)合作了y

天．考點(diǎn)四二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

由題意，得

答：乙、丙兩隊(duì)合作了15天．

整理，得

將A工程的工作量視為

1，則

B工程的工作量為1＋1×25％＝

．

解得

列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟可簡記為審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答，其關(guān)鍵是確定相等關(guān)系，可通過畫示意圖或列表的方法理解和揭示數(shù)量之間的相等關(guān)系．當(dāng)所給的量的單位不統(tǒng)一時(shí)，應(yīng)先統(tǒng)一單位．考點(diǎn)四二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

5．用甲、乙兩種原料配制某種飲料，已知這兩種原料的維生素

C

含量及價(jià)格如下表：考點(diǎn)四二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

現(xiàn)要求用

72

元錢配制含有

5000

單位的維生素

C的這種飲料，請問應(yīng)買這兩種原料各多少千克？項(xiàng)目

甲種原料乙種原料維生素

C含量/(單位/kg)600100原料價(jià)格/(元/kg)84

解：設(shè)應(yīng)買甲種原料

x

kg，乙種原料

y

kg，可得下表：考點(diǎn)四二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用

答：應(yīng)買甲種原料

8

kg，乙種原料

2

kg．

由題意，得

解得

項(xiàng)目甲種原料

xkg乙種原料

ykg配制后飲料維生素

C

含量/單位600x100y5000原料價(jià)格/元8x4y72考點(diǎn)五三元一次方程組的解法

例7

解方程組

解：①＋②，得

4x＋y＝16．④①－③，得2x－2y＝－2，即

x－y＝－1．⑤④＋⑤，得5x＝15，解得

x＝3．

考點(diǎn)五三元一次方程組的解法

例7

解方程組

把

x＝3

代入⑤，得

3－y＝－1，解得

y＝4．

把

x＝3，y＝4

代入③，得3＋4＋z＝12，解得

z＝5．

所以原方程組的解為考點(diǎn)五三元一次方程組的解法

三元一次方程組中未知數(shù)較多，要根據(jù)各方程的特點(diǎn)，先確定消元對(duì)象，再靈活地確定消元步驟和方法，切忌盲目消元．

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