期末高分必刷題88道（培優(yōu)類）

一、單選題

-3-i

1.(2025?河北秦皇島?二模)已知復(fù)數(shù)二滿足z+2z=3+i,則—=()

A.1+iB.1-iC.l+2iD.2+i

【答案】D

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)式，利用復(fù)數(shù)相等，可得復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法，可得答案.

【詳解】設(shè)2=a+bit則z+2亍=。+歷+2（。-歷）=3〃-歷，

即3a—6i=3+i,解得z=l—i,

所以臺(tái)=宜??4+2i

=2+i.

1-11+12

故選：D.

2.（23-24高一下?江蘇無(wú)錫?期末）已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.i+i3+i5+i?是純虛數(shù)

B.若Z（l+i）=2,貝b是方程/一天+1=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根

C.若zeC,則，|=W

D.若復(fù)數(shù)二滿足1＜目＜2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為兀

【答案】C

【分析】根據(jù)虛數(shù)i運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)

模的計(jì)算公式，可判定C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，由i+i3+i5+i7=i_i+ji=o,不是純虛數(shù)，所以A不正確；

對(duì)于B中，由二（l+i）=2,可得z=（1+b（「i）=l-i,

因?yàn)椋?-獷-（1一。+1=-21-1+1+1=7/0,

所以-不是方程Y-x+1=0的一個(gè)復(fù)根，所以B不正確；

對(duì)于C中，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i,（。/eR）,可得2?=/-/+2a6i,

所以卜2卜而可+仁時(shí)=a2+b2,

又由忖2=（歷7）2=/+吃所以|z「=|z「，所以C正確；

對(duì)于D中，^z=x+yi,（x,yeR）,由］<目<2,可得］</+/<4,

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為一個(gè)圓環(huán)，

其中小圓的半徑為1,大圓的半徑為2,其面積為S=兀x2?-兀xV=3兀，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（24-25高一上?貴州遵義?期末）新高考選科要求3+1+2,語(yǔ)數(shù)外+（物理，歷史）二選一+（政治，地理,

化學(xué)，生物）四選二.針對(duì)高一某同學(xué)的選科組合有如下事件，事件/"選物理"，事件8選歷史"，事件。選化

學(xué)"，事件。"選政治"，則下列正確的是（）

A.事件C與事件?；コ釨.尸（。）=:

0

4

C.事件A與事件B對(duì)立D.P（CD）=-

【答案】C

【分析】根據(jù)互斥事件的概念判斷A;根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷C;根據(jù)古典概型的概率公式判斷BD.

【詳解】由題意，用。表示選擇物理，用力表示選擇歷史，用數(shù)字123,4分別表示選擇政治，地理，化學(xué)，生

物,

則樣本空間Q={夕12,夕13,214,p23,224,234,力12,h\3,〃14,力23,〃24,"34},

共有12個(gè)樣本點(diǎn)，即〃（。）=12,且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.

對(duì)于A,C={pl3,p23,p34,hl3,h23,h34},D={pl2,pl3,pl4,hl2,hl3,hl4}

則事件。。。={以3,加3}*0,所以事件C與事件。不互斥，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤?{03,023,034,加3,〃23,婦4},所以〃（C）=6,

貝4尸（C）=%=2=；,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,/={012,。13,。14,。23,224,234},8=仰2,陽(yáng)3,/714,%23,a24,434},

則=且/門8=0,所以事件A與事件8對(duì)立，故C正確；

對(duì)于D,CD={pU,hl3}t則”。=2,所以「（⑦卜作旨二行二.故D錯(cuò)誤，

磯叼12o

故選：C.

4.（24-25高一上?遼寧大連?期末）甲、乙兩組數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

甲乙

829

91345

254826

785535

667

①甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)比乙組?。?/p>

②乙組數(shù)據(jù)離散程度更?。?/p>

③甲組的75%分位數(shù)比乙組的60%分位數(shù)大10；

④甲組的極差比乙組的方差大；

⑤選擇甲組中任一數(shù)據(jù)，其在乙組中的概率為1.

A.①④⑤B.①③④C.①③D.②④

【答案】B

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算出平均數(shù)、百分位數(shù)、方差即可判斷①、②、③、④，根據(jù)古典概型的概率公式判

斷⑤.

28+31+39+42+45+55+58+57+66421

【詳解】甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

99

29+34+35+48+42+46+53+55+67409

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

9—

所以甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)比乙組大，故①錯(cuò)誤;

乙組數(shù)據(jù)比較集中，所以乙組數(shù)據(jù)離散程度更小，故②正確;

因?yàn)?x75%=6.75,所以甲組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為57;

9x60%=5.4,所以乙組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為48;

則甲組的75%分位數(shù)比乙組的60%分位數(shù)大9,故③錯(cuò)誤；

甲組的極差為66-28=38,

1|7409Y（409Y（409Y

乙組的方差為§[29-—J+^34-—J+-+|^67--J-126.91,

所以甲組的極差比乙組的方差小，故④錯(cuò)誤.

甲組數(shù)據(jù)有42、55在乙組數(shù)據(jù)中，則選擇甲組中任一數(shù)據(jù)，其在乙組中的概率為:，故⑤正確.

故選：B

5.（24-25高一上?甘肅甘南?期末）為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史爰黨、知史爰國(guó)的熱情，

某校舉辦了"學(xué)黨史、育文化"暨"喜迎黨的二十大"黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分,

成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.。的值為0.005B.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75

C.估計(jì)成績(jī)低于60分的有250人D.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85

【答案】D

【分析】由頻率分布直方圖面積之和為1可計(jì)算由眾數(shù)定義可得B,計(jì)算低于60分的人數(shù)即可得C,根

據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可得D.

【詳解】對(duì)于A：由頻率分布直方圖可得10（2a+3a+3a+6a+5a+a）=l,解得。=0.005,故A正確；

對(duì)于B：由圖易得在區(qū)間［70,80）的人最多，故可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為四券=75,故B正確；

對(duì)于C：10x0.005x（2+3）x1000=250,故成績(jī)低于60分的有250人，即C正確；

對(duì)于D:由圖中前四組面積之和為：（2+3+3+6）x0.005x10=0.7,

圖中前五組面積之和為：（2+3+3+6+5）*0.005xl0=0.95,

故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，

設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為,

貝［］有0.7+5x0.005（加一80）=0.85,解得加=86,

即估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.（23-24高一下?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）已知某地最近10天每天的最高氣溫（單位：。C）分別為23,

17,17,21,22,20,16,14,21,19,則這10天最高氣溫的第80百分位數(shù)是（）

A.15B.21C.

【答案】C

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，按照定義求出第80百分位數(shù)即可.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序,即14,16,17,17,19,20,21,21,22,23.

21+22

由于10x0.8=8,貝瞰第8,9個(gè)的平均值作為第80百分位數(shù).即=21.5.

故選：C.

7.（23-24高一下?山西大同?期末）若數(shù)據(jù)為，和…，%的平均數(shù)為數(shù)據(jù)為=2+再，y2=2+x2,...,yn=2+xni

則數(shù)據(jù)凹，兒，…，”的平均數(shù)為（）

A.aB.2+aC.2D.2a

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.

1?

【詳解】；a=W，

n1=1

，數(shù)據(jù)w%，???，力的平均數(shù)

=2+a.

故選：B.

8.（2025?甘肅甘南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△N3C是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)。滿足麗=4就（0＜彳＜1）,

￡為"的中點(diǎn)，則麗?斯的取值范圍為（）

E

BDC

-9、r9

A.-7,4B.[-4,4)C.-7,4D.[-2,4]

L4)L4J

【答案】A

【分析】以直線8c為x軸，線段8。的中垂線為J，軸建立平面直角坐標(biāo)系，先利用坐標(biāo)表示相關(guān)向量，再結(jié)合

數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】以直線為x軸，線段8c的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示)，

則S(-2,0),C(2,0),/(0,2V3),￡(1,V3),

因?yàn)锽D=2BC(0<A<1),

則點(diǎn)。在線段8c(不含端點(diǎn))上，

設(shè)O(x,0),貝[|_2<x<2,麗=(一2_聲0),詼=(l—x,百)，

所以麗?瓦=(一2一x)(l一x)=x2+x-2=]x+j-1(-2<x<2),

1______9

所以當(dāng)x=-^時(shí)，DB-DE取得最小值-“

當(dāng)尤=2時(shí)，DBDE^A,

故麗?瓦的取值范圍為一

故選：A.

9.(2025?江蘇泰州?二模)某同學(xué)用3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊A/BC,已知瓦'=3,

13

COSZACF=-,貝!]ZUBC的面積為()

441D4416441D4416

A——D.--------c?V

1616,8-

【答案】B

【分析】^AF=CE=t(t>0)i在“FC中，分別利用正弦定理和余弦定理，求得邊長(zhǎng)/C,再利用三角形面

積公式求解.

【詳解】在"FC中，ZAFC=180°-60°=120°,

又cos/ZW=j|,貝[|sin//CF=萼，設(shè)4F=CE=(>0),則C尸=3+/,

AFAC7

在A/FC中，由正弦定理得,解得

sinZACFsinZAFC

在AAFC中,由余弦定理得AC2=AF2+CF2-2AFCF-cosNAFC,

即事J=/+(3+/J-2%?(3+。?921

,又，>0,解彳導(dǎo)f=5,貝

所以為晶年多2喑,

故選：B.

10.（24-25高一下?廣東深圳?期中）已知a,。表示兩個(gè)不同的平面，a,b,c表示三條不同的直線，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A,若6//a,aua,則—

B.若aua,bua,cla,c_L6,則c_Ltz

C.若auc,bua,a〃夕，bl1/3,則a//月

D.若。，azaIlbt貝6_La

【答案】D

【分析】ABC選項(xiàng)，可舉出反例；D選項(xiàng)，可由平行和垂直的性質(zhì)和判定證明.

【詳解】A選項(xiàng)，若blla,aua.則6〃a或6ua,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，若blla,不能推出d,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，若6//。，則不能推出a//,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)樗訢正確.

故選：D

11.（23-24高一下?寧夏固原?期末）已知巴〃是兩條不同的直線，?,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正

確的是（）

A.若?//一,"〃夕,則用」〃

B.若加//a,機(jī)///,則1_1_￡

C.若m_La,?±a,則5〃力

D.若aCl￡=加,mlln,則nll/3

【答案】C

【分析】根據(jù)線面平行考慮所有可能情況判斷A,由兩平面平行的判定判斷B,根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷C,

根據(jù)線線平行、線面平行的判定定理判斷D.

【詳解】對(duì)A,刃//4"的,則可能加〃"，加，〃相交、異面，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,若機(jī)//。，加則見(jiàn)方可能平行，可能相交，不一定垂直，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若加_L&,n±a,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得機(jī)〃一,故C正確；

先ID,若々Cl4=m,mlln,則〃//或〃U。，故D錯(cuò)誤.

故選：C

12.(24-25高二上遼寧?開學(xué)考試)已知正方體"38-44。自的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別是棱，2AG上的

動(dòng)點(diǎn)，若正方體初8-48￡2的外接球的球心是三棱錐尸-3CE的外接球的球心是2,則。。2的最大值是

()

A.V2B.卓C.—D.逑

244

【答案】C

【分析】根據(jù)題意找出球心a和。2的位置，再根據(jù)線面垂直性質(zhì)得出當(dāng)a,。2,G三點(diǎn)共線時(shí)，。。2的最大

值為當(dāng)

4

【詳解】如下圖所示:

設(shè)8。的中點(diǎn)為G,4。的中點(diǎn)為“，△所。的外接圓圓心為M的外接圓圓心為N,

易得MG_LBC,NGLBC,

過(guò)〃，N分別作平面8CC￡,平面48CD的垂線，交點(diǎn)即為。2,

又Q為G”的中點(diǎn)，所以當(dāng)MG和NG最小時(shí)，。02取得最大值.

設(shè)MG=d,B、F=a,由MC=AZF,可彳導(dǎo)/+F=僅-4)?+(l_q『,

13

整理得d=W("T)9"+Z，故當(dāng)"I

3

即方為4G的中點(diǎn)時(shí)，MG取得最小值a,

3

同理可得NG的最小值也是a,

此時(shí)a,。2,G三點(diǎn)共線，oq2=O\G-02G=6一當(dāng)=與.

故選：C

二、多選題

13.(24-25高一下?吉林延邊?期中)在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()

A.若復(fù)數(shù)二=當(dāng)中，i為虛數(shù)單位，則z"=-1

1-1

B.已知(l+“i)("i)>0,其中i是虛數(shù)單位，。為實(shí)數(shù)，則。=1或“=-1

C.若0=1,則1士-2區(qū)3

D.復(fù)數(shù)z=-1-2i是方程x?+2x+5=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)解

【答案】ACD

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則，乘法法則，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A,z===￡?=l±F=i,所以［4x7+2/=T,故A正確;

l-i(1一1)(1+1)2

2

對(duì)于B,由(l+〃i)(a-i)>0,可得Q—i+/i+Q>o,gp2a-(\-a^i>Qt

\l-a2=0

所以。八，解得。=1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)z=〃+bi,（〃/￡R）,因?yàn)閨2|=1,所以/+〃=1,所以-IVQVI

2222

所以匕_2|=^a-2）+b=yl（a-2）+l-a=&4ae[l,3],故C正確；

又寸于D,S^）（-l-2i）2+2（-l-2i）+5=l-4+4i-2-4i+5=0,

所以復(fù)數(shù)2=-1-萬(wàn)是方程/+2x+5=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)解，故D正確.

故選：ACD.

14.（24-25高一下福建廈門?期中）已知i為虛數(shù)單位，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z=|^,則*=T

1-1

B.目2=z?z

C.若|z+l|=|z-l|,則Z為純虛數(shù)

D.若1v忖v&,則在復(fù)平面中復(fù)數(shù)-所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成的圖形面積為兀

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及乘方即可判斷A;根據(jù)復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷B;舉出反例即可

判斷C;根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式，即可判斷D.

l+i=(+i)(l+i)

【詳解】對(duì)于

A,~1-i(l-i)(l+i)，

所以z30=（i2『=-l,故A正確;

對(duì)于B,設(shè)2=<7+歷（0,6€1<）,

則，=/+〃/；=/+〃，所以,=z￡故B正確;

對(duì)于c,當(dāng)z=o時(shí)，E|=H=1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)z=x+yi（x,jeR）,

由l4|z歸正，得iwjY+j?工肥,gpi<x2+/<2,

所以復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為一個(gè)圓環(huán)，

其中小圓的半徑為1,大圓的半徑為正,

其面積為兀x（亞『一兀'『二兀，故D正確.

故選：ABD.

15.（24-25高一上?廣西欽州?期末）已知一組數(shù)據(jù)為，馬,…,馬,的極差為加，平均數(shù)為。，方差為6,另外一

組數(shù)據(jù)%+瓦華+6,…,%+6的極差為9,平均數(shù)為11,方差為13,則（）

A.am=9B.a2+b=ll

C.a2b+b=13D.卜府

【答案】BD

【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，通過(guò)計(jì)算，然后判斷選項(xiàng)的正誤.

【詳解】假設(shè)占最小，%最大，則無(wú)）,-』=加，

若。<0，則另外一組數(shù)據(jù)%,+6最小，ax,+b最大，

此時(shí)極差為（辦?+6）-"+b）=a（占-%）=-即=9,A錯(cuò)誤.

易得|：2；二；上所以2-6卜J（/+6）2-4/6=屈,B,D正確，C錯(cuò)誤.

故選：BD.

16.（24-25高三下?江蘇揚(yáng)州?期末）為了解某種新產(chǎn)品的加工情況，并設(shè)定工人每天加工該產(chǎn)品的最少數(shù)

量.相關(guān)部門從工廠隨機(jī)抽查了100名工人在某天內(nèi)加工該產(chǎn)品的數(shù)量.現(xiàn)將這些觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組

為左閉右開的區(qū)間），繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）

A.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的極差不大于50

B.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間［55,65）上的頻率為0.04

C.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為70

D.若將工人每天加工產(chǎn)品的最少數(shù)量設(shè)為55,估計(jì)80%的工人能完成任務(wù)

【答案】AD

【分析】由頻率分布直方圖，結(jié)合極差、頻率、百分位數(shù)的計(jì)算公式逐項(xiàng)判斷即可；

【詳解】解：對(duì)于A,據(jù)頻率分布直方圖可得最小數(shù)值不小于45,而最大數(shù)值小于95,

所以極差不大于50,故A正確；

對(duì)于B,樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間［55,65）上的頻率為0.04x10=0.4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間［45,65）上的頻率為（0.02+0.04）x10=0.6,

樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在區(qū)間［45,75）上的頻率為（0.02+0.04+0.025）x10=0.85,

則樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)在［65,75）之間，設(shè)為x,

貝［|0.6+（x-65）x0.025=0.75,解得x=71,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,據(jù)頻率分布直方圖加工產(chǎn)品的數(shù)量［45,55）的頻率為0.02*10=0.2,

則估計(jì)80%的工人能完成任務(wù)，故D正確.

故選：AD

17.（24-25高一上?遼寧大連?期末）下列說(shuō)法正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)2,3,x,5,7的平均數(shù)是4,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3

B.數(shù)據(jù)13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70%分位數(shù)是23

C.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，則總體中某個(gè)體被抽到

的概率是0.2

D.若樣本數(shù)據(jù)石，9，…，/的標(biāo)準(zhǔn)差為6,則數(shù)據(jù)2x「l,2x「l,…，2/-1的標(biāo)準(zhǔn)差為11

【答案】AC

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)平均數(shù)列方程求x即可判斷A；根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義求數(shù)據(jù)中第70%分位數(shù)判斷B；根據(jù)簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣各個(gè)體被抽到的概率等于樣本容量與總體容量的比值判斷C；根據(jù)方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的方差，進(jìn)而確定

其標(biāo)準(zhǔn)差判斷D.

2+3+x+5+7

【詳解】A:由4,可得x=3,顯然這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3,對(duì);

5

B：將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?2,13,14,15,17,19,23,24,27,30,

23+24

又10x70%=7,所以第70%分位數(shù)是^^=23.5,錯(cuò);

C：由題設(shè)，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣過(guò)程中抽取到任一個(gè)體的概率為P=《=02,對(duì);

D：由樣本數(shù)據(jù)X，%,…,%的標(biāo)準(zhǔn)差為6,即方差為36,

則數(shù)據(jù)2再-1,2乙-1,…,2/-1的方差為4x36=144,故標(biāo)準(zhǔn)差為12,錯(cuò).

故選：AC

18.（24-25高二下?遼寧丹東?期中）甲、乙兩人進(jìn)行投籃游戲，用抽簽的方式?jīng)Q定誰(shuí)先投籃，抽到誰(shuí)是等可能

的.每次投籃若命中，則繼續(xù)投籃；若未命中，則換對(duì)方投籃.規(guī)定兩人累計(jì)共投3次球，投中次數(shù)多的一方獲勝,

若兩人投中次數(shù)相同，再抽簽決定誰(shuí)投籃一次，投中為勝，未投中則對(duì)方獲勝.若甲、乙每次投籃命中的概率分別為

14-且每次投籃相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法正確的是（）

7

A.第2個(gè)球是甲投的概率為逐

B.甲只投了1次球獲勝的概率為，

19

C.甲投了3次球獲勝的概率為許

1Uo

23

D.在第一次是乙投籃的條件下，甲獲勝的概率為獲

【答案】ABD

【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算求解判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】記4="抽簽抽到甲",■=”甲投籃命中",4="抽簽抽到乙"，.=”乙投籃命中".

對(duì)于A,第2個(gè)球是甲投的概率為q=P（4）P（耳）+尸（4）尸（瓦）=《，所以A正確；

對(duì)于B,甲只投了1次球獲勝的概率為

.=尸（4）尸（與瓦片）尸（4）尸（瓦）+尸（4）-尸（瓦瓦瓦）尸（4）尸（國(guó)）

1112111111111—JA

所以B正確；

對(duì)于C,甲投了3次球獲勝的概率為

呂=尸（4）尸（8內(nèi)）+尸（4）尸他瓦巴）尸（4）?尸闖+尸（4）尸伍瓦瓦）尸（4）尸⑻

1221211121111121

=—X—X—+—X—X—X—X—X—+—X—X—X—X—X—=—故C錯(cuò)誤;

2332332232323234

對(duì)于D,在第一次是乙投籃的條件下,

甲獲勝的概率為巴=尸（與瓦5JP（4）P（5J+P（巴瓦⑷尸（4）P（瓦）+P（瓦片）

+P(瓦瓦瓦)P(4)P(BJ+P(瓦瓦瓦)p(4)p修)

112121121112111121111123

=—X—X—X—X1X—X—X—X1——X1X—X—X—X1--X—x——x——x——=——故D正確.

223232232223232232322248

故選：ABD.

19.(24-25高一上湖南衡陽(yáng)?期末)如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正

八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為。={123,4,5,6,7,8},設(shè)事件/={1,2,7,8},事件5="得

到的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"，事件。="得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)"，則下列說(shuō)法正確的是()

3

A.事件2與C互斥B.P(^U5)=-

C.事件/與C相互獨(dú)立D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

【答案】BCD

【分析】確定事件48，c包含的樣本點(diǎn)，利用互斥、獨(dú)立事件的意義，結(jié)合古典概率逐項(xiàng)判斷.

【詳解】事件/={127,8},事件8={2,4,6,8},事件C={2,3,5,7},尸(⑷=尸(㈤=尸(C)=；,

對(duì)于A,事件叢C有相同的樣本點(diǎn)2,事件B與C不互斥，A錯(cuò)誤；

213

對(duì)于B,P(AB)=-=-則尸(4U8)=尸⑷+尸(--尸(/8)=彳,B正確;

o4i4

對(duì)于C,尸(NC)=?|=；=尸(⑷尸(C),事件/與。相互獨(dú)立，C正確；

o4

對(duì)于D,P(ABC)=^=P(A)P(B)P(C),D正確.

O

故選：BCD

20.(2025?四川?三模)已知在△48C中,角4叢。的對(duì)邊分別為。也。,若"=4,sin5+sinC=2sin<則()

TV

A.a/BC的周長(zhǎng)為12B.角A的最大值為］

C.△N8C的面積最小值為2gD.△/8C的面積最大值為4月

【答案】ABD

【分析】根據(jù)正弦定理得b+c=2a=8可判斷A；利用基本不等式得防V16,再由余弦定理得coJ2；可判斷

1__1兀

B；根據(jù)S“Bc=］bcsin/,當(dāng)角A接近0時(shí)，ZU8C的面積也接近0可判斷C；由cos/2得sin/l在/=石時(shí)取得

最大值，可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由a=4,sinfi+sinC=2si也根據(jù)正弦定理得

6+。=2。=8公480的周長(zhǎng)為。+?=12,選項(xiàng)A正確；

i--x.1'.TBA〃+，—/(b+C)2—a2241

=16,由余弦XE理cos/=———----=———-------1=--1>-/

m2bc2bcbe2

因?yàn)椤癳(0,7i),cos/品，當(dāng)且僅當(dāng)6=c等號(hào)成立，所以/中看,選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,又謝=；6csin/,當(dāng)角A接近0時(shí)，△/8C的面積也接近0,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

1171

對(duì)于D,SAABC=-bcsmA,由/e(0,7i),cos/25得siiU在4=］時(shí)取得最大值，

故LBC在6=c=4,/=與時(shí)取得最大值473,選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

21.(24-25高一下?山東濟(jì)南?階段練習(xí))在ZVLBC中，角4民。的對(duì)邊分別為凡瓦。，且

QCOSC+^asmC-b-c=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A."V

B.若△/BC的周長(zhǎng)為6,內(nèi)切圓半徑為Ilbe=4

3

C.若6=2,S,貝必/5C有兩解

D.若〃=6,貝夕卜接圓的面積為4兀

【答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)求出A,結(jié)合三角形面積及正弦定理逐

項(xiàng)求解判斷.

【詳解】在△45。中，由QcosC+GasinC-b-c=0及正弦定理得sin4cosc+GsinZsinC—sinB—sin。=0,

貝(Jsin4coscsin4sinC-sin(4+C)-sinC=0,

整理得sinAcosC+V3sinsinC-sinAcosC-cos/sinC-sinC=0,

BPVJsin^4sinC-cos24sinC-sinC=0,ffgsinC>0,則VJsin4=cosZ+l,

貝(](cos4+1)2=3sin?4=3(1-cos4)(1+cos/),而0</<兀，一1<COS4<1,

1Ti

解得cos/=],因此/=§,A正確；

對(duì)于B,若△甌的周長(zhǎng)為6,內(nèi)切圓半徑為g,由S"c=；6csi吟=；x6x*,得6c=4,B正確；

對(duì)于C,當(dāng)6=2時(shí)，°滿足6sin/<a<6,a/BC有兩解，

此時(shí)2s嗚<a<2,即百<。<2,△N3C有兩解，C正確;

對(duì)于D,由a=g,得△48。外接圓半徑廠=不匕=1,此圓面積為兀，D錯(cuò)誤.

2smz

故選：ABC

22.(24-25高一下?廣東揭陽(yáng)?期末)已知向量身=(sinx,-6),k=卜05羽32》一?,函數(shù)/(幻=玩.拓，下列說(shuō)

法正確的是()

A.>=/(x)的最小正周期是兀

B.>=〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

IT

C.〉="幻的圖象關(guān)于直線》=正對(duì)稱

TT57r

D.>=/(x)的單調(diào)增區(qū)間為2^--,2for+—(keZ)

【答案】AB

【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及輔助角公式得/(x)=sm(2x-5］,再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)

的正誤.

【詳解】由題意得，/(x)=mH=|sin2x-cos2x=sin

2兀

昨/(x)的最小正周期7=了=兀，故A正確；

由/H=sin『3=0,知>=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)1,01寸稱，故B正確；

由/償］=sin倍知了=/0)的圖象不關(guān)于直線.》=卷對(duì)稱，故C錯(cuò).

(12)3J212

由一巴+2標(biāo)42%—巴4烏+2標(biāo)得---+hr<x<—+kRZ

ra232'i守1212'

所以了=〃x)的單調(diào)增區(qū)間為［E-jTTpE+正571心eZ),故D錯(cuò)；

故選：AB

23.(24-25高一下?江蘇鹽城?期中)已知|而|=|四=2,兩與函夾角為三，若|明=2且

OP=xOM+ydN(x>0,y>0)i貝!］下歹I」說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)>=0時(shí)，而在麗上的投影向量為必礪B.當(dāng)x=7時(shí)，OP-MN=Q

2

C.當(dāng)X=；時(shí)，y=J1：TD.西7.麗的最大值為0

【答案】BCD

【分析】根據(jù)已知得A。肱V是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且血.而=2,由投影向量的定義及向量的線性關(guān)系

判斷A；由題設(shè)尸在AOMV中邊兒W的中線上，進(jìn)而有判斷B;應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及模長(zhǎng)列方程求

參數(shù)值判斷C；化曲.而=[(1)而:-了礪卜[(1-了)麗-x兩],進(jìn)而得至U同乙時(shí)=6-6(x+y),結(jié)合同=2

^x2+xy+y2=l,即可彳導(dǎo)x+yNl判斷D.

【詳解】由題設(shè)，QMN是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且麗?麗=2x2xcos600=2,

A：當(dāng)."=0時(shí)，OP^xOM,又|西=|兩|=2,即方=兩，故而在加上的投影向量為1■礪，錯(cuò)；

B：當(dāng)工=y時(shí)，OP=x(QM+ON),即尸在AOAW中邊MV的中線上，

又A0W為等邊三角形，^OPLMN,即赤?加=0,對(duì)；

C：當(dāng)X=1時(shí)，OP^OM+yON,則I9|=詞+＞麗)2,

^X\OP\=^OM2+yOM-ON+y2ON2=Jl+2y+4y2=2,

所以l+2y+4/=4,即4/+27_3=0,又yNO,故〉=勇二1(負(fù)值舍)，對(duì)；

D：l^-lm=(^-^y(ON-OP)=[(l-x)OM-yON]-[(l-y)ON-xOM]=

22

2(1-x)(l-y)+4x(x-1)+4y(y-1)+2xy=4x+4y-6x-6y+4xy+21

由|而|=^xOM+yC^=J4/+4盯+4/=2,即F+盯+/=]①，

所以麗^麗=6-6(x+y),要使該值最大，只需x+＞最小，

由①得(丁+①2-1=到20,貝!|x+”l,所以西?麗W0,對(duì).

故選：BCD

三、填空題

,,2-

24.（24-25高一下?內(nèi)蒙古興安盟?期中）已知滿足同=4,萬(wàn)%=6,若萬(wàn)在B方向上的投影向量為不，則

\a+b\=.

【答案】歷

【分析】利用投影向量的定義求出行再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.

2-&.b_2fu,b2

【詳解】由］在B方向上的投影向量為［b,得貝！1mT=而晨3=6,

于是⑻=3,\a+b\=yja2+b2+2a-b=V42+32+2x6=737.

故答案為：V37

25.（24-25高一下?湖南?期中）菱形中，/8=6,/2/。=60。,屋=2而，赤=2而，點(diǎn)/在線段跖上,

HAM=xAB+ADz貝”+,必=.

475

【答案】—/7-

66

【分析】設(shè)而=彳次+（1-彳）力，進(jìn)一步將其表示成以方，而為基底的向量，結(jié)合已知條件，可得關(guān)于彳和

x的方程組，解之，再根據(jù)模長(zhǎng)的計(jì)算方法，得I而用勺值從而得解.

【詳解】因?yàn)橹?2麗而=2而，所以礪=；前，麗=；友，

^\^AE=AB+BE=AB+^Ai5,AF=Ai5+DF=^AB+ADi

因?yàn)辄c(diǎn)N在線段所上，

□］-^ZM=2ZE+（1-2）2F=2IA8+12D1+（1-2）1+

——?―?1—?3335

^AM=xAB+-AD,所以；],解得彳=],x=z，

2,Z140

1A,——

132

所以而［市+［而,

___.c(5—?1___A225―-2S—?_____?1__.2

貝[]"『=—43+—=——AB+-ABAD+-AD=49,

(62J3664

所以|力同=7,故x+p7|=。.

47

故答案為：—.

0

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)/M=2/E+(l-2)2廠，進(jìn)一步將其表示成以方，而為基底的向量，從而可解.

26.(23-24高一下安徽六安?期末)復(fù)數(shù)z=聞的虛部為

1+i

【答案】-1

【分析】計(jì)算出模長(zhǎng)，并利用復(fù)數(shù)除法法則得到z=l-i,求出虛部.

【詳解】z=d=智產(chǎn)=消^=羋工一,

1+11+11+1(1+1)(1-1)1-1

故虛部為T.

故答案為：-1

所示，其中HD"ABC,A'D'=2,B'C'=4,A'B'=1,則四邊形的面積是

/4/、D]A

0⑼Cx'

【答案】6

【分析】利用斜二測(cè)畫法規(guī)則畫出原圖形，再求直角梯形的面積.

【詳解】

如圖，直角梯形/BCD即為原圖形，則43=249=2,4)=49=2,30=8。=4,

所以四邊形ABCD的面積S=(2+?，2=6.

故答案為：6.

28.(24-25高二上?四川成都?期末)在某次活動(dòng)中，登記的8個(gè)數(shù)據(jù)4%,當(dāng),…的平均數(shù)為8,方差為16,

其中再=7.后來(lái)發(fā)現(xiàn)不應(yīng)該為10,并且漏登記了一個(gè)數(shù)據(jù)14,則修正后的9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為.

1cos

【答案】9—/17-

【分析】由題意可求出馬+毛+…+/=57,&-8『+…+值-8)2=127,再利用平均數(shù)以及方差公式即可求

出修正后的平均值以及方差.

【詳解】由題意知修正前再+%+、3+…+/=8x8=64,貝(]X2+%3+…+/=64—7=57,