中考試題2025年煙臺(tái)市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共8頁，共120分；考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，務(wù)必用0．5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上．3．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．4．非選擇題必須用0．5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．5．寫在試卷上或答題卡指定區(qū)域外的答案無效．6．考試過程中允許考生進(jìn)行剪、拼、折疊等實(shí)驗(yàn)．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分．每小題都給出標(biāo)號(hào)為A，B，C，D四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的）1.的倒數(shù)是（）A.3 B. C.-3 D.2.2025年4月24日，神舟二十號(hào)載人飛船成功發(fā)射，以壯麗升空將第10個(gè)中國航天日從紀(jì)念變?yōu)閼c祝．下列航天圖案是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.4.如圖是社團(tuán)小組運(yùn)用打印技術(shù)制作的模型，它的左視圖是（）A. B. C. D.5.如圖是一款兒童小推車的示意圖，若，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.求一組數(shù)據(jù)方差的算式為：．由算式提供的信息，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的值是5B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7C.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6D.若該組數(shù)據(jù)加入兩個(gè)數(shù)7，7，則這組新數(shù)據(jù)方差變小7.某商場打折銷售一款風(fēng)扇，若按標(biāo)價(jià)的六折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇虧損10元；若按標(biāo)價(jià)的九折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇盈利95元．這款風(fēng)扇每臺(tái)的標(biāo)價(jià)為（）A.350元 B.320元 C.270元 D.220元8.如圖，菱形的頂點(diǎn)在軸正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和菱形的對稱中心，則的值為（）A.4 B. C.2 D.9.如圖，二次函數(shù)的部分圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于和之間，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．下列結(jié)論：①；②對于任意實(shí)數(shù)，都有；③；④若該二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且是等邊三角形，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.①④ D.①③④10.如圖，在中，，，是角平分線．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，點(diǎn)在上，且．設(shè)，，若y關(guān)于x的函數(shù)圖象過點(diǎn)，則該圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）11.2025年2月2日是第29個(gè)“世界濕地日”，主題是“保護(hù)濕地共筑未來”．國家林草局公布的最新數(shù)據(jù)顯示，全國濕地面積穩(wěn)定保持在56350000公頃以上．將數(shù)據(jù)56350000用科學(xué)記數(shù)法表示為________．12.實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為________．13.因式分解：________．14.如圖，正六邊形的邊長為4，中心為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓心角為的扇形，則圖中陰影部分的面積為______．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．以點(diǎn)為位似中心作與位似，相似比為2，且與位于點(diǎn)同側(cè)；以點(diǎn)為位似中心作與位似，相似比為2，且與位于點(diǎn)同側(cè)……按照以上規(guī)律作圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．16.如圖，在菱形中，，對角線．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)P．在此過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為_________．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分）17.先化簡，再求值：，其中．18.2025年4月19日，煙臺(tái)市民文化藝術(shù)季啟幕．某校帶領(lǐng)甲、乙兩個(gè)社團(tuán)參觀甲骨學(xué)發(fā)展史館，領(lǐng)略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活動(dòng)結(jié)束后，兩個(gè)社團(tuán)進(jìn)行了一次滿分為10分的甲骨學(xué)發(fā)展史測試，并對所有學(xué)生的成績進(jìn)行了收集、整理、分析，信息如下：①甲社團(tuán)的成績（單位：分）情況如下：6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．②乙社團(tuán)的平均成績?yōu)椋ǚ郑蹖蓚€(gè)社團(tuán)的成績繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）成績?yōu)?分的學(xué)生在_______社團(tuán)的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；（3）已知甲社團(tuán)的滿分學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從甲社團(tuán)滿分學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，參加甲骨學(xué)發(fā)展史宣講活動(dòng)．請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．19.如圖，是矩形的對角線，請按以下要求解決問題：（1）利用尺規(guī)作，使與關(guān)于直線成軸對稱（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若交于點(diǎn)，，，求的長．20.2025年6月5日是第54個(gè)“世界環(huán)境日”，為打造綠色低碳社區(qū)，某社區(qū)決定購買甲、乙兩種太陽能路燈安裝在社區(qū)公共區(qū)域，升級改造現(xiàn)有照明系統(tǒng)．已知購買1盞甲種路燈和2盞乙種路燈共需220元，購買3盞甲種路燈比4盞乙種路燈的費(fèi)用少140元．（1）求甲、乙兩種路燈的單價(jià)；（2）該社區(qū)計(jì)劃購買甲、乙兩種路燈共40盞，且甲種路燈的數(shù)量不超過乙種路燈數(shù)量的，請通過計(jì)算設(shè)計(jì)一種購買方案，使所需費(fèi)用最少．21.綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)海里的速度向碼頭航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請注意防范．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求漁船在航行過程中到燈塔的最短距離；（2）若不改變航行速度，請通過計(jì)算說明漁船能否在濃霧到來前到達(dá)碼頭（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．22.如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，連接．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長及的半徑．23.【問題呈現(xiàn)】如圖1，已知是正方形外一點(diǎn)，且滿足，探究，，三條線段的數(shù)量關(guān)系．小穎通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：如圖2，構(gòu)造與全等，從而得出與的數(shù)量關(guān)系；思路二：如圖3，構(gòu)造與全等，從而得出與數(shù)量關(guān)系．（1）請參考小穎的思路，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系______________；【類比探究】（2）如圖4，若是正五邊形外一點(diǎn)，且滿足，，，求的長度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）；【拓展延伸】（3）如圖5，若是正十邊形外一點(diǎn)，且滿足，則，，三條線段的數(shù)量關(guān)系為_________（結(jié)果用含有銳角三角函數(shù)的式子表示）．24.如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，，D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F，連接．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)D橫坐標(biāo)為，①用含有的代數(shù)式表示線段的長度；②是否存在點(diǎn)D，使是等腰三角形?若存在，請求出所有滿足條件點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）連接，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請直接寫出線段長度的最小值．2025年煙臺(tái)市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共8頁，共120分；考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，務(wù)必用0．5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上．3．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．4．非選擇題必須用0．5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．5．寫在試卷上或答題卡指定區(qū)域外的答案無效．6．考試過程中允許考生進(jìn)行剪、拼、折疊等實(shí)驗(yàn)．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分．每小題都給出標(biāo)號(hào)為A，B，C，D四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的）1.的倒數(shù)是（）A.3 B. C.-3 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是倒數(shù)的含義，絕對值的含義，先計(jì)算絕對值，再求其倒數(shù)即可.【詳解】解：∵，∴3的倒數(shù)是，∴的倒數(shù)是，故選：B2.2025年4月24日，神舟二十號(hào)載人飛船成功發(fā)射，以壯麗升空將第10個(gè)中國航天日從紀(jì)念變?yōu)閼c祝．下列航天圖案是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的識(shí)別，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷即可．【詳解】解：A、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、圖形是中心對稱圖形，符合題意，選項(xiàng)正確；故選：D．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查整式的運(yùn)算，包括合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘除法及冪的乘方，需逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性．根據(jù)合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘除法及冪的乘方逐一分析判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：．合并同類項(xiàng)需滿足相同次數(shù)，但與次數(shù)不同，無法合并，結(jié)果應(yīng)為，故A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：．單項(xiàng)式乘法中，系數(shù)相乘（），變量部分指數(shù)相加（），結(jié)果，故B正確．選項(xiàng)C：．單項(xiàng)式除法中，系數(shù)相除（），變量部分指數(shù)相減（），結(jié)果為，但選項(xiàng)寫為，符號(hào)錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：．冪的乘方需對系數(shù)和變量分別乘方：系數(shù)為，變量為，結(jié)果應(yīng)為，但選項(xiàng)寫為，系數(shù)錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤．故選：B．4.如圖是社團(tuán)小組運(yùn)用打印技術(shù)制作的模型，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了三視圖，根據(jù)左視圖的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖是社團(tuán)小組運(yùn)用打印技術(shù)制作的模型，它的左視圖是：；故選：C．5.如圖是一款兒童小推車的示意圖，若，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴；故選：A．6.求一組數(shù)據(jù)方差的算式為：．由算式提供的信息，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.的值是5B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7C.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6D.若該組數(shù)據(jù)加入兩個(gè)數(shù)7，7，則這組新數(shù)據(jù)的方差變小【答案】C【解析】【分析】本題考查的是方差的計(jì)算，眾數(shù)的含義，平均數(shù)的含義，根據(jù)方差公式及數(shù)據(jù)特征，逐一分析選項(xiàng)的正誤．【詳解】解：選項(xiàng)A、算式中平方差項(xiàng)數(shù)為5，對應(yīng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，正確．選項(xiàng)B、平均數(shù)，正確．選項(xiàng)C、數(shù)據(jù)中6和8均出現(xiàn)2次，次數(shù)最多，故眾數(shù)為6和8，而非僅6，錯(cuò)誤．選項(xiàng)D、加入兩個(gè)7后，數(shù)據(jù)更集中，方差由減小為，正確．綜上，錯(cuò)誤的說法是C．故選C7.某商場打折銷售一款風(fēng)扇，若按標(biāo)價(jià)的六折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇虧損10元；若按標(biāo)價(jià)的九折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇盈利95元．這款風(fēng)扇每臺(tái)的標(biāo)價(jià)為（）A.350元 B.320元 C.270元 D.220元【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)這款風(fēng)扇每臺(tái)的標(biāo)價(jià)為元，根據(jù)按標(biāo)價(jià)的六折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇虧損10元可得風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)按標(biāo)價(jià)的九折出售，則每臺(tái)風(fēng)扇盈利95元可得風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)為元，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這款風(fēng)扇每臺(tái)的標(biāo)價(jià)為元，由題意得，，解得，∴這款風(fēng)扇每臺(tái)的標(biāo)價(jià)為350元，故選：A．8.如圖，菱形的頂點(diǎn)在軸正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)和菱形的對稱中心，則的值為（）A.4 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，反比例函數(shù)的性質(zhì)，先證明，，設(shè)，可得，，求解，過作于，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：∵菱形的頂點(diǎn)在軸正半軸上，，∴，，∴，設(shè)，∴，∴，解得：，過作于，∴，∴，∴，∴；故選：D9.如圖，二次函數(shù)的部分圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于和之間，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．下列結(jié)論：①；②對于任意實(shí)數(shù)，都有；③；④若該二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且是等邊三角形，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.①④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】由二次函數(shù)的圖象的開口向下，與軸交于正半軸，對稱軸在軸的右側(cè)，，，，可得①符合題意；結(jié)合當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，，可得②不符合題意；由，，可得，可得③符合題意；由，記的橫坐標(biāo)分別為，可得，結(jié)合，可得，可得④符合題意.【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的開口向下，與軸交于正半軸，對稱軸在軸的右側(cè)，∴，，，∴，故①符合題意；∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故②不符合題意；∵二次函數(shù)的部分圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于和之間，對稱軸為直線，∴，，∴，，∴，故③符合題意；如圖，為等邊三角形，∴，，，，∴，記的橫坐標(biāo)分別為，∴，∴，當(dāng)，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故④符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象解題是關(guān)鍵.10.如圖，在中，，，是角平分線．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，點(diǎn)在上，且．設(shè)，，若y關(guān)于x的函數(shù)圖象過點(diǎn)，則該圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】證明，設(shè)，可得，如圖，在上取點(diǎn)，使，求解：，證明，可得，，結(jié)合y關(guān)于x的函數(shù)圖象過點(diǎn)，求解：，再進(jìn)一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可.【詳解】解：∵，，是角平分線．∴，，設(shè)，∴，如圖，在上取點(diǎn)，使，∴，∴，∴，∴，解得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵y關(guān)于x的函數(shù)圖象過點(diǎn)，∴，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴該圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)為；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵.二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）11.2025年2月2日是第29個(gè)“世界濕地日”，主題是“保護(hù)濕地共筑未來”．國家林草局公布的最新數(shù)據(jù)顯示，全國濕地面積穩(wěn)定保持在56350000公頃以上．將數(shù)據(jù)56350000用科學(xué)記數(shù)法表示為________．【答案】【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，把一個(gè)大于的數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法的形式時(shí)，將小數(shù)點(diǎn)放到左邊第一個(gè)不為的數(shù)位后作為，把整數(shù)位數(shù)減作為，從而確定它的科學(xué)記數(shù)法形式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，即可得出答案．【詳解】解：；故答案為：．12.實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的整數(shù)部分問題的理解，化為最簡二次根式，由，，從而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，故答案為：13.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解；先提取公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解．【詳解】解：，故答案為：．14.如圖，正六邊形的邊長為4，中心為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓心角為的扇形，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【解析】【分析】連接、、，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出，，，證明和為等邊三角形，求出，證明，得出，得出，根據(jù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接、、，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，如圖所示：∵六邊形為正六邊形，∴，，，∴和為等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積計(jì)算，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的性質(zhì)．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．以點(diǎn)為位似中心作與位似，相似比為2，且與位于點(diǎn)同側(cè)；以點(diǎn)為位似中心作與位似，相似比為2，且與位于點(diǎn)同側(cè)……按照以上規(guī)律作圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了位似的性質(zhì)，根據(jù)位似比等于變換后與變換前的圖形的對應(yīng)線段的比，根據(jù)兩點(diǎn)距離得出進(jìn)而得出，求得直線的解析式，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴設(shè)∴解得：（舍去）∴故答案為：．16.如圖，在菱形中，，對角線．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)P．在此過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為_________．【答案】【解析】【分析】如圖，連接交于．求解，，，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，證明，可得，作等邊三角形，以為圓心，為半徑作圓，取點(diǎn)，連接，，證明在上，且在弧上，再利用弧長公式計(jì)算即可.【詳解】解：如圖，∵在菱形中，，對角線，連接交于．∴，，，，∵設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，∴，即，∴，∴，∴，∴，作等邊三角形，以為圓心，為半徑作圓，取點(diǎn)，連接，，∴，，，∴，∴在上，且在弧上，∴在此過程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑長為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的確定，三角函數(shù)的應(yīng)用，弧長的計(jì)算，證明在上，且在弧上是解本題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分）17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查的是分式的化簡求值，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的加減運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算，最后把代入計(jì)算即可.【詳解】解：，∵，∴原式.18.2025年4月19日，煙臺(tái)市民文化藝術(shù)季啟幕．某校帶領(lǐng)甲、乙兩個(gè)社團(tuán)參觀甲骨學(xué)發(fā)展史館，領(lǐng)略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活動(dòng)結(jié)束后，兩個(gè)社團(tuán)進(jìn)行了一次滿分為10分的甲骨學(xué)發(fā)展史測試，并對所有學(xué)生的成績進(jìn)行了收集、整理、分析，信息如下：①甲社團(tuán)的成績（單位：分）情況如下：6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．②乙社團(tuán)的平均成績?yōu)椋ǚ郑蹖蓚€(gè)社團(tuán)的成績繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）成績?yōu)?分的學(xué)生在_______社團(tuán)的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；（3）已知甲社團(tuán)的滿分學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從甲社團(tuán)滿分學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，參加甲骨學(xué)發(fā)展史宣講活動(dòng)．請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析（2）成績?yōu)?分的學(xué)生在乙社團(tuán)的排名更靠前（3）【解析】【分析】（1）先分別求解甲社團(tuán)滿分分有3人；乙社團(tuán)分有人；補(bǔ)全圖形即可；（2）先分別求解甲社團(tuán)的成績的中位數(shù)為（分）；乙社團(tuán)的成績的中位數(shù)為（分），再進(jìn)一步求解即可；（3）記男生為甲，兩個(gè)女生分別為乙，丙，畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取兩人恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：∵由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：甲社團(tuán)滿分分有3人；乙社團(tuán)分有人；補(bǔ)全圖形如下：；【小問2詳解】解：①甲社團(tuán)的成績（單位：分）情況如下：6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．∴排在第，位的數(shù)據(jù)為，∴甲社團(tuán)的成績的中位數(shù)為（分）；∵乙社團(tuán)排在第，位的數(shù)據(jù)為，，∴乙社團(tuán)的成績的中位數(shù)為（分）；∴成績?yōu)?分的學(xué)生在乙社團(tuán)的排名更靠前；【小問3詳解】解：記男生為甲，兩個(gè)女生分別為乙，丙，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取兩人恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有4種，∴兩人恰好是一名男生和一名女生的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查的是從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，平均數(shù)公式中獲取信息，求解中位數(shù)，利用中位數(shù)做決策，利用畫樹狀圖或列表法求解隨機(jī)事件的概率，掌握統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．19.如圖，是矩形的對角線，請按以下要求解決問題：（1）利用尺規(guī)作，使與關(guān)于直線成軸對稱（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若交于點(diǎn)，，，求的長．【答案】（1）作圖見解析（2）【解析】【分析】（1）以為圓心，為半徑畫弧，以為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，即可；（2）如圖，證明，，，，可得，證明，設(shè)，則，可得，再解方程即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求作的三角形；由作圖可得：，，，∴，∴即為所求作的三角形；【小問2詳解】解：如圖，∵矩形，∴，，，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：；∴．【點(diǎn)睛】本題考查是作軸對稱圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的作圖是解本題的關(guān)鍵．20.2025年6月5日是第54個(gè)“世界環(huán)境日”，為打造綠色低碳社區(qū)，某社區(qū)決定購買甲、乙兩種太陽能路燈安裝在社區(qū)公共區(qū)域，升級改造現(xiàn)有照明系統(tǒng)．已知購買1盞甲種路燈和2盞乙種路燈共需220元，購買3盞甲種路燈比4盞乙種路燈的費(fèi)用少140元．（1）求甲、乙兩種路燈的單價(jià)；（2）該社區(qū)計(jì)劃購買甲、乙兩種路燈共40盞，且甲種路燈的數(shù)量不超過乙種路燈數(shù)量的，請通過計(jì)算設(shè)計(jì)一種購買方案，使所需費(fèi)用最少．【答案】（1）甲、乙兩種路燈的單價(jià)分別為元，元（2）購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費(fèi)用最少【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組以及一元一次不等式、一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)甲、乙兩種路燈的單價(jià)分別為元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買甲種路燈盞，則購買乙種路燈盞，列出不等式，求得，設(shè)購買費(fèi)用為元，得出，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)甲、乙兩種路燈的單價(jià)分別為元，根據(jù)題意得，解得：答：甲、乙兩種路燈的單價(jià)分別為，元【小問2詳解】解：設(shè)購買甲種路燈盞，則購買乙種路燈盞，根據(jù)題意得，解得：設(shè)購買費(fèi)用為元，根據(jù)題意得，∵∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，∴時(shí)，（盞），即購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費(fèi)用最少，答：購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費(fèi)用最少．21.【綜合與實(shí)踐】煙臺(tái)山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺(tái)山上，為過往船只提供導(dǎo)航服務(wù)．為了解漁船海上作業(yè)情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開展了實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，一艘漁船自東向西以每小時(shí)海里的速度向碼頭航行，小組同學(xué)收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時(shí)，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時(shí)，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣．請注意防范．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求漁船在航行過程中到燈塔的最短距離；（2）若不改變航行速度，請通過計(jì)算說明漁船能否在濃霧到來前到達(dá)碼頭（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．【答案】（1）漁船在航行過程中到燈塔的最短距離為海里（2）不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達(dá)碼頭【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵；（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得出，解，得出，建立方程，即可求解；（2）求得的距離，計(jì)算的距離，根據(jù)路程除以速度得到航行時(shí)間，結(jié)合題意，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，依題意，，，，∴，，∴，在中，，∴，解得：，∴漁船在航行過程中到燈塔的最短距離為海里；【小問2詳解】解：中，，，∴，∴，小時(shí)分鐘，從14：30，經(jīng)過分鐘是，在之前到達(dá)，∴不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達(dá)碼頭．22.如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)在線段延長線上，且，連接．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長及的半徑．【答案】（1）見解析（2）；的半徑為【解析】【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接，根據(jù)已知得出，根據(jù)圓周角定理得出，進(jìn)而等量代換可得即，即可得證；（2）證明，即可得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得出，進(jìn)而求得，即可求解．【小問1詳解】證明：如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，∵，∴∴又∵，∴∴∵∴∴∵是直徑∴∴即∴是的切線；【小問2詳解】∵∴∴∵∴，又∵，∴解得：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴∴又∵∴∴的半徑為23.【問題呈現(xiàn)】如圖1，已知是正方形外一點(diǎn)，且滿足，探究，，三條線段的數(shù)量關(guān)系．小穎通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：如圖2，構(gòu)造與全等，從而得出與的數(shù)量關(guān)系；思路二：如圖3，構(gòu)造與全等，從而得出與的數(shù)量關(guān)系．（1）請參考小穎的思路，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系______________；【類比探究】（2）如圖4，若是正五邊形外一點(diǎn)，且滿足，，，求的長度（結(jié)果精確到