因式分解方法歸納

徐傳新專題

因式分解整式相關公式am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n)．a0=1(a≠0).

（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2公式(a+b)(a-b)=a2-b2的8種變化形式：歸納：完全平方公式的常用形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;(2)ab=[（a+b）2-（a2+b2）]；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab;(6)(a-b)2=(a+b)2-4ab;(7)ab=

因式分解------（一）提公因式法課前預習1.把下列多項式寫成整式乘積的形式：(1)a2+a=

;(2)x2-1=

.2.下列變形：①a(x+y)=ax+ay;②x2-4x+4=x(x-4)+4;③10x2-5x=5x(2x-1);④x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x.其中屬于因式分解的有

.3.8a3b2與12ab3c的公因式是

.4.把下列各式分解因式：(1)6mn2+2mn;(2)18xyz-12x2y2;a(a+1)(x+1)(x-1)③4ab2原式=2mn(3n+1)原式=6xy(3z-2xy)因式分解的概念定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種式子的變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.如：ax+ay=a(x+y),a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),am+an+bm+bn=(a+b)(m+n)，…,都是因式分解.

注意:①因式分解專指多項式的恒等變形，即等式的左邊必須是多項式.提公因式法分解因式注意：(1)提公因式分解因式的關鍵是確定公因式.確定一個多項式的公因式時，要對數(shù)字系數(shù)和字母分別考慮：①對于數(shù)字系數(shù)如果是整數(shù)系數(shù)，取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)②對于字母，需考慮兩條：一條是取各項相同的字母；另一條是各相同字母的指數(shù)取其次數(shù)最低的.(2)乘法分配律是提公因式法的依據，提公因式法實質上是分配律的“逆用”，即(3)提公因式法分解因式的一般步驟是：第一步找出公因式；第二步提公因式并確定另一個因式.提公因式時可用原多項式除的公因式，所得的商即為提公因式后剩下的另一個因式.也可以用公因式分別去除原多項式的每一項，求得剩下的另一個因式.例如：因式分解8a3b2-12ab2c，提公因式4ab2時，用4ab2分別去除原多項式的每一項，得(8a3b2÷4ab2-12ab3c÷4ab2)=2a2-3bc,即8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc).【例2】運用提取公因式法分解因式.(1)12a2b3+6a2b2-18a3b2;(2)-27m2n+9mn2-18mn;(3)5a2(x-y)+10a(y-x);(4)x(x-y)2-y(y-x)2;(5)18(a-b)3-12b(b-a)2.解析：(1)系數(shù)12，6，-18的最大公約數(shù)為6.相同字母a,b的最低次冪為a2b2，公因式為6a2b2.12a2b3+6a2b2-18a3b2=6a2b2(2b+1-3a).注意括號內第二項應為1.(2)當?shù)谝豁椣禂?shù)為負時，應提出負號，括號內各項都變號，公因式為-9mn.-27m2n+9mn2-18mn=-9mn(3m-n+2).(3)∵y-x=-(x-y),∴公因式為5a(x-y).5a2(x-y)+10a(y-x)=5a(x-y)(a-2).(4)x(x-y)2-y(y-x)2

=x(x-y)2-y(x-y)2

=(x-y)2(x-y)=(x-y)3

(5)18(a-b)3-12b(b-a)2

=18(a-b)3-12b(a-b)2

=6(a-b)2(3a-3b-2b)=6(a-b)2(3a-5b)3.把下列各式分解因式.(1)ab+a+b+1;(2)-4m3+16m2-26m;

(3)m(a-3)+2(3-a);(4)6a(b-a)2-2(a-b)3.原式=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)原式=-2m(2m2-8m+13)原式=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2)原式=6a(a-b)2-2(a-b)3

=2(a-b)2［3a-(a-b)］=2(a-b)2(2a+b)5.因式分解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；（2）a2x2y﹣axy2．原式=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x+y）（x﹣y）原式=axy（ax﹣y）14.3.2公式法（一）課前預習1.計算：852﹣152=（）A．70

B．700

C．4900

D．70002.下列多項式中，能運用公式法因式分解的是（）A．x2﹣xy

B．x2+xyC．x2+y2

D．x2﹣y23.分解因式：x2﹣4=

．4.若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），則a=

．DD（x+2）（x﹣2）3課堂精講知識點.利用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b)，即兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.(1)把乘法公式中的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2逆用，即為因式分解的平方差公式.(2)公式中所說的“兩個數(shù)”是a,b，而不是a2,b2，其中a,b可以是單項式，也可以是多項式.(3)平方差公式的特點：①左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；②右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，凡是符合平方差公式特點的二項式，都可以運用平方差公式分解因式，如x2-y2,a2-1,4x2-9,(b+c)2-4(a-b)2

等.【例】把下列各式分解因式.課堂精講(1)25m2-n2;(2)(x-y)2-1;

(3)16x-25x3y2;(4)x4-16.原式=(5m+n)(5m-n)原式=(x-y+1)(x-y-1)原式=x(4+5xy)(4-5xy)原式=(x2+4)(x+2)(x-2)隨堂檢測1.將x2﹣16分解因式正確的是（）A．（x﹣4）2

B．（x﹣4）（x+4）C．（x+8）（x﹣8）D．（x﹣4）2+8x2.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2

B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2

D．﹣x2+93.若a+b=2011，a﹣b=1，則a2﹣b2=

．4.計算：20142﹣20132=

．5.4x2﹣9=

．BD20114027（2x﹣3）（2x+3）14.3.3公式法（二）課前預習1.分解因式a4﹣2a2+1的結果是（）A．（a2+1）2

B．（a2﹣1）2C．a2（a2﹣2）D．（a+1）2（a﹣1）22.當a=9時，代數(shù)式a2+2a+1的值為

．3.x2+x+

是完全平方式.4.（2014龍巖）因式分解：x2﹣4x+4=

．D1001（x﹣2）2課堂精講知識點.用完全平方公式分解因式（1）把整式乘法的完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2反過來，就得到

即兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方．我們把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項式因式分解，公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式.（2）完全平方公式的特點等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數(shù)（或兩個式子）的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數(shù)（或兩個式子）的積的2倍，符號正負均可．等號右邊是這兩個數(shù)（或兩個式子）的和（或者差）的平方，當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方．歸納：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．【例】分解因式：（1）﹣x2+4xy﹣4y2（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．解析：（1）先添加帶符號的括號，再利用完全平方公式分解因式即可．（2）首先利用多項式乘法計算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上1后變形成x2﹣4x+4，然后再利用完全平方公式進行分解即可．（1）解：﹣x2+4xy﹣4y2，=﹣（x2﹣4xy+4y2），=﹣（x﹣2y）2．（2）解：原式=x2﹣4x+3+1，=x2﹣4x+4，=（x﹣2）2．1.把下列各式分解因式.(1)y2-4x(y-x);(2)(a2+b2)2-4a2b2.原式=(y-2x)2原式=(a+b)2(a-b)2隨堂檢測1.下列各式中，滿足完全平方公式進行因式分解的是（）A．2x2+4x+1

B．4x2﹣12xy+9y2C．2x2+4xy+y2

D．x2﹣y2+2xy2.把代數(shù)式x2﹣4x+4分解因式，下列結果中正確的是（）A．（x+2）（x﹣2）B．（x+2）2C．（x﹣4）2

D．（x﹣2）23.若a=2b﹣2，則a2﹣4ab+4b2的值是

．4.如果多項式x2﹣6x+c可以分解為（x﹣3）2，那么c的值是

．5.分解因式4x2﹣4x+1=

．BD49（2x﹣1）2十字相乘法

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab觀察與發(fā)現(xiàn)兩個一次二項式相乘的積一個二次三項式整式的乘法反過來，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一個二次三項式兩個一次二項式相乘的積因式分解如果二次三項式x2+px+q中的常數(shù)項系數(shù)q能分解成兩個因數(shù)a、b的積，而且一次項系數(shù)p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以進行如上的因式分解。十字相乘法：對于二次三項式的分解因式，借用一個十字叉幫助我們分解因式，這種方法叫做十字相乘法。即：x＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)2xxabax＋bx=(a＋b)xx2ab例1分解因式x－6x＋82解：x－6x＋82xx－2－4－4x－2x=－6x=(x－2)(x－4)例2：步驟：①豎分二次項與常數(shù)項②交叉相乘，積相加③檢驗確定，橫寫因式十字相乘法（借助十字交叉線分解因式的方法）順口溜：

豎分常數(shù)交叉驗，

橫寫因式不能亂。試一試：小結：用十字相乘法把形如二次三項式分解因式使(順口溜：豎分常數(shù)交叉驗，橫寫因式不能亂。)

練一練：小結：用十字相乘法把形如二次三項式分解因式當q>0時，q分解的因數(shù)a、b()當q<0時，q分解的因數(shù)a、b()同號異號將下列各式分解因式觀察：p與a、b符號關系小結：當q>0時，q分解的因數(shù)a、b()同號異號當q<0時，q分解的因數(shù)a、b()且（a、b符號）與p符號相同（其中絕對值較大的因數(shù)符號）與p符號相同練習：在橫線上填、符號=（x3）（x1）

=（x3）（x1）=（y4）（y5）=（t4）（t14）++-+---+當q>0時，q分解的因數(shù)a、b(同號)且（a、b符號）與p符號相同當q<0時，q分解的因數(shù)a、b(異號)（其中絕對值較大的因數(shù)符號）與p符號相同十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項系數(shù)與常數(shù)項分別拆成兩個數(shù)的積，而這四個數(shù)中，兩個數(shù)的積與另外兩個數(shù)的積之和剛好等于一次項系數(shù)，那么因式分解就成功了。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x