求二面角的題目及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.若二面角的平面角為銳角，則該二面角的大小為：A.銳角B.鈍角C.直角D.任意角答案：A2.已知兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(1,2,3)\)和\(\vec{n_2}=(4,5,6)\)，這兩個平面之間的二面角的余弦值為：A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：D3.若兩個平面的交線垂直于其中一個平面，則這兩個平面之間的二面角為：A.0°B.90°C.180°D.不能確定答案：B4.兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(1,0,0)\)和\(\vec{n_2}=(0,1,0)\)，這兩個平面之間的二面角為：A.0°B.90°C.45°D.180°答案：B5.若兩個平面的法向量互相垂直，則這兩個平面之間的二面角為：A.0°B.90°C.45°D.180°答案：B二、填空題（每題4分，共20分）6.若二面角的平面角為\(\theta\)，則該二面角的大小為\(\boxed{\theta}\)或\(\boxed{180^\circ-\theta}\)。7.若兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(a,b,c)\)和\(\vec{n_2}=(d,e,f)\)，則這兩個平面之間的二面角的余弦值為\(\boxed{\frac{ad+be+cf}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{d^2+e^2+f^2}}}\)。8.若兩個平面的交線與其中一個平面的法線垂直，則這兩個平面之間的二面角為\(\boxed{90^\circ}\)。9.若兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(1,1,1)\)和\(\vec{n_2}=(-1,-1,1)\)，則這兩個平面之間的二面角的余弦值為\(\boxed{-\frac{1}{3}}\)。10.若兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(1,0,0)\)和\(\vec{n_2}=(0,1,1)\)，則這兩個平面之間的二面角的余弦值為\(\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)。三、計算題（每題10分，共20分）11.已知兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(2,3,6)\)和\(\vec{n_2}=(1,-2,-3)\)，求這兩個平面之間的二面角。解：首先計算兩個法向量的點積：\[\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2\cdot1+3\cdot(-2)+6\cdot(-3)=2-6-18=-22\]然后計算兩個法向量的模：\[|\vec{n_1}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\]\[|\vec{n_2}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\]接著計算二面角的余弦值：\[\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{-22}{7\sqrt{14}}=-\frac{22}{7\sqrt{14}}\]最后求得二面角\(\theta\)：\[\theta=\arccos\left(-\frac{22}{7\sqrt{14}}\right)\]12.已知兩個平面的法向量分別為\(\vec{n_1}=(1,2,1)\)和\(\vec{n_2}=(2,1,-1)\)，求這兩個平面之間的二面角。解：首先計算兩個法向量的點積：\[\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\cdot2+2\cdot1+1\cdot(-1)=2+2-1=3\]然后計算兩個法向量的模：\[|\vec{n_1}|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}\]\[|\vec{n_2}|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\]接著計算二面角的余弦值：\[\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]最后求得二面角\(\theta\)：\[\theta=\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60^\circ\]四、簡答題（每題10分，共10分）13.簡述如何通過兩個平面的法向量求得這兩個平面之間的二面角。答：首先計算兩個法向量的點積，然后計算兩個法向量的模。接著利用點積和模的值計算二面角的余弦值，最后通過反余弦函數(shù)求得二面角的大小。具體步驟如下：1.計算點積：\(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\)。2.計算模：\(|\vec{n_1}|=\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\)，\(|\vec{n_2}|=\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_