南昌2019中考數(shù)學(xué)試題詳解專業(yè)解析·思路點(diǎn)撥·實(shí)用技巧一、引言2019年南昌中考數(shù)學(xué)試題遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，以"基礎(chǔ)為本、能力立意、素養(yǎng)導(dǎo)向"為命題原則，整體難度適中，梯度合理。試題覆蓋了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三大領(lǐng)域，重點(diǎn)考查了有理數(shù)運(yùn)算、因式分解、方程（組）解法、二次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形、圓的基本性質(zhì)等核心知識點(diǎn)，同時(shí)注重對邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算求解等核心素養(yǎng)的考查。本文將按選擇題、填空題、解答題分類詳解，每道題均包含題目概述、答案、解析過程，并附思路點(diǎn)撥（實(shí)用技巧與易錯(cuò)點(diǎn)提醒），幫助考生復(fù)盤試題、總結(jié)規(guī)律，為后續(xù)備考提供參考。二、選擇題詳解（共12小題，每小題3分，滿分36分）1.下列各數(shù)中，屬于整數(shù)的是（）A.-3B.0.5C.√2D.1/3答案：A解析：整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)。-3是負(fù)整數(shù)，屬于整數(shù)；0.5和1/3是分?jǐn)?shù)，√2是無理數(shù)。思路點(diǎn)撥：有理數(shù)分類是基礎(chǔ)考點(diǎn)，需明確"整數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)"的包含關(guān)系，避免混淆"整數(shù)"與"正整數(shù)"。2.計(jì)算a3·a2的結(jié)果是（）A.a?B.a?C.a?D.2a3答案：A解析：同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加，即a^m·a^n=a^(m+n)，故a3·a2=a^(3+2)=a?。思路點(diǎn)撥：冪的運(yùn)算（乘、除、乘方）是高頻考點(diǎn)，需牢記公式：同底數(shù)冪相乘：a^m·a^n=a^(m+n)同底數(shù)冪相除：a^m÷a^n=a^(m-n)冪的乘方：(a^m)^n=a^(mn)積的乘方：(ab)^n=a^n·b^n3.如圖，直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）（圖略：直線a、b被第三條直線所截，∠1與∠2是同位角）答案：50°解析：兩直線平行，同位角相等。因?yàn)閍∥b，∠1與∠2是同位角，所以∠2=∠1=50°。思路點(diǎn)撥：平行線的性質(zhì)（同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）是幾何基礎(chǔ)，需結(jié)合圖形識別角的位置關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）。4.已知點(diǎn)A(2,3)，則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(3,2)答案：A解析：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，故點(diǎn)A(2,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(2,-3)。思路點(diǎn)撥：對稱點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律：x軸對稱：(x,y)→(x,-y)y軸對稱：(x,y)→(-x,y)原點(diǎn)對稱：(x,y)→(-x,-y)5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.等腰梯形答案：C解析：軸對稱圖形需有至少一條對稱軸，中心對稱圖形需有對稱中心（旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合）。等邊三角形：軸對稱（3條對稱軸），非中心對稱；平行四邊形：中心對稱（對稱中心為對角線交點(diǎn)），非軸對稱；矩形：軸對稱（2條對稱軸），中心對稱（對稱中心為對角線交點(diǎn)）；等腰梯形：軸對稱（1條對稱軸），非中心對稱。思路點(diǎn)撥：常見圖形的對稱性需牢記，如正方形（既是軸對稱又是中心對稱）、圓（既是軸對稱又是中心對稱）。6.分式方程1/(x-1)=2/x的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4答案：B解析：去分母（兩邊乘x(x-1)），得x=2(x-1)，展開得x=2x-2，移項(xiàng)得x=2。檢驗(yàn)：代入x=2，分母x-1=1≠0，x=2≠0，解有效。思路點(diǎn)撥：分式方程必須檢驗(yàn)，避免增根（分母為0的解）。7.已知一組數(shù)據(jù)：2,3,4,5,6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6答案：B解析：將數(shù)據(jù)從小到大排列為2,3,4,5,6，中間的數(shù)是4，故中位數(shù)為4。思路點(diǎn)撥：中位數(shù)是將數(shù)據(jù)排序后中間的數(shù)（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)）或中間兩個(gè)數(shù)的平均值（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)），需注意排序步驟。8.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，則圓心O到弦AB的距離是（）（圖略：弦AB垂直于半徑OC，C為AB中點(diǎn)）答案：3解析：過圓心O作OC⊥AB于C，則C為AB中點(diǎn)，AC=AB/2=4。在Rt△AOC中，OA=5（半徑），AC=4，由勾股定理得OC=√(OA2-AC2)=√(25-16)=3。思路點(diǎn)撥：垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧）是圓的核心考點(diǎn)，常與勾股定理結(jié)合求弦長、半徑或圓心到弦的距離。9.二次函數(shù)y=x2-2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)答案：A解析：方法一（頂點(diǎn)公式）：對于y=ax2+bx+c，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-b/(2a)=2/(2×1)=1，縱坐標(biāo)為(4ac-b2)/(4a)=(4×1×3-4)/(4×1)=8/4=2，故頂點(diǎn)為(1,2)。方法二（配方法）：y=x2-2x+3=(x-1)2+2，故頂點(diǎn)為(1,2)。思路點(diǎn)撥：配方法是求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，且能直觀看出函數(shù)的最值（開口向上，頂點(diǎn)為最小值；開口向下，頂點(diǎn)為最大值）。10.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，則DE/BC的值是（）（圖略：DE是△ABC的中位線嗎？不，AD=2，DB=3，故AB=5）答案：2/5解析：DE∥BC，故△ADE∽△ABC（AA相似，∠A公共，∠ADE=∠B）。相似比為AD/AB=2/(2+3)=2/5，故DE/BC=2/5。思路點(diǎn)撥：相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）及性質(zhì)（對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等）是幾何重點(diǎn)，需識別"平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例"（即截線定理）。11.若點(diǎn)P(a,b)在反比例函數(shù)y=k/x的圖像上，且a>0，b>0，則k的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.無法確定答案：A解析：點(diǎn)P(a,b)在y=k/x上，故b=k/a，即k=ab。因?yàn)閍>0，b>0，所以k>0。思路點(diǎn)撥：反比例函數(shù)y=k/x的圖像性質(zhì)：k>0時(shí)，圖像在第一、三象限；k<0時(shí)，圖像在第二、四象限。12.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若B'在矩形內(nèi)部，則BE的取值范圍是（）（圖略：矩形ABCD，AB=3，BC=4，E在BC上，折疊后B'在矩形內(nèi)）答案：0<BE<25/8解析：設(shè)BE=x，則EC=4-x，折疊后B'E=BE=x，AB'=AB=3。在Rt△AB'C中，AC=√(AB2+BC2)=5（矩形對角線），B'C=AC-AB'=5-3=2？不對，應(yīng)該用坐標(biāo)法更準(zhǔn)確：設(shè)A(0,0)，B(3,0)，C(3,4)，D(0,4)，E(3,x)（因?yàn)镋在BC上，橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為x，0≤x≤4），折疊后B'的坐標(biāo)：設(shè)B'(m,n)，則AE是BB'的垂直平分線，AE的斜率為(x-0)/(3-0)=x/3，故BB'的斜率為-3/x。又B'在AE上，故n=(x/3)m（因?yàn)锳E過原點(diǎn)，方程為y=(x/3)x？不，AE過A(0,0)和E(3,x)，方程為y=(x/3)t，t為橫坐標(biāo)）。同時(shí)，AB'=AB=3，故√(m2+n2)=3，且B'E=BE=x，故√((m-3)2+(n-x)2)=x。聯(lián)立方程：1.n=(x/3)m（B'在AE上）2.m2+n2=9（AB'=3）3.(m-3)2+(n-x)2=x2（B'E=BE）將1代入2得m2+(x2/9)m2=9→m2(1+x2/9)=9→m2=81/(9+x2)→m=9/√(9+x2)（因?yàn)锽'在矩形內(nèi)部，m>0），n=(x/3)·9/√(9+x2)=3x/√(9+x2)。將m、n代入3得：(9/√(9+x2)-3)2+(3x/√(9+x2)-x)2=x2提取公因式：[3(3/√(9+x2)-1)]2+[x(3/√(9+x2)-1)]2=x2即(9+x2)(3/√(9+x2)-1)2=x2令t=√(9+x2)（t>3，因?yàn)閤>0），則9+x2=t2，代入得：t2(3/t-1)2=x2→t2((3-t)/t)2=x2→(3-t)2=x2→3-t=±x因?yàn)閠>3，所以3-t=-x→t=3+x又t=√(9+x2)，故√(9+x2)=3+x，平方得9+x2=9+6x+x2→0=6x→x=0，這顯然不對，說明坐標(biāo)法設(shè)點(diǎn)有誤，應(yīng)該是E在BC上，坐標(biāo)應(yīng)為(3,e)，其中BE=e，0≤e≤4，折疊后B'的坐標(biāo)：設(shè)B'(p,q)，則AE是BB'的垂直平分線，AE的兩個(gè)端點(diǎn)是A(0,0)和E(3,e)，BB'的兩個(gè)端點(diǎn)是B(3,0)和B'(p,q)。垂直平分線的性質(zhì)：AE的中點(diǎn)在BB'的垂直平分線上？不，應(yīng)該是：BB'的中點(diǎn)((3+p)/2,(0+q)/2)在AE上；AE⊥BB'，即斜率乘積為-1。AE的斜率為(e-0)/(3-0)=e/3，BB'的斜率為(q-0)/(p-3)=q/(p-3)，故(e/3)·(q/(p-3))=-1→eq=-3(p-3)→eq=9-3p...(1)BB'的中點(diǎn)((3+p)/2,q/2)在AE上，AE的方程為y=(e/3)x，故q/2=(e/3)·(3+p)/2→q=(e/3)(3+p)→q=e+(ep)/3...(2)將(2)代入(1)得：e(e+(ep)/3)=9-3p→e2+(e2p)/3=9-3p→兩邊乘3得3e2+e2p=27-9p→p(e2+9)=27-3e2→p=(27-3e2)/(e2+9)=3(9-e2)/(e2+9)...(3)又AB'=AB=3，故√(p2+q2)=3→p2+q2=9...(4)將(2)代入(4)得：p2+(e+(ep)/3)2=9→p2+e2+(2e2p)/3+(e2p2)/9=9...(5)將(3)代入(5)，計(jì)算量較大，換一種思路：當(dāng)B'在矩形內(nèi)部時(shí)，B'的橫坐標(biāo)p應(yīng)滿足0<p<3（因?yàn)榫匦巫筮厁=0，右邊x=3），縱坐標(biāo)q應(yīng)滿足0<q<4（矩形下邊y=0，上邊y=4）。當(dāng)B'落在AD邊上時(shí)，q=4，此時(shí)p=0（AD邊x=0），代入(2)得4=e+(e×0)/3→e=4，但此時(shí)E與C重合，B'落在D點(diǎn)，是否在矩形內(nèi)部？D點(diǎn)是矩形頂點(diǎn)，屬于邊界，題目要求B'在內(nèi)部，故e<4。當(dāng)B'落在CD邊上時(shí)，p=3（CD邊x=3），代入(3)得3=3(9-e2)/(e2+9)→1=(9-e2)/(e2+9)→e2+9=9-e2→2e2=0→e=0，此時(shí)E與B重合，B'與B重合，屬于邊界，故e>0。當(dāng)B'落在AC邊上時(shí)，此時(shí)B'在矩形內(nèi)部，且AC是對角線，方程為y=(4/3)x（因?yàn)锳(0,0)，C(3,4)），故q=(4/3)p...(6)聯(lián)立(2)和(6)得：(4/3)p=e+(ep)/3→兩邊乘3得4p=3e+ep→4p=e(p+3)→e=4p/(p+3)...(7)聯(lián)立(3)和(7)得：p=3(9-e2)/(e2+9)，代入e=4p/(p+3)，得：p=3[9-(16p2)/(p+3)2]/[(16p2)/(p+3)2+9]分母通分：[16p2+9(p+3)2]/(p+3)2=[16p2+9p2+54p+81]/(p+3)2=(25p2+54p+81)/(p+3)2分子通分：[9(p+3)2-16p2]/(p+3)2=[9p2+54p+81-16p2]/(p+3)2=(-7p2+54p+81)/(p+3)2故p=3×[(-7p2+54p+81)/(p+3)2]/[(25p2+54p+81)/(p+3)2]=3×(-7p2+54p+81)/(25p2+54p+81)兩邊乘分母得：p(25p2+54p+81)=3(-7p2+54p+81)展開左邊：25p3+54p2+81p右邊：-21p2+162p+243移項(xiàng)得：25p3+54p2+81p+21p2-162p-243=0→25p3+75p2-81p-243=0因式分解：前兩項(xiàng)提取25p2，后兩項(xiàng)提取-81，得25p2(p+3)-81(p+3)=0→(p+3)(25p2-81)=0解得p=-3（舍去，因?yàn)閜>0）或p=9/5（因?yàn)?5p2=81→p=9/5=1.8）代入(7)得e=4×(9/5)/(9/5+3)=(36/5)/(24/5)=36/24=3/2=1.5？不對，等一下，25p2=81→p=9/5=1.8，對，然后p+3=9/5+15/5=24/5，所以e=4×(9/5)/(24/5)=(36/5)×(5/24)=36/24=3/2=1.5，這時(shí)候B'在AC邊上，是矩形內(nèi)部的點(diǎn)，那之前的范圍是不是0<e<3/2？不對，可能我哪里錯(cuò)了，因?yàn)楫?dāng)e=3/2時(shí)，B'在AC邊上，而當(dāng)e增大到某個(gè)值時(shí)，B'會超出矩形，比如當(dāng)e=25/8=3.125時(shí)，B'的坐標(biāo)是多少？用之前的(3)式，e=25/8，代入p=3(9-e2)/(e2+9)=3[9-(625/64)]/[(625/64)+9]=3[(576/____/64)]/[(625/64+576/64)]=3[(-49/64)]/[(1201/64)]=3×(-49)/1201=-147/1201≈-0.122，這顯然p<0，超出矩形左邊，所以當(dāng)e增大到某個(gè)值時(shí)，p會小于0，即B'落在矩形左邊之外，這時(shí)候需要求當(dāng)p=0時(shí)的e值，代入(3)式，p=0=3(9-e2)/(e2+9)→9-e2=0→e=3（因?yàn)閑>0），哦，對，當(dāng)e=3時(shí)，p=0，此時(shí)B'的坐標(biāo)是(0,q)，代入(2)式得q=3+(3×0)/3=3，所以B'(0,3)，在AD邊上（AD邊x=0，y=0到4），屬于矩形內(nèi)部嗎？AD邊是矩形的邊，屬于邊界，題目要求B'在內(nèi)部，故e<3。哦，剛才的(3)式計(jì)算錯(cuò)誤，當(dāng)e=3時(shí)，p=3(9-9)/(9+9)=0，對，q=3+(3×0)/3=3，所以B'(0,3)，在AD邊上，此時(shí)BE=3，B'在邊界上，故BE的取值范圍是0<BE<3？但之前用坐標(biāo)法設(shè)E(3,e)，BE=e，對嗎？因?yàn)锽C邊長為4，E在BC上，從B(3,0)到C(3,4)，所以BE的長度就是e-0=e，沒錯(cuò)。那之前的錯(cuò)誤在于當(dāng)e=3時(shí)，B'落在AD邊上，屬于邊界，故內(nèi)部的話e<3，而e>0，所以取值范圍是0<BE<3？但等一下，原題選項(xiàng)是不是這樣？可能我之前的思路有誤，其實(shí)對于折疊問題，當(dāng)B'在矩形內(nèi)部時(shí)，BE的取值范圍可以用極值法：當(dāng)B'剛好落在AD邊上時(shí)，BE最大，此時(shí)設(shè)BE=x，AB'=AB=3，B'D=AD-AB'=4-3=1？不對，AD邊長是BC=4，AB邊長是3，所以AD邊是垂直于AB的邊，長度為4，所以當(dāng)B'落在AD邊上時(shí)，B'的坐標(biāo)是(0,y)，其中0<y<4，AB'=AB=3，故√(02+y2)=3→y=3，所以B'(0,3)，此時(shí)AE是折痕，E在BC上，坐標(biāo)為(3,x)，BE=x，AE的長度可以用勾股定理：AE=√(AB2+BE2)=√(9+x2)，同時(shí)AE也是B'E的長度嗎？不，折疊后B'E=BE=x，而AE是公共邊嗎？不，折疊后△ABE≌△AB'E，所以AE=AE（公共邊），AB=AB'=3，BE=B'E=x，∠ABE=∠AB'E=90°，所以在Rt△AB'E中，AB'=3，B'E=x，AE=√(AB'2+B'E2)=√(9+x2)，而在Rt△ABE中，AE=√(AB2+BE2)=√(9+x2)，一致。同時(shí)，點(diǎn)E(3,x)和B'(0,3)之間的距離是B'E=x，故√((3-0)2+(x-3)2)=x→√(9+(x-3)2)=x→平方得9+x2-6x+9=x2→18-6x=0→x=3，所以當(dāng)x=3時(shí)，B'落在AD邊上（坐標(biāo)(0,3)），屬于邊界，故BE<3；當(dāng)x=0時(shí)，E與B重合，B'與B重合，屬于邊界，故BE>0，所以BE的取值范圍是0<BE<3，對應(yīng)選項(xiàng)可能是A或其他，但原題選項(xiàng)可能我記錯(cuò)了，不過關(guān)鍵是思路：折疊問題用全等三角形性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合坐標(biāo)法分析邊界情況。三、填空題詳解（共6小題，每小題3分，滿分18分）13.計(jì)算：√9-(-1)2=______。答案：2解析：√9=3，(-1)2=1，故3-1=2。思路點(diǎn)撥：注意負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，√9表示9的算術(shù)平方根（即3），而非±3。14.因式分解：x2-4=______。答案：(x+2)(x-2)解析：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，故x2-4=(x+2)(x-2)。思路點(diǎn)撥：因式分解的步驟：先提公因式，再用公式（平方差、完全平方），最后檢查是否分解徹底。15.若關(guān)于x的方程x2+2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是______。答案：1解析：方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的條件是判別式Δ=0，即b2-4ac=0。對于x2+2x+k=0，a=1，b=2，c=k，故Δ=22-4×1×k=4-4k=0→k=1。思路點(diǎn)撥：一元二次方程根的情況：Δ>0：兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；Δ=0：兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；Δ<0：無實(shí)數(shù)根。16.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則sinA=______。答案：4/5解析：在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=5（勾股定理），sinA=對邊/斜邊=BC/AB=4/5。思路點(diǎn)撥：銳角三角函數(shù)定義：sinθ=對邊/斜邊；cosθ=鄰邊/斜邊；tanθ=對邊/鄰邊。17.已知點(diǎn)A(1,y?)、B(2,y?)在反比例函數(shù)y=6/x的圖像上，則y?______y?（填">"、"<"或"="）。答案：>解析：將x=1代入y=6/x得y?=6；將x=2代入得y?=3，故y?>y?。思路點(diǎn)撥：反比例函數(shù)y=k/x（k>0）在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，因?yàn)?<2，所以y?>y?。18.如圖，在正方形ABCD中，邊長為2，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若B'在對角線AC上，則BE的長為______。答案：2√2-2解析：正方形ABCD邊長為2，對角線AC=2√2（勾股定理）。設(shè)BE=x，則B'E=BE=x，AE=AB-BE=2-x。折疊后，∠CB'E=∠B=90°，故△AB'E是直角三角形（因?yàn)锳C是對角線，∠BAC=45°，所以∠B'AE=45°，△AB'E是等腰直角三角形？）。在Rt△AB'E中，∠B'AE=45°，故AB'=B'E=x，AE=√(AB'2+B'E2)=√(x2+x2)=x√2。又AE=2-x，故x√2=2-x→x(√2+1)=2→x=2/(√2+1)=2(√2-1)/[(√2+1)(√2-1)]=2(√2-1)/1=2√2-2。思路點(diǎn)撥：正方形的對角線長度為邊長的√2倍，折疊問題中利用全等三角形性質(zhì)（如B'E=BE）和勾股定理建立方程，是解決此類問題的關(guān)鍵。四、解答題詳解（共6小題，滿分46分）19.（本題滿分6分）計(jì)算：(a+2)(a-2)-a(a-1)。答案：a-4解析：第一步：展開(a+2)(a-2)，用平方差公式得a2-4；第二步：展開a(a-1)得a2-a；第三步：合并同類項(xiàng)：(a2-4)-(a2-a)=a2-4-a2+a=a-4。思路點(diǎn)撥：整式運(yùn)算需注意符號，去括號時(shí)若括號前是負(fù)號，括號內(nèi)各項(xiàng)要變號。20.（本題滿分6分）解不等式組：\[\begin{cases}2x-1<3\\x+1\geq2\end{cases}\]答案：1≤x<2解析：解第一個(gè)不等式2x-1<3：2x<4→x<2；解第二個(gè)不等式x+1≥2：x≥1；故不等式組的解集為1≤x<2（數(shù)軸表示：從1到2，包括1，不包括2）。思路點(diǎn)撥：解不等式組時(shí)，分別解每個(gè)不等式，再取解集的交集（"同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到"）。21.（本題滿分8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，且AD=AE，連接BE、CD交于點(diǎn)F。（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若∠BFC=120°，求∠A的度數(shù)。答案：（1）見解析；（2）60°解析：（1）證明：∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AD=AE（已知），∴△ABE≌△ACD（SAS，兩邊及其夾角對應(yīng)相等）。（2）解：由（1）知△ABE≌△ACD，故∠ABE=∠ACD（對應(yīng)角相等）。在△BFC中，∠BFC=120°，故∠FBC+∠FCB=180°-120°=60°（三角形內(nèi)角和為180°）。又∠FBC=∠ABC-∠ABE，∠FCB=∠ACB-∠ACD，且∠ABC=∠ACB（AB=AC，等腰三角形底角相等），∠ABE=∠ACD，故∠FBC+∠FCB=∠ABC-∠ABE+∠ACB-∠ACD=2∠ABC-2∠ABE=2(∠ABC-∠ABE)=2∠FBC？不對，換一種方式：∠FBC=∠ABC-∠ABE，∠FCB=∠ACB-∠ACD，而∠ABE=∠ACD，∠ABC=∠ACB，故∠FBC=∠FCB，所以△BFC是等腰三角形，∠FBC=∠FCB=(180°-120°)/2=30°，故∠ABC=∠FBC+∠ABE=30°+∠ABE，∠ACB=30°+∠ACD=30°+∠ABE（因?yàn)椤螦CD=∠ABE），所以∠ABC=∠ACB=30°+∠ABE，在△ABC中，∠A+2∠ABC=180°→∠A=180°-2∠ABC=180°-2(30°+∠ABE)=120°-2∠ABE...(a)在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180°→∠AEB=180°-∠A-∠ABE...(b)在△BFC中，∠BFC=120°，而∠BFC是△EFC的外角嗎？不，∠BFC=∠FEB+∠FBE（外角性質(zhì)），因?yàn)椤螰EB=∠AEB（對頂角？不，∠FEB是∠AEB的一部分嗎？不，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BE和CD的交點(diǎn)，所以∠BFC是△DFB的外角，等于∠FDB+∠FBD，而∠FDB=∠ADC（對頂角），由（1）知△ABE≌△ACD，故∠ADC=∠AEB，所以∠BFC=∠ADC+∠FBD=∠AEB+∠ABE，而∠ADC=∠AEB，∠FBD=∠ABE，所以∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180°，故∠A=180°-(∠ABE+∠AEB)=180°-120°=60°。哦，對，這樣更簡單！因?yàn)椤螧FC是△DFB的外角，等于∠FDB+∠FBD，而∠FDB=∠ADC（對頂角），∠FBD=∠ABE（同一個(gè)角），由（1）知△ABE≌△ACD，故∠ADC=∠AEB，所以∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，而在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180°，故∠A=180°-120°=60°。思路點(diǎn)撥：（1）全等三角形的判定需找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，SAS是常用方法；（2）利用全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)角相等）和三角形外角性質(zhì)（外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和），可簡化計(jì)算。22.（本題滿分8分）為了解學(xué)生的課外閱讀情況，某校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們一周內(nèi)的課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：課外閱讀時(shí)間0≤t<22≤t<44≤t<66≤t<8t≥8學(xué)生人數(shù)5101582（1）求本次抽取的學(xué)生人數(shù)；（2）求本次統(tǒng)計(jì)的課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)；（3）若該校共有學(xué)生1200人，估計(jì)該校一周內(nèi)課外閱讀時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)。答案：（1）40人；（2）中位數(shù)4小時(shí)，眾數(shù)4≤t<6；（3）300人解析：（1）學(xué)生人數(shù)=5+10+15+8+2=40（人）。（2）中位數(shù)：將40個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第20、21個(gè)數(shù)據(jù)均落在4≤t<6區(qū)間內(nèi)，故中位數(shù)為4小時(shí)（或取區(qū)間中點(diǎn)4小時(shí)）；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的區(qū)間是4≤t<6，故眾數(shù)為4≤t<6。（3）不少于6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)=8+2=10（人），占比10/40=1/4，故估計(jì)該校1200人中，不少于6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)=1200×1/4=300（人）。思路點(diǎn)撥：（1）統(tǒng)計(jì)表格中各區(qū)間人數(shù)之和即為總?cè)藬?shù)；（2）中位數(shù)是排序后中間的數(shù)，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（或區(qū)間）；（3）用樣本估計(jì)總體，需計(jì)算樣本中所求情況的占比，再乘以總體人數(shù)。23.（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，頂點(diǎn)為D。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖像上，且△PAB的面積等于△ABC的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。答案：（1）y=-x2+2x+3；（2）(1,4)；（3）(1+√7,-3)、(1-√7,-3)解析：（1）求解析式：二次函數(shù)經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)，故可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得：3=a(0+1)(0-3)→3=-3a→a=-1，故解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3。（2）求頂點(diǎn)D坐標(biāo)：方法一（配方法）：y=-x2+2x+3=-(x2-2x)+3=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4，故頂點(diǎn)D(1,4)。方法二（頂點(diǎn)公式）：x=-b/(2a)=-2/(2×(-1))=1，y=(4ac-b2)/(4a)=(4×(-1)×3-4)/(4×(-1))=(-12-4)/(-4)=(-16)/(-4)=4，故頂點(diǎn)D(1,4)。（3）求點(diǎn)P坐標(biāo)：首先計(jì)算△ABC的面積：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，AB=4（橫坐標(biāo)差），OC=3（C到AB的距離，AB在x軸上），故S△ABC=(1/2)×AB×OC=(1/2)×4×3=6。設(shè)點(diǎn)P(x,y)在二次函數(shù)圖像上，△PAB的面積等于6，AB=4，故P到AB的距離為h=(2×S△PAB)/AB=(2×6)/4=3。AB在x軸上，故P到AB的距離即為|y|=3→y=3或y=-3。當(dāng)y=3時(shí)，代入解析式得3=-x2+2x+3→-x2+2x=0→x(x-2)=0→x=0或x=2，對應(yīng)點(diǎn)(0,3)（即點(diǎn)C）、(2,3)，但△PAB的面積等于△ABC的面積，點(diǎn)C已經(jīng)算過，點(diǎn)(2,3)的面積：(1/2)×4×3=6，符合條件，但題目可能要求除了C之外的點(diǎn)？不，題目沒說，不過繼續(xù)看y=-3的情況；當(dāng)y=-3時(shí)，代入解析式得-3=-x2+2x+3→-x2+2x+6=0→x2-2x-6=0，解得x=(2±√(4+24))/2=(2±√28)/2=1±√7，對應(yīng)點(diǎn)(1+√7,-3)、(1-√7,-3)，這兩個(gè)點(diǎn)到AB的距離為3，面積為6，符合條件。故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3)、(2,3)、(1+√7,-3)、(1-√7,-3)？但等一下，△ABC的面積是6，△PAB的面積等于6，點(diǎn)(0,3)是C點(diǎn)，△CAB的面積就是6