2.1等式與不等式性質(zhì)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)是第二章“一元二次函數(shù)、方程與不等式”的起始課，聚焦等式與不等式的基本性質(zhì)。教材通過(guò)生活實(shí)例抽象出不等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握不等式的性質(zhì)、推論及應(yīng)用，為后續(xù)解不等式、基本不等式奠基。內(nèi)容解析等式與不等式是數(shù)量關(guān)系的兩種基本語(yǔ)言。等式性質(zhì)是學(xué)生初中熟悉的“工具”，但常停留在“操作”層面，缺少“條件—結(jié)論”意識(shí)；不等式性質(zhì)是高中新知，符號(hào)方向、乘負(fù)數(shù)變號(hào)、同向可加不可減等細(xì)節(jié)容易出錯(cuò)；本節(jié)既為后續(xù)“基本不等式”?“一元二次不等式”奠基，又提供了“類比—猜想—驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)建模范例。教學(xué)目標(biāo)1.掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．2.進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大?。?3.通過(guò)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜測(cè)、樂(lè)于探究的良好思維品質(zhì)。目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：能獨(dú)立完成“限速40km/h”等生活問(wèn)題的不等式建模。準(zhǔn)確用作差法比較x2+1與在小組合作中，能舉例驗(yàn)證不等式性質(zhì)的合理性（如傳遞性）。等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，它是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)，有著重要的實(shí)際意義.同時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)也為學(xué)生以后順利學(xué)習(xí)基本不等式起到重要的鋪墊.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用；不等式性質(zhì)的探究與應(yīng)用（如傳遞性、可加性、可乘性）。教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的條件限制（如乘負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)方向改變）及實(shí)際問(wèn)題的建模轉(zhuǎn)化。課堂導(dǎo)入1情境1：奶茶店“第二杯半價(jià)”【教師展示廣告】“所有顧客購(gòu)買第二杯奶茶一律半價(jià)！”追問(wèn)：若廣告語(yǔ)是假的，如何否定？（引出“存在一位顧客第二杯不半價(jià)”）【設(shè)計(jì)意圖】用商業(yè)廣告激發(fā)興趣，自然過(guò)渡到“全稱命題的否定”，為類比不等式性質(zhì)埋下伏筆。【教學(xué)建議】追問(wèn)學(xué)生：“半價(jià)”是否包含“免費(fèi)”？強(qiáng)化“≤”與“<”的區(qū)別。情境2：電梯限載標(biāo)志【展示圖片】電梯口標(biāo)“限載8人，總重不超過(guò)1000kg”。問(wèn)題鏈：如何用不等式表示“總重不超過(guò)1000kg”？（設(shè)總重為W，則W≤若改為“限載8人且總重至少800kg”，如何列式？（W≥【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)身邊場(chǎng)景抽象不等關(guān)系，突出“文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程?！窘虒W(xué)建議】讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)估算自身體重，計(jì)算電梯滿載時(shí)的總重范圍，強(qiáng)化數(shù)據(jù)意識(shí)。溫故知新活動(dòng)：回顧等式性質(zhì)（如等式兩邊加同數(shù)仍相等），類比猜測(cè)不等式性質(zhì)。【設(shè)計(jì)意圖】利用正遷移，降低新知難度?！窘虒W(xué)建議】板書(shū)等式性質(zhì)，學(xué)生分組改寫(xiě)為不等式形式（如a>導(dǎo)入新知大家知道，相等關(guān)系與不等關(guān)系是數(shù)學(xué)也是日常生活中最基本的關(guān)系．例如長(zhǎng)與短、遠(yuǎn)與近的比較；例如同學(xué)們之間高與矮、輕與重的比較；例如國(guó)家人口的多少、面積的大小的比較；再例如新冠疫苗接種速度的快與慢的比較．正所謂，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”．在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長(zhǎng)與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過(guò)或不少于等．類似于這樣的問(wèn)題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．問(wèn)題1生活中，我們經(jīng)常在路上或橋上看到下列標(biāo)志，你知道它們的含義嗎？你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示下列關(guān)系嗎？探究點(diǎn)1：不等式性質(zhì)的“等式遷移”問(wèn)題2你能用不等式或不等式組表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？（1）某路段限速40km/h；（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．①你能寫(xiě)出其他的可能情況嗎？①你能寫(xiě)出其他的可能情況嗎？以上我們根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系抽象出了不等式．接著，就可以用不等式研究相應(yīng)的問(wèn)題了．探究點(diǎn)2：不等式性質(zhì)問(wèn)題3某種雜志以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬(wàn)元？求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價(jià)范圍．如何解不等式①呢？與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì)．為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì)．知識(shí)梳理常見(jiàn)的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言大于，高于，超過(guò)小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過(guò)符號(hào)語(yǔ)言><≥≤注意點(diǎn)：(1)仔細(xì)審題，注意同一個(gè)題目的單位是否一致．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．實(shí)際上，在初中我們已經(jīng)通過(guò)具體實(shí)例歸納了一些不等式的性質(zhì)．那么，這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問(wèn)題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)．關(guān)于實(shí)數(shù)大小的比較，有以下基本事實(shí)：這個(gè)基本事實(shí)可以表示為從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。?是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”探究點(diǎn)3：作差法比較大小分析：通過(guò)考查這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系．這里，我們借助多項(xiàng)式減法運(yùn)算，得出了一個(gè)明顯大于0的數(shù)（式）．這是解決不等式問(wèn)題的常用方法．注意點(diǎn)：(1)利用作差法比較大小，只需判斷差的符號(hào)，通常將差化為完全平方的形式或多個(gè)因式的積的形式．(2)對(duì)于兩個(gè)正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大?。?3)對(duì)于某些問(wèn)題也可以采用取中間值的方法比較大?。淅治鎏骄繄D2.13是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？問(wèn)題4你能比較大正方形ABCD與四個(gè)相同的直角三角形的面積之和的大小嗎？從中你能得出哪個(gè)不等式？它們之間有可能相等嗎？如果相等，則應(yīng)該滿足什么條件呢？提示設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)為a，b(a≠b)，則正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(a2＋b2).這4個(gè)直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2＋b2，由于正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，我們就得到了一個(gè)不等式a2＋b2>2ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼＝b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2＋b2＝2ab.于是就有a2＋b2≥2ab.問(wèn)題5你能證明問(wèn)題4中得到的不等式嗎？事實(shí)上，利用完全平方公式，得反思感悟用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)：至多、至少、大于等．(2)適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量．(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式．注意隱性不等關(guān)系，如由變量的實(shí)際意義限制的范圍．1.公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車隊(duì)有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用不等式表示不等關(guān)系【分析】根據(jù)已知列出不等式，化簡(jiǎn)即可得出答案.故選：B.【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷.故選：A.3.下列結(jié)論不正確的是A．若a＞b，c＞0，則ac＞bc B．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、判斷命題的真假【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由于a＞b，c＞0，根據(jù)不等式性質(zhì)2，則ac＞bc，故正確.對(duì)于選項(xiàng)B：由于a＞b，根據(jù)不等式性質(zhì)1，則a﹣c＞b﹣c，故正確.對(duì)于選項(xiàng)C：由于ac2＞bc2，根據(jù)不等式性質(zhì)2，則a＞b，故正確.對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)a＝0，b＝﹣1時(shí)，沒(méi)有意義，故錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷命題的真假，熟記不等式的性質(zhì)，靈活運(yùn)用特殊值法處理即可，屬于?？碱}型.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【解析】因?yàn)樵擃}為選擇題，故可以用特值法，取符合條件的，代入進(jìn)行比較即可.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】通過(guò)特殊值判斷A，B，D，由不等式的性質(zhì)判斷C即可故選：C6.已知a＞b，則下列不等式一定正確的是（）【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)證明不等式、由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】分別找到特例，說(shuō)明A，B，D三個(gè)選項(xiàng)不成立，從而得到答案.所以正確答案為C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，通過(guò)列舉反例，排除法得到答案，屬于簡(jiǎn)單題.【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】對(duì)于A，舉例判斷，對(duì)于BCD，利用不等式的性質(zhì)判斷.故選：A.【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確故選：A.9.(多選題)若x<a<0，則下列不等式不一定成立的是（

）A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法比較得出B選項(xiàng)正確，即可判定選項(xiàng).【詳解】∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2，故選項(xiàng)B一定成立.故選：ACD．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確故選：【點(diǎn)睛】本題考查了不等式正誤判斷，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【分析】對(duì)A、D，可借助特殊值法舉出反例即可得；對(duì)B、C，借助不等式的基本性質(zhì)即可得.故選：C.【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析ABC，采用舉例的方式分析D，由此得到正確的結(jié)果.故選：B.3.（2025高一·上?！ｎ}練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（

）【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可.故選：A【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確故選：C1．知識(shí)清單：(1)用不等式(組)表示不等關(guān)系．(2)作差法比較大?。?3)重要不等式．2．方法歸納：作差法．3．常見(jiàn)誤區(qū)：實(shí)際問(wèn)題中變量的實(shí)際意義．2.

不等式的基本性質(zhì)3.重要不等式它有兩個(gè)常見(jiàn)的變式:(1)整理本節(jié)課的題型；(2)課本P39的練習(xí)1~3題；(3)課本P42的練習(xí)1~2題；(4)課本習(xí)題2.1的3、4、5、6、7、8題.附教材P39練習(xí)及參考答案練習(xí)（第39頁(yè)）1．用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：（1）某高速公路規(guī)定通過(guò)車輛的車貨總高度從地面算起不能超過(guò)4m；（2）與的和為非負(fù)實(shí)數(shù)；（3）如圖，在一個(gè)面積小于350的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)的四周建成綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)大于寬的4倍．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)布置作業(yè)，幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的邏輯推理能力?！窘虒W(xué)建議】教師可以引導(dǎo)學(xué)生在課后認(rèn)真完成作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)及時(shí)向老師或同學(xué)請(qǐng)教。