第二章一元二次方程北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)6.應(yīng)用一元二次方程學(xué)習(xí)&目標(biāo)1.掌握列一元二次方程解決幾何問題、數(shù)學(xué)問題,并能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）2.理解將實(shí)際問題抽象為方程模型的過程,并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問題．情境&導(dǎo)入想一想：通過前面的學(xué)習(xí)你知道解一元二次方程有哪些方法嗎？直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法列一元一次方程解應(yīng)用題分幾步呢？應(yīng)注意哪些？①審題②設(shè)出未知數(shù)③找等量關(guān)系④列方程⑤解方程⑥作答1.如圖：在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)P、Q

同時(shí)由A、B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C

勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？解:設(shè)經(jīng)過ts，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．

(8－t)(6－t)＝×6×8×，解得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，經(jīng)過2s，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．例題&解析

例題欣賞題型一：幾何圖形問題解:設(shè)

ts后P

，Q

兩點(diǎn)相距15cm．由題意有t2＋(21－t)2＝152，解得t1＝9，t2＝12．所以，運(yùn)動(dòng)9s或12s時(shí),P,Q

兩點(diǎn)相距15cm．1.如圖，在Rt△ACB

中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng).如果動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，它們相距15cm？.隨堂練習(xí)2.如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？住房墻1m解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為x

m，由題意得

x(25+1-2x)=80化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0解得x1=5,x2=8當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12(舍去）當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10<12

故所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m,寬為8m.則平行于住房墻的一邊長(zhǎng)(25+1-2x)m.歸納總結(jié)幾何問題①解題時(shí)注意聯(lián)系圖形中有關(guān)的幾何定理、面積公式;②不容易直接解決的問題可考慮添加輔助線;③重視數(shù)形結(jié)合的思想方法探索&交流例題&解析

例題欣賞?例2.新華商場(chǎng)銷售某種冰箱,每臺(tái)進(jìn)價(jià)為2500元.市場(chǎng)調(diào)研表明:當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí),平均每天能售出8臺(tái);而當(dāng)銷價(jià)每降低50元時(shí),平均每天能多售4臺(tái).商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元,每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元?利潤問題常見關(guān)系式基本關(guān)系：(1)利潤＝售價(jià)－_______； (3)總利潤＝____________×銷量進(jìn)價(jià)單個(gè)利潤題型二：營銷問題探索&交流解：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元,根據(jù)題意,得整理,得：x2-300x+22500=0.解方程,得：x1=x2=150.∴2900-x=2900-150=2750.

答：每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為2750元.例題&解析

例題欣賞?例3.某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價(jià)在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)購進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？解：設(shè)這種臺(tái)燈售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意，得(40+x-30)(600-10x)=10000解這個(gè)方程，得x1=10.x2=40（舍）.售價(jià)為：40+x=40+10=50（元）應(yīng)購置臺(tái)燈：600-10x=600-10×10=500（個(gè)）隨堂練習(xí)1.光彩市場(chǎng)其個(gè)體商戶購進(jìn)某種電子產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)是50元/個(gè)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)售價(jià)是80元/個(gè)時(shí)，每周可賣出160個(gè)，若銷售單價(jià)每降低2元，則每周可多賣出20個(gè)．若商戶計(jì)劃下周利潤達(dá)到5200元，則此電子產(chǎn)品的售價(jià)為每個(gè)多少元？設(shè)銷售價(jià)格每個(gè)降低x元(x為偶數(shù))，則所列方程為(

)A．(80－x)(160＋20x)＝5200B．(30－x)(160＋20x)＝5200C．(30－x)(160＋10x)＝5200D．(50－x)(160＋10x)＝5200C隨堂練習(xí)2．蘭翔百合經(jīng)銷店將進(jìn)貨價(jià)為20元/盒的百合，在市場(chǎng)參考價(jià)28－38元/盒的范圍內(nèi)定價(jià)為36元/盒銷售，這樣平均每天可售出40盒．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每盒售價(jià)每下調(diào)1元錢，平均每天就能多銷售10盒，要使每天的利潤達(dá)到750元，應(yīng)將每盒的售價(jià)下調(diào)(

)A．1元B．11元C．1元或11元D．無法確定A歸納總結(jié)列方程解應(yīng)用題的常見類型：營銷問題總結(jié)歸納

營銷問題常見關(guān)系式基本關(guān)系：(1)利潤＝售價(jià)－________； (3)總利潤＝____________×銷量進(jìn)價(jià)單個(gè)利潤例4：某地區(qū)2018年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，2020年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬元.(1)求2018年至2020年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；(2)根據(jù)(1)中所得的年平均增長(zhǎng)率，估計(jì)2021年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元.（“平均年增長(zhǎng)率”指的是每一年凈收入增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是一個(gè)相同的值.即每年按同樣的百分?jǐn)?shù)增加）例題&解析

例題欣賞題型三：增長(zhǎng)率問題解：(1)設(shè)2018年至2020年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，得：2500(1+x)2=3025，即(1+x)2=1.21，1+x=±1.1，解得x1=0.1，x2=-2.1(不合題意，舍去)，∴x=0.1=10%.答：2018年至2020年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為10%.(2)2021年將投入的教育經(jīng)費(fèi)為解法一：3025(1+x)=3025×(1+10%)=3327.5(萬元).解法二：2500(1+x)3=2500×(1+10%)3=3327.5(萬元).答：2021年將投入的教育經(jīng)費(fèi)為3327.5萬元.歸納總結(jié)列方程解應(yīng)用題的常見類型：增長(zhǎng)（降低）率問題設(shè)a為起始量，b為終止量，n為增長(zhǎng)(或降低)的次數(shù)，則平均增長(zhǎng)率公式為a(1+x)n=b(x為平均增長(zhǎng)率)平均降低率公式為a(1-x)n=b(x為平均降低率)增長(zhǎng)率不可為負(fù)，但可以超過1.下降率不能超過1.隨堂練習(xí)3．某小區(qū)2018年屋頂綠化面積為2000平方米，計(jì)劃2019年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米．如果每年屋頂綠化面積的增長(zhǎng)率相同，那么這個(gè)增長(zhǎng)率是______．20%隨堂練習(xí)4.去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%.(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；(2)去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8，9月份營業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8，9月份營業(yè)額的月增長(zhǎng)率．(1)解：450＋450×12%＝504(萬元)．答：去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．(2)解：設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合題意，舍去)．答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長(zhǎng)率為20%.例5：有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?分析：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.傳染源記作小明，其傳染示意圖如下：例題&解析

例題欣賞題型三：傳播問題第2輪???小明12x第1輪第1輪傳染后人數(shù)x+1小明第2輪傳染后人數(shù)x(x+1)+x+1注意：不要忽視小明的二次傳染x1=

,x2=

.根據(jù)示意圖，列表如下：解方程,得答:平均一個(gè)人傳染了________個(gè)人.10-12(不合題意,舍去)10解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.(1+x)2=121注意:一元二次方程的解有可能不符合題意，所以一定要進(jìn)行檢驗(yàn).傳染源人數(shù)第1輪傳染后的人數(shù)第2輪傳染后的人數(shù)

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2想一想：如果按照這樣的傳染速度,三輪傳染后有多少人患流感?第2種做法

以第2輪傳染后的人數(shù)121為傳染源,傳染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一輪傳染后的人數(shù)第二輪傳染后的人數(shù)第三輪傳染后的人數(shù)(1+x)1(1+x)2

分析

第1種做法

以1人為傳染源,3輪傳染后的人數(shù)是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)31.電腦勒索病毒的傳播非?？?，如果開始有6臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后共有2400臺(tái)電腦被感染.

每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦.答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦；第三輪感染中，被感染的電腦臺(tái)數(shù)不會(huì)超過700臺(tái).解得x1=19或

x2=-21(舍去)

依題意6+6x+x(6+6x)

=24006

(1+x)2

=2400隨堂練習(xí)例6：某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,主干,支干和小分支的總數(shù)是91,每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支,則1+x+x2=91即解得,x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)答:每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支.a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．歸納總結(jié)列方程解應(yīng)用題的常見類型：傳播問題1.元旦將至，九年級(jí)一班全體學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡1980張，問九年級(jí)一班共有多少名學(xué)生？設(shè)九年級(jí)一班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A.x2=1980B.

x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是73，設(shè)每個(gè)枝干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，根據(jù)題意可列方程為（）

A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)2=73DB隨堂練習(xí)3.早期，甲肝流行，傳染性很強(qiáng)，曾有2人同時(shí)患上甲肝.在一天內(nèi)，一人平均能傳染x人，經(jīng)過兩天傳染后128人患上甲肝，則x的值為（）？A.10B.9C.8D.7D4.為了宣傳環(huán)保，小明寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播，他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書之后，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，以此類推，已知經(jīng)過兩輪傳播后，共有111個(gè)人參與了傳播活動(dòng)，則n=______.105.某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長(zhǎng)率是x,列方程(

)A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5006.某校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元,預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元,若設(shè)該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長(zhǎng)率是x,則可列方程為

.B2（1+x)+2(1+x)2=87.某校初三各班進(jìn)行籃球比賽（單循環(huán)制），每?jī)砂嘀g共比賽了6場(chǎng)，求初三有幾個(gè)班？解：初三有x個(gè)班，根據(jù)題意列方程，得化簡(jiǎn)，得x2-x-12=0解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）答：初三有4個(gè)班.解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，x2-30x+200=0解方程得，x1=10,x2=20因?yàn)橐M快減少庫存，所以x=10舍去.答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.8.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？9．某商店準(zhǔn)備進(jìn)一