已知正數(shù)滿足30x+12y=29xy,求14x+29y的最小值主要內(nèi)容：通過(guò)替換、代入、柯西不等式、k值換元法、二次方程判別式、導(dǎo)數(shù)法及多元函數(shù)最值法等，介紹14x+29y在30x+12y=29xy，且x，y為正數(shù)條件下最小值的計(jì)算步驟。主要公式：1.均值不等式：正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：對(duì)于四個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))2，等號(hào)條件為：cx=by。3.導(dǎo)數(shù)公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x2).方法“1”的代換14x+29y=eq\f(1,29)*(14x+29y)*29=eq\f(1,29)*(14x+29y)(eq\f(12,x)+eq\f(30,y))=eq\f(1,29)*(168+870+420*eq\f(x,y)+348*eq\f(y,x))利用均值不等式，則有：14x+29y≥eq\f(1,29)*(168+870+2eq\r(12*30*14*29))即：14x+29y≥eq\f(1,29)*(168+870+24eq\r(1015))則：14x+29y≥eq\f(1038+24eq\r(1015),29)。所以：14x+29y的最小值=eq\f(1038+24eq\r(1015),29)。方法柯西不等式法對(duì)已知條件變形為:eq\f(12,x)+eq\f(30,y)=29，再運(yùn)用不等式公式：∵(eq\f(12,x)+eq\f(30,y))(14x+29y)≥(eq\r(14*12)+eq\r(30*29))2∴29(14x+29y)≥(2eq\r(42)+eq\r(870))2,即：14x+29y≥eq\f(1,29)*(2eq\r(42)+eq\r(870))2，所以：14x+29y的最小值=eq\f(1038+24eq\r(1015),29)。方法二次方程判別式法設(shè)14x+29y=t,則y=eq\f(1,29)*(t-14x),代入已知條件得：eq\f(12,x)+eq\f(870,t-14x)=29,方程進(jìn)行通分有：12(t-14x)+870x=29x(t-14x)29*14x2+(870-29t-168)x+12t=0,方程有解，則判別式為非負(fù)數(shù)，即：△=(870-29t-168)2-4*29*14*12t≥0，化簡(jiǎn)得：(29t-1038)2≥4*12*30*14*29。要求t的最小值，則對(duì)不等式兩邊開(kāi)方有：29t-1038≥24eq\r(1015),29t≥1038+24eq\r(1015)，即tmin=eq\f(1038+24eq\r(1015),29)。方法代入法：由已知條件30x+12y=29xy可知：y=eq\f(30x,29x-12)＞0,代入所求表達(dá)式有：14x+29y=14x+29*eq\f(30x,29x-12)=eq\f(1,29)*[14(29x-12)+eq\f(12*30*29,29x-12)+1038]≥eq\f(1,29)*[1038+2eq\r(12*30*14*29))]=eq\f(1,29)*(1038+24eq\r(1015))=eq\f(1038+24eq\r(1015),29).方法k值換元法設(shè)y=kx,k＞0，代入已知條件有：30x+12kx=29xkx，即：x=eq\f(30+12k,29k),則y=eq\f(30+12k,29),代入所求表達(dá)式14x+29y有：14*eq\f(30+12k,29k)+29*eq\f(30+12k,29)=eq\f(1,29)[14*eq\f(30+12k,k)+29(30+12k)]=eq\f(1,29)(eq\f(14*30,k)+14*12+29*30+29*12k)=eq\f(1,29)(eq\f(14*30,k)+29*12k+1038)≥eq\f(1,29)[2eq\r(12*30*14*29)+1038]=eq\f(1,29)*(1038+24eq\r(1015))=eq\f(1038+24eq\r(1015),29).方法導(dǎo)數(shù)法：設(shè)所求代數(shù)式的最小值為t，則14x+29y=t,求導(dǎo)有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(14,29);對(duì)已知條件變形為eq\f(12,x)+eq\f(30,y)=29，求導(dǎo)有:-eq\f(12,x2)-eq\f(30,y2)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(12,30)*(eq\f(y,x))2,所以：-eq\f(14,29)=-eq\f(12,30)*(eq\f(y,x))2，求出：y=eq\r(\f(35,29))x,代入有：30x+12*eq\r(\f(35,29))x=29x*eq\r(\f(35,29))x,即：x=eq\f(84+6\r(1015),203),進(jìn)一步求出:y=eq\r(\f(35,29))*eq\f(84+6\r(1015),203)=eq\f(870+12\r(1015),841),所以:14x+29y的最小值=14*eq\f(84+6\r(1015),203)+29*eq\f(870+12\r(1015),841)=eq\f(1038+24eq\r(1015),29)。方法多元函數(shù)極值法設(shè)F(x,y)=14x+29y+λ(eq\f(12,x)+eq\f(30,y)-29),分別對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：Fx=14-eq\f(12λ,x2),Fy=29-eq\f(30λ,y2),Fλ=eq\f(12,x)+eq\f(30,y)-29。令Fx=Fy=Fλ=0,則：14x2=12λ,29y2=30λ,x=eq\r(\f(12λ,14)),y=eq\r(\f(30λ,29))。代入得方程：eq\f(\r(14*12),eq\r(λ))+eq\f(\r(30*29),eq\r(λ))=29,eq\r(λ)=eq\f(1,29)*(eq\r(14*12)+eq\r(30*29)),則：14x+29y的最小值=(eq