搶分秘籍05利用分類討論解決中考數(shù)學(xué)多解題

CCC

題型概覽

目錄

【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】幾何位置多解【題型二】代數(shù)分類討論

【題型三】圖形運(yùn)動(dòng)多解【題型四】函數(shù)圖像多解

CCG______

解密中考

考情分析：中考數(shù)學(xué)多解題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每

年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，幾何位置（點(diǎn)/三角形/圓）、代數(shù)含參、函數(shù)圖像、圖形運(yùn)動(dòng)為高

頻多解考點(diǎn)是考查的重點(diǎn)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)。

2.從題型角度看，選擇填空易漏解，解答題中分類討論、動(dòng)態(tài)幾何、存在性問(wèn)題必考

多解，分值8分左右，著實(shí)不少！

備考策略：圈畫(huà)“不確定”條件（如動(dòng)點(diǎn)、參數(shù)），分類時(shí)按標(biāo)準(zhǔn)（如位置、符號(hào)）

窮舉，總結(jié)典型多解模型（如等腰三角形、相似對(duì)應(yīng)關(guān)系）。

6題型特訓(xùn)提分-----------------------------------------

【題型一】幾何位置多解

【例1】（2025?黑龍江佳木斯?一模）在VN8C中，AC=12,BC=6,ZACB=90°.以

為斜邊作等腰直角三角形N3。，連接CD,則。的長(zhǎng)為.

幾何位置多解：點(diǎn)在線段/延長(zhǎng)線、三角形形狀（銳角/鈍角）、高的內(nèi)外、圓中弦的同側(cè)/

異側(cè)、全等/相似對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確等。

【例2】（2025?黑龍江哈爾濱?二模）已知正方形/3CD中，點(diǎn)E在邊CD上，DE=3,EC=l.

試題

點(diǎn)下是正方形邊上一點(diǎn)，BF=AE,則/C=.

【變式1］（2025?河南周口一模）在四邊形/BCD中，NB=百，Z5=30°,ZZ）=60°,AC

為其對(duì)角線，且C4LA4.若四邊形N3CD滿足有一組對(duì)邊平行，則CD的長(zhǎng)為.

【變式2］（2025?河南信陽(yáng),一模）在矩形/BCD中，AB=4,取CO的中點(diǎn)M,連接,

BM,取即/的中點(diǎn)N,連接4N,當(dāng)A/VW為直角三角形時(shí)，NN的長(zhǎng)為.

【變式3］（2025?上海閔行?模擬預(yù)測(cè)）我們定義：有兩邊之比是1:2的三角形叫"倍半三角

形”.已知直角三角形4BC是倍半三角形，如果48=1,D5=90°,那么V48c的面積

【變式4］（2025?四川瀘州?一模）定義:如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,

那么稱三角形為“智慧三角形如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，矩形CM8C的邊Q/=3/，

OC=4石，點(diǎn)用■在。/邊上，S.OM=2AM,若在邊存在點(diǎn)P,使得！CW為"智慧三

角形"，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【題型二】代數(shù)分類討論

【例1】（2025?江西?一模）已知關(guān)于x的方程質(zhì),一X-=0,若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù),

則整數(shù)k的值為.

代數(shù)分類討論：絕對(duì)值、平方根、二次方程判別式、分式分母不為零、參數(shù)取值范圍導(dǎo)致的

解的個(gè)數(shù)或符號(hào)差異。

【例2】（2025?黑龍江大慶?一模）若“，6兩個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式：a+b=^+2,則。，6稱為

試題

試題

7xR

"協(xié)變數(shù)對(duì)"，記作口同，例如：當(dāng)8與2滿足8+2=半+2時(shí)，則［8,2］是“協(xié)變數(shù)對(duì)"，若

［6,2x］是“協(xié)變數(shù)對(duì)"，貝ljx=.

【變式1］（2025?廣西河池?一模）5的平方根是.

【變式2］（2025?安徽滁州?一模）若代數(shù)式三1有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

x—2

【變式3］（2025?山東聊城?一模）若式子3行=7+x（x-l）°有意義，則x的取值范圍是—.

【變式4］（2025?甘肅?一模）對(duì)于實(shí)數(shù)。,6定義運(yùn)算"#"為4#6=安+曲,例如：

3#2=22+3X2=10,則關(guān)于的x方程W+l）#x=T有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，貝味的值

為.

【變式5］（2025?河南駐馬店?一模）新定義：如果關(guān)于x的一元二次方程"2+區(qū)+0=0有兩

個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程若

（x-6）（x+〃）=0是"倍根方程",則"=.

2x4-11

------->X-I

【變式6］（2025?重慶?一模）若關(guān)于%的不等式組3有解且至多3個(gè)整數(shù)解，

3（l-x）<x-a

關(guān)于了的分式方程^——3的解為整數(shù)，那么符合條件的所有整數(shù)。的和為_(kāi)_______.

l-yy-l

【題型三】圖形運(yùn)動(dòng)多解

【例1】（2025?黑龍江七臺(tái)河?一模）已知矩形/8。。的邊48=10,8c=6,折疊矩形ABC。,

使頂點(diǎn)A落在矩形ABCD的一邊上的P點(diǎn)，且折痕恰好經(jīng)過(guò)矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，則

AP=.

平移/旋轉(zhuǎn)/對(duì)稱中圖形位置不同（如折疊后點(diǎn)的位置）

【例2】（2025?山東濱州?模擬預(yù)測(cè)）把一副三角板如圖擺放，如果三角板N02繞公共頂點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至N8〃CO時(shí)，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為.

試題

試題

【變式1］（2025?黑龍江哈爾濱?一模）在VN3C中，ABAC=90°,4B=4C,點(diǎn)D在BC邊

上，把△/灰）沿4D折疊后，使得點(diǎn)3落在點(diǎn)E處，連接BE、CE,若NDBE=20。,貝lj

NDCE=.

【變式2］（2025?遼寧撫順?一模）如圖，Rt4/BC中，N4CB=90。,AC=8,5c=6,點(diǎn)

。是48邊上一動(dòng)點(diǎn)，將ANCD沿邊CD翻折得到ACDE,當(dāng)ACDE與VN3C的重疊部分為

直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)是.

【變式3］（2025?河南洛陽(yáng)?一模）一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中

NACB=NDEB=9Q°,NB=30。，BE=AC=3.三角板/3C固定不動(dòng)，將小三角板D8E繞

點(diǎn)B順時(shí)針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C、E、。在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)。到直線8c的距離

為.

【變式4］（2025?河南,一模）如圖，在n/BCD中，AB=6cm,SC=12cm,/3=60。.點(diǎn)

P從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度沿/一。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度沿

【變式5］（2025?河南信陽(yáng)?一模）如圖，在中，ABAC=90°,AB=AC=3,D為

平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AD=1,連接5。，將AD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ED,連接/E,BE,

當(dāng)點(diǎn)E落在V/BC的邊上時(shí)，/￡的長(zhǎng)為.

試題

試題

【變式6］（2025?河南駐馬店?一模）如圖，在矩形48co中，48=4,AD=7,點(diǎn)、E是邊AD

上一動(dòng)點(diǎn)，將沿BE折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，點(diǎn)下到8c的距離分別記為4,

【變式7］（2025?上海?模擬預(yù)測(cè)）正方形48CD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E在邊3C上，將ACDE沿

直線。E翻折，使得點(diǎn)C落在正方形內(nèi)的點(diǎn)尸處，連接3廠并延長(zhǎng)交正方形NBCD一邊于點(diǎn)

G.當(dāng)時(shí)，則8E的長(zhǎng)為.

【變式8］（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形4BCD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E為8c邊的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在40邊上運(yùn)動(dòng)，尸為2P的中點(diǎn)，當(dāng)AB跖為等腰三角形時(shí)，/尸的長(zhǎng)為

【變式9］（2025?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形/BCD中，48=4,尸為上一點(diǎn),

且/尸=1,E為BD上一動(dòng)點(diǎn)、,連接尸E,作關(guān)于直線尸E的對(duì)稱圖形，點(diǎn)2的對(duì)稱點(diǎn)

為點(diǎn)B',繼續(xù)作△B'PE關(guān)于直線尸2'的對(duì)稱圖形，點(diǎn)￡的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E',連接尸E,當(dāng)BE

與正方形的一邊平行時(shí)，則EE'的長(zhǎng)為

試題

試題

【變式10］（2025?安徽池州?一模）如圖，在矩形/BCD中，/3=3cm,SC=4cm,動(dòng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)2出發(fā)，以lcm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s

的速度沿C-8-C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為用.

（1）當(dāng)點(diǎn)尸和點(diǎn)0相遇時(shí)，，的值為;

（2）連接。。，在點(diǎn)尸和點(diǎn)。不重合的情況下，連接/P.若以4P,Q,。為頂點(diǎn)的四

2

邊形的面積是矩形/BCD的面積的S.Q<t<2,貝h的值為.

【題型四】函數(shù)圖像多解

【例1】（2025■河北張家口?一模）如圖，已知拋物線"：y=-x?+2尤+加，線段

6:^=x+2（-l<x<3）.若拋物線。和線段6有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)均為整點(diǎn)（橫、縱坐

試題

試題

【例2】（2025?青海西寧?一模）在平面直角坐標(biāo)系X/中，直線48與x軸交于點(diǎn)/（6,0）,

與V軸交于點(diǎn)8（0,6）,點(diǎn)P在V軸上，且滿足NR45=15°,則O尸的長(zhǎng)為.

【變式1］（2025?江西?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸于點(diǎn)/,NBO4=60°,

04=2,點(diǎn)尸是x軸上一點(diǎn).若BP,BO,8/三線中，有一條線平分另外兩條線所組成的

角，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【變式2］（2025?河北保定?一模）若點(diǎn)』（陽(yáng)必），B（x,%）分別在反比例函數(shù)

k4

y=勺（左＞0）,y=2.位于第一象限的圖象上，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的下方，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的

xx

上的整數(shù)值：.

【變式3］（24-25九年級(jí)下?甘肅白銀?開(kāi)學(xué)考試）如圖，矩形/BCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為/（-4,1）,

3（-4,-4）,C（-l,-4）.二次函數(shù)y=i+2加x-2（其中加為常數(shù)）的圖象在矩形/3CD內(nèi)

（不含邊界）的部分均為y隨x的增大而減小，則小的取值范圍是.

【變式4］（2025?安徽合肥?一模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)一半的點(diǎn)，

則把該函數(shù)稱為"半值函數(shù)"，該點(diǎn)稱為"半值點(diǎn)".例如："半值函數(shù)"N=x+1,其"半值點(diǎn)”為

（-2,一1）.

Q

（1）函數(shù)y=9的圖象上的"半值點(diǎn)”是.

X

試題

試題

（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=x?+N-左++：的圖象上存在唯一的"半值點(diǎn)"，且當(dāng)_1W加vi

時(shí)，〃的最小值為左，則后的值為.

【變式5］（2025?河南洛陽(yáng)?一模）二次函數(shù)y="2+bx+c（aw0）的部分圖象如圖所示，圖

象過(guò)點(diǎn)（TO）,對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：①.<0,②c>0,③4a+6>0,

@9a+c>3b,⑤若點(diǎn)/（一3,乂）、點(diǎn)點(diǎn)c',%］在該函數(shù)圖象上，則

%<%<%.其中正確的結(jié)論是.

【變式6］（2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線《的函數(shù)表達(dá)式為>=x+3.已知點(diǎn)。（8,3）,

點(diǎn)P是線段2。上一動(dòng)點(diǎn)（可與點(diǎn)2,。重合），直線4：y=6+5-3左"為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,

交4于點(diǎn)C.

（1）當(dāng)上=2時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

（2）在點(diǎn)尸移動(dòng)的過(guò)程中，后的取值范圍為.

試題

試題

搶分秘籍05利用分類討論解決中考數(shù)學(xué)多解題

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【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】幾何位置多解【題型二】代數(shù)分類討論

【題型三】圖形運(yùn)動(dòng)多解【題型四】函數(shù)圖像多解

CCG______

解密中考

考情分析：中考數(shù)學(xué)多解題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每

年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，幾何位置（點(diǎn)/三角形/圓）、代數(shù)含參、函數(shù)圖像、圖形運(yùn)動(dòng)為高

頻多解考點(diǎn)是考查的重點(diǎn)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)。

2.從題型角度看，選擇填空易漏解，解答題中分類討論、動(dòng)態(tài)幾何、存在性問(wèn)題必考

多解，分值8分左右，著實(shí)不少！

備考策略：圈畫(huà)“不確定”條件（如動(dòng)點(diǎn)、參數(shù)），分類時(shí)按標(biāo)準(zhǔn)（如位置、符號(hào)）

窮舉，總結(jié)典型多解模型（如等腰三角形、相似對(duì)應(yīng)關(guān)系）。

6題型特訓(xùn)提分-----------------------------------------

【題型一】幾何位置多解

【例1】（2025?黑龍江佳木斯?一模）在VN8C中，AC=12,BC=6,ZACB=90°.以

為斜邊作等腰直角三角形N3。，連接CD,則。的長(zhǎng)為.

【答案】3百或9行

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、判斷確定圓的條件、用勾股定理解三角形、

圓周角定理

【分析】如圖，由△/瓦＞都為等腰直角三角形，證明四邊形NO8D'是正方形，

連接。。'，交ZB于。，連接。C,過(guò)。作。于E,過(guò)。作于證明

試題

試題

4QC,8,。'在以。為圓心，為半徑的圓上；四邊形為正方形，證明

△ADH咨ABDE,可得CH=3=CE=DH=DE,求解CD==3夜，再進(jìn)一步

AB=V62+122=675-NDCD'=90°,可得CD'='(6君『-(3也『=9逐，從而可得答案;

【詳解】解：如圖，???△AS。，都為等腰直角三角形，

AD=BD=AD'=BD',AADB=90°=ZAD'B,ZABD=ADAB=45°,

...四邊形ADBD'是正方形，

連接。。，交4B于。,連接。C,過(guò)。作。EL3C于E,過(guò)。作于

OA=OB=OD=OD'=OC,ZECH=18Q0-ZACB=90°,

四邊形DHCE為矩形，

/.42C,民。'在以。為圓心，。/為半徑的圓上；

ZACD=ZABD=45°,ZECD=90°-45°=45°=4CD,

,DE=DH,

...四邊形?！癈E為正方形，

CH=CE,

?/AD=BD,ZAHD=NBED=90°,

：.AADH^/\BDE,

AH=BE,

：.AC-CH=BC+CE,^U-CH=6+CH,

：.CH=3=CE=DH=DE,

CD=J32+32=3A/2，

：/C=12,BC=6,ZACB=90°,

A8=用+122=6亞，

四邊形ADBD'是正方形，

試題

試題

/.DD'=AB=6y/5,

為直徑，

ZDCD=90°,

CD'=＜（6局可=96,

綜上：CD的長(zhǎng)為3夜或9行；

故答案為：3a或9也.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的確定，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

甘C國(guó)四3

幾何位置多解：點(diǎn)在線段/延長(zhǎng)線、三角形形狀（銳角/鈍角）、高的內(nèi)外、圓中弦的同側(cè)/

異側(cè)、全等/相似對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確等。

【例2】（2025?黑龍江哈爾濱?二模）已知正方形/3CD中，點(diǎn)E在邊CA上，DE=3,EC=l.

點(diǎn)廠是正方形邊上一點(diǎn)，BF=AE,則bC=.

【答案】3或后

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理，由正方形的性質(zhì)得出

BC=AB=AD=CD=DE+EC=4,NBAD=NC=ND=90。,由勾股定理求出/￡；分兩

種情況：①當(dāng)點(diǎn)下在/。邊上時(shí)，由勾股定理求出/尸，得出。尸，再由勾股定理求出FC即

可；②當(dāng)點(diǎn)尸在CD邊上時(shí)，由勾股定理求出尸C即可.

【詳解】解：；四邊形45co是正方形，

，BC=AB=AD=CD=DE+EC=4,/BAD=NC=ND=90。，,

AE=y]AD2+DE2="+32=5，

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)歹在4D邊上時(shí)，如圖1所示：

試題

試題

DF=AD-AF=\,

FC=~JCD2+DF2=A/42+12=后；

②當(dāng)點(diǎn)尸在CZ＞邊上時(shí)，如圖2所示:

圖2

BF=AE=5,

FC=4BF1-BC1=752-42=3；

綜上所述：/C的長(zhǎng)為3或如；

故答案為：3或后.

【變式1］（2025?河南周口?一模）在四邊形N8C。中，AB=C,N8=30。，AD=60°,AC

為其對(duì)角線，且若四邊形/BCD滿足有一組對(duì)邊平行，則CO的長(zhǎng)為.

【答案】3或1

3

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、含30度角的直角三角形

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形

的應(yīng)用等知識(shí)，令A(yù)D〃BC和AD//BC兩種情況討論即可.

【詳解】解：當(dāng)4D〃3C時(shí)，如圖，

試題

試題

?：CALBA,AB=C，/5=30。，

：.AC=AB?tan5=&tan30°=6x—=1,

3

?/AD//BC,

：.CDLAC,

4c11V3

..C/J=-------=----------——=：

tan。tan60PV33

當(dāng)時(shí)，如圖，

9：CALBA,4=30。，

I.ZACD=60°,

AD//BC,

：.ZCAD=ZACD=60°,

又4>=60。，

△ZCD是等邊三角形，

：.CD=AC=l,

綜上，CD的長(zhǎng)為"或1,

3

故答案為：立或1.

3

【變式2］（2025?河南信陽(yáng)?一模）在矩形NBC。中，48=4,取CO的中點(diǎn)M,連接

BM,取5M的中點(diǎn)N,連接/N,當(dāng)AMBN為直角三角形時(shí)，/N的長(zhǎng)為.

【答案】屈或2后

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)；①當(dāng)ZANM=90。

試題

試題

時(shí)，由矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法得△胡Ns。，由相似三角形的性質(zhì)得

ADDAT

—=—，結(jié)合勾股定理，即可求解；②當(dāng)/4W=90。時(shí)，同理可證ABCMSMDA,

BMMC

「M一

由相似三角形的性質(zhì)得排二=7,結(jié)合勾股定理，即可求解；③由/H4N<90。，

MDDA

/MAN=90。,此種情況不存在；掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，能熟練利用

勾股定理求解，并能按直角頂點(diǎn)的不同進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①當(dāng)42W=90。時(shí)，

ZABN+ZBAN=90°

,??四邊形45CA是矩形,

ZABC=ZC=90°,

CD=AB=4,

：.ZANB=NC,

/ABN+NMBC=9(T,

/BAN=ZMBC,

:ABANS^MBC,

,AB_BN

???〃是CD的中點(diǎn)，

N是即/的中點(diǎn)，

:.CM=-CD=2,

2

BM=2BN,

.A_BN

"2BN~~T"

解得：BN=2,

AN7AB2—BN2

試題

試題

=V42-22

=2A/3;

由①得：

NC=ND=90°,

CM=DM=2,

同理可證：ABCMSMDA,

,BCCM

"JfD~~DA，

■.?四邊形N8CA是矩形，

AD=BC,

,BC2

?二一茄’

解得：BC=2,

:.BM^ylBC2+CM2

=」22+22

=2亞，

同理可求：AM=2也，

N是3M的中點(diǎn)，

NM=-BM=V2,

2

AN=4AM2+NM-

試題

試題

=VTo；

③ZMAN<90°,

AMAN=90°,此種情況不存在；

綜上所述：/N的長(zhǎng)為何或2百.

【變式3]（2025?上海閔行?模擬預(yù)測(cè)）我們定義：有兩邊之比是1:2的三角形叫"倍半三角

形”.已知直角三角形是倍半三角形，如果48=1,D5=90°,那么V48c的面積

【答案】1或;或必

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，分三種情況討論，利用三角形面積公

式求得即可.分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???/8=90。,

:/C為斜邊，

當(dāng)時(shí)，V/8C的面積=,x2xl=l；

2

當(dāng)3。=工/3=，時(shí)，V/3C的面積=Lx」xl=」；

22224

當(dāng)NC=2N5=2時(shí)，則BC=7F^F=G，

V/5C的面積=1x百xl=g

22

故答案為：1或;或也.

42

【變式4]（2025?四川瀘州?一模）定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,

那么稱三角形為“智慧三角形".如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，矩形OABC的邊。/=3石，

OC=4石，點(diǎn)”在。/邊上，且（W=2/M,若在邊存在點(diǎn)尸，使得！CW為“智慧三

角形"，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

試題

試題

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、寫(xiě)出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、

等邊對(duì)等角

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是知道"智慧三角形"指的是直角三

角形.

由題可知，"智慧三角形"是直角三角形，因?yàn)椴淮_定哪個(gè)角是直角，所以分情況討論,

ACPM=90°^,ZCMP=90°,設(shè)設(shè)點(diǎn)P（3V?,a）,則則/尸=a,3尸=4石-a,根據(jù)勾股定理

求出。尸2,Mp2,CM?，根據(jù)NC9=90?；騈CM尸=90。,可以得到這三條邊的關(guān)系，解之

即可.

V4BC是"智慧三角形"，CD是中線,CD=-AB,

2

BD=CD=AD,

:.NB=NBCD,ZA=ZACD,

又4+ZB+/BCD+4CD=180°,

NACB=/BCD+ZACD=90°,

智慧三角形”是直角三角形,

:矩形0/8C中，CM=3若，OC=475?OM=2AM,

OM=275?AM=?,OB=OA=345,AB=OC=4下，

試題

試題

?*-MC=y]OM2+OC2=10，

設(shè)點(diǎn)尸（3布,，，則/尸=°,BP=4后-a，

①若NCPA/=90。，如圖，

在RtZkAff5/中，MP2^MA2+AP2^5+a2

在RtiMCP中,CM2+MP2=CP2，

102+5+/=96一?囪/,

解得a=些，

2

：.P3A—；

、2>

②若NCMP=90。，如圖，

由①知：（4V5-a）2+（3^）2+5+a2=102

整理得a2-4#a+15=30，

解得a=3A/5或a=右

尸（3君,3灼或43技⑹

綜上，尸的坐標(biāo)為3技爭(zhēng)或（3君,3⑸或（3技⑹,

試題

試題

故答案為：3石，/或（3石,3班）或（3君,布「

【題型二】代數(shù)分類討論

【例11（2025?江西?一模）己知關(guān)于x的方程依2-x-：=0,若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù),

k

則整數(shù)k的值為.

【答案】±1

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程.利用因式分解法解一元二次方程得到

占=_；1，/2，根據(jù)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，即可求解?

kk

【詳解】解：根據(jù)題意可知，左W0,

*.*kx^—x----=0,

k

2

Ax+1=0,x----=0,

???方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，

左=±1,

故答案為：±1.

甘窗5

代數(shù)分類討論：絕對(duì)值、平方根、二次方程判別式、分式分母不為零、參數(shù)取值范圍導(dǎo)致的

解的個(gè)數(shù)或符號(hào)差異。

【例2】（2025?黑龍江大慶l模）若4，6兩個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式：。+6=學(xué)+2,則。，b稱為

b

"協(xié)變數(shù)對(duì)"，記作［。力］,例如：當(dāng)8與2滿足8+2=^^+2時(shí)，則［8,2］是"協(xié)變數(shù)對(duì)"，若

［6,2x］是"協(xié)變數(shù)對(duì)"，則x=.

【答案】-3或1

試題

試題

【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算

【分析】本題考查了新定義，以及解分式方程，解題的關(guān)鍵在于正確理解"協(xié)變數(shù)對(duì)"概念.根

據(jù)“協(xié)變數(shù)對(duì)"定義建立分式方程求解，即可解題.

【詳解】解：根據(jù)。+6=學(xué)+2,則。，b稱為"協(xié)變數(shù)對(duì)"，

b

又［6,2x］是“協(xié)變數(shù)對(duì)"，

貝！］有6+2x=土？+2

2x

整理得/+2尤-3=0,

解得x=-3或x=1,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=-3或x=l是方程的解，

故答案為：-3或1.

【變式1］（2025?廣西河池，一模）5的平方根是.

【答案】士也

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根

【分析】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)平方根的定義解答即可.

【詳解】解：5的平方根是土石，

故答案為：土石?

【變式2］（2025?安徽滁州?一模）若代數(shù)式三1有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

x—2

【答案】且XW2

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件、不等式的性質(zhì)，熟練掌握

二次根式、分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式、分式有意義的條件即可解答.

【詳解】解：,??代數(shù)式三I有意義，

x—2

x-10且x-2w0,

解得：x21且xw2,

二?實(shí)數(shù)x的取值范圍是且XW2.

故答案為：且xw2.

試題

試題

【變式3］（2025?山東聊城?一模）若式子3行=7+x（x-l）°有意義，則x的取值范圍是—.

【答案】xV2且XN1

【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、二次根式有意義的條件、零指數(shù)幕

【分析】本題考查了二次根式有意義和零指數(shù)幕有意義，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其有意義

的條件.二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于等于零.零指數(shù)幕有意義的條件：底數(shù)不為

零.

根據(jù)二次根式有意義的條件和零指數(shù)幕有意義的條件，列出不等式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)35工有意義，可得：2-X20,

解得：x<2,

根據(jù)有意義，可得：x-1^0,

解得：尤片1,

綜上可得：x的取值范圍是x《2且xwl.

故答案為：尤（2且XH1

【變式4］（2025?甘肅?一模）對(duì)于實(shí)數(shù)。力定義運(yùn)算"#"為a#/,"?+而,例如：

3#2=22+3X2=10,則關(guān)于的x方程,+l）#x=-l有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，貝!U的值

為.

【答案】1或-3

【知識(shí)點(diǎn)】新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題主要考查了新定義實(shí)數(shù)運(yùn)算、一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn).

根據(jù)新的運(yùn)算法則列出一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解答.

【詳解】解：a#6=6?+ab,

（后+l）#x=+（左+l）x=—1,

整理得：f+（左+l）x+l=0,

..?關(guān)于的x方程（上+1）#》=-1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

AA=（A:+l）2-4xlxl=0,

解得：左=1或左=-3,

故答案為：1或-3.

試題

試題

【變式5](2025?河南駐馬店?一模)新定義：如果關(guān)于x的一元二次方程改2+法+C=0有兩

個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程若

(x-6)(x+〃)=0是"倍根方程"，則"=.

【答案】-12或-3

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程

【分析】考查一元二次方程的根以及新定義“倍根方程"的意義，熟練掌握"倍根方程"的意義

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；通過(guò)解方程得到該方程的根，結(jié)合"倍根方程”的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：解方程(x-6)(x+〃)=0,可得再=6,芍=-〃，

?.?(x-6)(x+〃)=0是"倍根方程"，

當(dāng)一〃是6的2倍時(shí)，即有〃=-6x2=-12,

當(dāng)6是一〃的2倍時(shí)，即有〃=-6+2=-3.

故答案為：-12或-3.

2x+l1

------->x—I

【變式6](2025?重慶?一模)若關(guān)于x的不等式組3有解且至多3個(gè)整數(shù)解，

3(l-x)<x-a

關(guān)于丁的分式方程3-3=號(hào)的解為整數(shù)，那么符合條件的所有整數(shù)。的和為_(kāi)______.

l-JJ-l

【答案】22

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、由不等式組解集的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是

解題關(guān)鍵.先解一元一次不等式組中的兩個(gè)不等式，從而可得。的取值范圍，再解分式方程

可得了=—，從而可得與是整數(shù)，且-2,則可得出符合條件的所有整數(shù)a的值，由

此即可得.

2x+l不

【詳解】解：3,

3(l-x)<x-a?

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：xN嬰，

2x+l

------->x—I1

??,關(guān)于X的不等式組3有解且至多3個(gè)整數(shù)解，

3(1-x)<x-a

試題

試題

解得-3<“<13,

2.a

---3=---，

i-yy-1

方程兩邊同乘以5-1）,得-2-3（y-l）=a,

解得y=T，

..?關(guān)于V的分式方程/--3=號(hào)的解為整數(shù),

1-y>T

二與是整數(shù)，且—H1,即。-2,

符合條件的所有整數(shù)。的值為1,4,7,10,

,符合條件的所有整數(shù)。的和為1+4+7+10=22,

故答案為：22.

【題型三】圖形運(yùn)動(dòng)多解

【例1】（2025?黑龍江七臺(tái)河?一模）已知矩形/BCD的邊48=10,8c=6,折疊矩形43C。，

使頂點(diǎn)“落在矩形/BCD的一邊上的尸點(diǎn)，且折痕恰好經(jīng)過(guò)矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，則

AP=.

【答案】6亞或25

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問(wèn)題

【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

等知識(shí)與方法，正確地進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.存在兩種情況，一是點(diǎn)尸在8邊上，

折痕。尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)、F,由矩形的性質(zhì)得N4D尸=90。，AD=BC=6,由折疊得

PD=AD=6,由勾股定理求得/p="vy+Nh=60；二是點(diǎn)尸在CD邊上，折痕BE經(jīng)

過(guò)點(diǎn)8,交40于點(diǎn)E,由NC=90。，尸3=48=10,BC=6,求得PC7PB?-BC。=8,

而CD=/8=10,所以尸。=2,貝14P=?AD?+PD?=2而，于是得到問(wèn)題的答案.

【詳解】解：如圖1,點(diǎn)尸在CD邊上，折痕為D尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)尸，

試題

試題

四邊形NBC。是矩形,Z3=10,BC=6,

圖I

ZADP=900.4D=BC=6,

由折疊得尸。=/。=6,

AP=^PD2+AD2=762+62=6叵；

如圖2,點(diǎn)尸在CD邊上，折痕8E經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,交4D于點(diǎn)￡,

PB=AB=10,BC=6,

圖2

PC=y]PB2-BC2=V102-62=8，

■：CD=AB=10,

:.PD=CD-PC=lQ-?,=2,

AP=y]AD2+PD2=V62+22=2A/10，

故答案為：6亞或2M

巧

平移/旋轉(zhuǎn)/對(duì)稱中圖形位置不同（如折疊后點(diǎn)的位置）

[例2]（2025?山東濱州?模擬預(yù)測(cè)）把一副三角板如圖擺放，如果三角板N08繞公共頂點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至N3〃CD時(shí)，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為.

【答案】75?；?55。

試題

試題

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，當(dāng)45在上方，設(shè)直線8

與直線。/交于點(diǎn)與由平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而求出。的度數(shù)即可得到

答案；當(dāng)45在8下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作則/8〃CD〃O￡,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

。的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，當(dāng)45在。。上方時(shí)，設(shè)直線與直線04交于點(diǎn)及

???AB〃CD,

：.ZOEC=ZOAB=45°,

???AOC+ZOEC=NOCD=60°,

ZAOC=15°,

???此時(shí)旋轉(zhuǎn)角度為90。-15。=75。；

i)

如圖所示，當(dāng)45在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作?！陓|45,

由題意得NCOD=N/O3=90。，ZC=60°,ZB=45°,

VOE||AB,AB\\CD,

：.AB//CD//OE,

：.ZBOE=ZB=45°,ZCOE=ZC=60°,

：.ZBOC=/BOE+ZCOE=105°,

???旋轉(zhuǎn)角度為360°-105°=255°,

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角度為75?；?55。

故答案為：75?；?55。.

【變式1］（2025?黑龍江哈爾濱?一模）在V/5C中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D在BC邊

試題

試題

上，把△4灰）沿40折疊后，使得點(diǎn)5落在點(diǎn)片處，連接收、CE,若/DBE=20。,貝lj

ZDCE=.

【答案】25?；?15。

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)和判定、折疊問(wèn)題

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在直線8。的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在直線8C上方時(shí)；分別求解即可得到答

案.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在直線的下方時(shí)，

???AB=AC,ZBAC=90°,

/ABC=/ACB=45。,

由折疊可知AB=AE.BD=ED,

:.AC=AE,

???ZDBE=20°,

/.AAEB=AABE=ZABD+/DBE=65°,

/.NBAE=180°-ZABE-ZAEB=50°,

/CAE=ABAC-/BAE=40°,

'：AC=AE,

AACE=NAEC,

N4CE=；(180?！?CAE)=70°,

/.ZDCE=ZACE—/ACB=70°-45°=25°；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡在直線BC上方時(shí),

???/4BC=ZACB=45。，

???ZDBE=20°,

試題

試題

NABE=/ABC-NDBE=25。，

由折疊可知/2=4E,

NABE=ZAEB=25°,

ZBAE=180°-ZABE-ZAEB=130°,

NCAE=ZBAE-ZBAC=130°-90°=40°,

-,?AB=AC,

:.AC=AE

AACE=AAEC=1(180°-ZCAE)=70°,

ZDCE=ZACB+AACE=45°+10°=115°,

圖2

故答案為：25?；?15。.

【變式2］（2025?遼寧撫順?一模）如圖，RtA43C中，N4CB=90。,AC=8,8c=6,點(diǎn)

。是48邊上一動(dòng)點(diǎn)，將ANCD沿邊CO翻折得到ACDE,當(dāng)ACDE與V/8C的重疊部分為

直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)是.

【知識(shí)點(diǎn)】折疊問(wèn)題、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)，由勾股定理可得4B=JAC?+=10，由折

疊的性質(zhì)可得〃=4。=8,AD=DE,再分兩種情況：當(dāng)重疊的部分為直角△”1>,且

NCFD=90°；當(dāng)重疊的部分為直角△CEO,且/CDE=90。；分別求解即可得解，采用分

類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:RtzX/BC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,

試題

試題

AB=y/AC2+BC2=10，

由折疊的性質(zhì)可得：*=/C=8,AD=DE,

?/ACDE與V48c的重疊部分為直角三角形，

如圖，當(dāng)重疊的部分為直角△CKD,且/C孫=90。,

圖I

S,ABC=^AC>BC=^ABX：F,

,\-x8x6=-xl0CF,

22

24

CF=—

5

AAF=y/AC2-CF2=EF=CE-CF=—,

55

32

設(shè)/O=x,則DE=x,DF=AF-AD=--x,

由勾股定理可得：DE2=DF2+EF2^

解得：x=4,此時(shí)/。=4,

如圖：當(dāng)重疊的部分為直角△CED,且NCDE=90。,

綜上所述，的長(zhǎng)是4或方32,

故答案為：4或莖32.

試題

試題

【變式3］（2025?河南洛陽(yáng)，一模）一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放，其中

ZACB=NDEB=90°,ZB=30°,BE=AC=3.三角板/3C固定不動(dòng)，將小三角板D8E繞

點(diǎn)B順時(shí)針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C、E