第3講函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題專題四

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊三專題突破核心考點[考情考向分析]函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合問題，主要是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題、函數(shù)零點問題、函數(shù)的實際應(yīng)用問題等，一般需要研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，注重數(shù)學(xué)思想的考查.B級要求，題目難度較大.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破例1

已知函數(shù)f(x)＝xln

x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；熱點一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題解答當(dāng)x∈(0,1)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4.因為對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4].證明又f(x)＝xln

x，f′(x)＝ln

x＋1，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可以分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.思維升華解答跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)＝ln

x－

＋x，a∈R.(1)若f(1)＝0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；此時f(x)＝ln

x－x2＋x(x>0)，由f′(x)<0，得2x2－x－1>0，又因為x>0，所以x>1.所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，＋∞).解答(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤ax－1恒成立，求整數(shù)a的最小值.所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，x0)時，g′(x)>0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，g′(x)<0，所以g(x)在(0，x0)上是增函數(shù)，在(x0，＋∞)上是減函數(shù)，所以a≥2，即整數(shù)a的最小值為2.當(dāng)a≤0時，因為x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).所以關(guān)于x的不等式f(x)≤ax－1不能恒成立.又h(a)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)a≥2時，h(a)<0，所以整數(shù)a的最小值為2.熱點二利用導(dǎo)數(shù)研究實際應(yīng)用問題解答例2

(2015·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝(其中a，b為常數(shù))模型.(1)求a，b的值；解由題意知，點M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5).解答(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標(biāo)為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；設(shè)在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點，解答②當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.利用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用問題的一般步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x).(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)結(jié)論：回歸實際問題作答.思維升華解答跟蹤演練2如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1km，某炮位于坐標(biāo)原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；由實際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時取等號.所以炮的最大射程為10km.答炮的最大射程為10km.解答(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2km，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.解因為a>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?0<a≤6.所以當(dāng)a不超過6km時，可擊中目標(biāo).答當(dāng)橫坐標(biāo)a不超過6km時，炮彈可以擊中飛行物.熱點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題解答例3已知函數(shù)f(x)＝xln

x，g(x)＝－x2＋ax－2(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R).(1)判斷曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與曲線y＝g(x)的公共點個數(shù)；解f′(x)＝ln

x＋1，所以切線斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，所以曲線在點(1,0)處的切線方程為y＝x－1.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知，當(dāng)Δ＞0，即a＜－1或a＞3時，有兩個公共點；當(dāng)Δ＝0，即a＝－1或a＝3時，有一個公共點；當(dāng)Δ＜0，即－1＜a＜3時，沒有公共點.解答因此h(x)min＝h(1)＝3.(1)研究函數(shù)圖象的交點、方程的根、函數(shù)的零點，歸根到底還是研究函數(shù)的圖象，如單調(diào)性、值域、與x軸的交點等.(2)由函數(shù)零點求參數(shù)范圍，一般要根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，構(gòu)造滿足問題的不等式求解.思維升華解答跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；解當(dāng)a＝2時，f(x)＝2lnx－x2＋2x(x＞0)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.解答解g(x)＝2lnx－x2＋m，故g(x)在x＝1處取得極大值g(1)＝m－1.真題押題精練解答1.(2018·江蘇)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；解如圖，設(shè)PO的延長線交MN于點H，則PH⊥MN，所以O(shè)H＝10.過點O作OE⊥BC于點E，則OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ·(40sinθ＋10)＝800(4sinθcos

θ＋cos

θ)，△CDP的面積為＝1600(cos

θ－sinθcos

θ).過點N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于點G和K，則GK＝KN＝10.解答(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.解因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k＞0)，則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcos

θ＋cos

θ)＋3k×1600(cos

θ－sinθcos

θ)則f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1).解答2.已知函數(shù)f(x)＝

在x＝0處的切線方程為y＝x.(1)求實數(shù)a的值；因為函數(shù)在x＝0處的切線方程為y＝x，所以f′(0)＝