第2講立體幾何的綜合問題專題二

立體幾何板塊三專題突破核心考點(diǎn)[考情考向分析]江蘇高考對(duì)空間幾何體體積的計(jì)算是高頻考點(diǎn)，一般考查幾何體的體積或體積之間的關(guān)系.對(duì)翻折問題和探索性問題考查較少，但是復(fù)習(xí)時(shí)仍要關(guān)注.熱點(diǎn)分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類突破例1

(1)(2018·江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為

，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為_____.熱點(diǎn)一空間幾何體的計(jì)算1解析答案(2)已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為

的扇形，那么這個(gè)圓錐的高為________.解析答案解析設(shè)圓錐底面半徑為r，∴r＝1，(1)涉及柱、錐及其簡(jiǎn)單組合的計(jì)算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，再分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從而進(jìn)行解題.(2)求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.思維升華解析答案跟蹤演練1

(1)(2018·江蘇鹽城中學(xué)模擬)已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為_____.6π解析S圓柱＝2π×12＋2π×1×2＝6π.解析答案(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則三棱錐A－B1D1D的體積為________cm3.3解析方法一長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形.連結(jié)AC交BD于O，則AC⊥BD，又D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，BD，D1D?平面B1D1D，所以AC⊥平面B1D1D，AO為A到平面B1D1D的垂線段，方法二

熱點(diǎn)二空間圖形的翻折問題證明例2

(2018·江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)一副直角三角板按下面左圖拼接，將△BCD折起，得到三棱錐A－BCD(下面右圖).(1)若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ACD；證明∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，又∵EF?平面ACD，AC?平面ACD，∴EF∥平面ACD.證明(2)若平面ABC⊥平面BCD，求證：平面ABD⊥平面ACD.證明∵平面ABC⊥平面BCD，BC⊥DC，平面ABC∩平面BCD＝BC，CD?平面BCD，∴DC⊥平面ABC，又∵AB?平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC?平面ACD，CD?平面ACD，∴AB⊥平面ACD，又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法.思維升華證明跟蹤演練2如圖1，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝.(1)證明：DE∥平面BCF；證明如圖1，在等邊三角形ABC中，AB＝AC.所以DG∥BF.如圖2，DG?平面BCF，BF?平面BCF，所以DG∥平面BCF.同理可證GE∥平面BCF.因?yàn)镈G∩GE＝G，DG，GE?平面DEG，所以平面DEG∥平面BCF，又因?yàn)镈E?平面DEG，所以DE∥平面BCF.證明(2)證明：CF⊥平面ABF.證明如圖1，在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以BC2＝BF2＋FC2，所以∠BFC＝90°，所以FC⊥BF，又AF⊥FC，因?yàn)锽F∩AF＝F，BF，AF?平面ABF，所以CF⊥平面ABF.熱點(diǎn)三探索性問題證明例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn).(1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；證明因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锳1B?平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因?yàn)锳1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，AB1，B1C1?平面ADC1B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因?yàn)锳1B?平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.解答(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論.解

當(dāng)點(diǎn)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，可使B1F∥平面A1BE.證明如下：設(shè)A1B∩AB1＝O，連結(jié)EO，EF，B1F.所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四邊形B1OEF為平行四邊形.所以B1F∥OE.又因?yàn)锽1F?平面A1BE，OE?平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.探索性問題，一般把要探索的結(jié)論作為條件，然后根據(jù)條件和假設(shè)進(jìn)行推理論證.思維升華證明跟蹤演練3

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱BC上一點(diǎn).(1)若AB＝AC，D為棱BC的中點(diǎn)，求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；證明因?yàn)锳B＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.因?yàn)锳D?平面ABC，所以BB1⊥AD.因?yàn)锽C∩BB1＝B，BC?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.因?yàn)锳D?平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.解答解

連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，所以O(shè)為A1C的中點(diǎn).因?yàn)锳1B∥平面ADC1，A1B?平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.因?yàn)镺為A1C的中點(diǎn)，所以D為BC的中點(diǎn)，真題押題精練1.(2018·江蘇)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為____.解析答案2.(2017·江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則

的值是___.解析答案解析設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為2R，3.(2018·江蘇南京師大附中模擬)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D－A1BC的體積是______.解析解析答案4.(2018·全國(guó)Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.證明(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；證明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC?平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝

，求三棱錐Q－ABP的體積.解答解

由已知可得，如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AC，垂足為E，由(1)知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD?平面ACD，所以DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q－ABP的體積5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4，BD＝

，AB＝2CD＝8.證明(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；證明在△ABD中，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面