第01講集合及其運算

目錄

01?？碱}型過關(guān)練

題型01元素與集合的關(guān)系

題型02集合中元素的特征

題型03集合間的基本關(guān)系

題型04(真)子集的個數(shù)

題型05Venn圖的運算

題型06利用集合的運算結(jié)果求參數(shù)國

題型07集合的新定義問題疆

02核心突破提升練

01

常考題型過關(guān)練

取型I：01元素與集合的關(guān)系

1.以下選項中，是集合A={(羽y)ly=3x-5}的元素的是()

A.(1,-2)B.(2,-1)C.(3,5)D.(4,8)

【答案】A

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】逐個驗證即可.

【詳解】對于A：滿足-2=3x1-5,

對于B:-Iw3x2—5,錯誤；

對于C:5H3x3-5,錯誤；

對于D:8K3x4-5,錯誤；

故選：A

2.已知則實數(shù)尤=.

【答案】±1

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】直接根據(jù)1=0求解即可.

【詳解】0e{2,x2-l),

.,.x2-1=0,

解得％=±1.

故答案為：±1.

3.設(shè)關(guān)于x的不等式華衛(wèi)＜。的解集為A,若7eA,則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

%-m

【答案】[1,49]

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、分式不等式

【分析】首先假設(shè)7eA,即x=7時，不等式與二＜0成立，得到：誓2＜0,然后解不等式得到加的取

值范圍，最后對機(jī)的取值范圍取補集即為最終結(jié)果.

【詳解】假設(shè)7eA,即當(dāng)x=7時不等式竽三＜。成立，

x-m

代入可得：誓二＜0,解得：加＜1或%＞49.

由于已知7@A,故加的取值范圍為[1,49].

故答案為：[1,49]

4.已知瓦c為實數(shù)，/(x)=(x+a)(x?+6x+c),g(尤)=("+1)(。/+fev+l),記集合S={x|/(x)=0,xeR},

7={x|g(x)=0,xeR},若集合T的元素個數(shù)為3,則集合S的元素個數(shù)一定有個.

【答案】3

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】利用一元二次方程根的判別式，結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式，通過集合T的元素個數(shù)為3,得到a,b,c關(guān)系即

可判斷；

【詳解】若集合T的元素個數(shù)為3,則方程（依+1乂52+法+i）=。有三個不等實根,

awO

cw0

cwO

則有<:/72-4C>0A

b2>4c

—c——b+<1wO八a2-ab+c^O

a

所以方程（了+。）任+法+。=0一定有x=這一個根，且x=-a不是方程f+6x+c=0的根,

又〃>4c,所以尤2+bx+c=0有兩個不等于一。的根,

所以集合S的元素個數(shù)也一定為3.

故答案為：3

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)集合T的元素個數(shù)為3,列出關(guān)于方程g（x）=O的正確約束條件,

進(jìn)而根據(jù)約束條件即可判斷方程/（x）=0的解的情況.

期型：02集合中元素的特征

5.設(shè)，"是實數(shù)，集合/={??,叫，若leM,則切=.

【答案】-1

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系及互異性求參數(shù)即可.

【詳解】若加=1,則療=1,不符合集合元素的互異性；

若療=1,貝1]m=一1（正值舍），此時M={—1,1},滿足；

綜上，m=-l.

故答案為：-1

6.已知9e{0,3a,叫,則實數(shù)。=.

【答案】-3

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，9必定是集合中的某一個元素，再分別討論當(dāng)3a=9和1=9兩種情況，

結(jié)合元素的互異性得出正確答案即可.

【詳解】由題意得，9e{0,3?,?2),

若3a=9,貝！Ja=3,止匕時/=9=3°,

不滿足集合元素的互異性，

若4=9,貝?。?。=3(舍去)或。=—3,

此時3。=-9,滿足題意.

故答案為：-3.

7.已知集合4={1},3={$儂,無期5},且AuB,則實數(shù)x=

【答案】-1

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，討論三°25=1、月。24=1求參數(shù)，結(jié)合元素的互異性確定參數(shù)值.

【詳解】由4=3,若尤2。25=1=尤=1,此時/24=1,故集合8不滿足元素的互異性；

若無2°24=1=尤=±1,由上知X=1不滿足要求，

當(dāng)x=—l時，3={1,-1},滿足題設(shè).

所以X=—1.

故答案為：-1

8.已知。，4c為實數(shù)，用間表示有限集合S的元素個數(shù)，A={x|(x+a)(x2+te+c)=0},

B={x|(ax+l)(cx2+fe+l)=0},則MH同所有可能的值是.

【答案】0或1

【知識點】求函數(shù)的零點、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)

【分析】令"x)=(x+a)(x2+6x+c),g(x)=(ox+l)kx2+6x+i),由毛片。時，g(%)=x"—,/(x),g(x)

的零點一一對應(yīng)求解.

【詳解】解：令尤)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=3+l)(c/+Zzx+l),

設(shè)g(%o)=O(XoeR),顯然毛片0,則g(%)=

所以除％=。外，〃x）,g（x）的零點一一對應(yīng),

又存在。，b,c,使得/（0）=0,

所以刈=怛|或閾=閩+1,

則閾一忸|=0或1,

故答案為：。或1

觀型集合間的基本關(guān)系

9.（2025?上海?模擬預(yù)測）若集合尸滿足{2}uPu{2,3,5},則尸可以是（）

A.{2,5}B.{3}C.{3,5}D.{2,3,5}

【答案】A

【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、求集合的子集（真子集）

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系寫出集合尸，即可得答案.

【詳解】由{2}uPu{2,3.5},則尸={2,3}或尸={2,5}.

故選:A

10.已知集合4={-2,2},8={-2,-1,4+3},且4=3,則實數(shù)。的值為.

【答案】-1

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】由集合包含關(guān)系得到。+3=2即可求解；

【詳解】由題意可知。+3=2,

解得：a=—\,

故答案為：-1

11.若集合A={x|a+lWxW2a_l}是3=卜|/-3*-1040}的子集，則°的取值范圍是

【答案】（9,3]

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】先求得集合B,再分集合A=0和A關(guān)0兩種情況求得。的取值范圍.

【詳解】由尤2-3X-10G0=（X+2）（X—5）W0=—2WXV5,即B=[—2,5].

若4=0,貝ija+l>2a—l=a<2,此時A是B的子集;

2a—12〃+1

若由得：4+12-2n2?a43.

2?-1<5

綜上可得：aW3及。的取值范圍是（-8,3].

故答案為：（力,3]

觀型【04（真）子集的個數(shù)

12.集合A=｛1,2,3,a,耳的非空真子集有個.

【答案】30

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】若集合有〃個元素，則非空真子集的個數(shù)為2"-2.

【詳解】根據(jù)元素互異性集合A中有5個元素，

所以非空真子集有25-2=30.

故答案為：30.

13.集合戶滿足尸=｛（x,y）l尤?+y2=4,x,yeZ｝,則這樣的集合尸有個.

【答案】16

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】分析集合｛（羽？）|1+丁=4",>?2｝中的元素個數(shù)，由于尸a｛（x,y）|x2+y2=4,x,yeZ｝,則符合

的集合個數(shù)即可確定.

[詳解1x2+y2=4,x,yeZ,貝l]當(dāng)x=0時，y=±2eZ；

當(dāng)％=±1時，y=+sj3gZ；

當(dāng)％=12時，y=0eZ；

所以｛（x,y）Id+y2=4,X,yez｝=｛（0,2）,（0,-2）,（2,0）,（—2,0）｝

又P=｛（x,y）|x2+y2=4,x,yez｝,集合｛（x,y）If+j?=4,%、?z｝中有4個元素，尸為子集，

故符合這樣的集合尸有24=16.

故答案為：16.

14.已知非空集合C={1,2,4},且滿足："若xeC則2x@C",則滿足條件的集合C的個數(shù)為.

【答案】4

【知識點】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)

【分析】先根據(jù)非空集合C={1,2,4},確定集合C的個數(shù)，再排除不滿足條件的集合即可.

【詳解】首先：因為非空集合。屋{1,2,4},所以集合C的個數(shù)為：23-1=7個，

其中:{1,2},{2,4},{1,2,4}不滿足條件："若xeC則2xgC".

故滿足條件的集合C的個數(shù)為：4.

故答案為：4

15.已知點的集合4=卜％"),僅』-租+1,〃2-磯，8={(x,y)|x+y=l,x,yeN},若AB有且僅有4個子集，則

m-n的值是

【答案】-1

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)、判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)

【分析】根據(jù)條件得3={(0,1),(1,0)},再利用A3子集的個數(shù)得A=B,即可求解.

【詳解】因為3={(x,y)|x+y=i,尤,yeN}={(o,i),(i,o)},又AB有且僅有4個子集，

所以A3有兩個元素，則A=B，

若7"=0,〃=1時，m2-m+l=l,n2-n=0,此時A={(0,1),(1,0)}滿足題意，

若相=1,〃=0,則加2一機(jī)+i=i,〃2_“=0,此時4={(1,0),(1,。)}違反互異性,

所以=-1,

故答案為：-1

16.集合A是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集，且A中的元素有完全平方數(shù)，則滿足條件的集合A共有

個.

【答案】896

【知識點】分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、代數(shù)中的計數(shù)問題、判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)

【分析】令8={1,4,9},C={2,3,5,6,7,8,10},求出集合8的非空子集數(shù)，與集合C的子集數(shù)，再由分步乘

法計數(shù)原理計算可得.

【詳解】集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中的完全平方數(shù)有1,4,9,

令3={1,4,9},C={2,3,5,6,7,8,10},

則集合3={1,4,9}的非空子集有23一1=7個，

集合C={2,3,5,6,7,8,10}的子集有27=128個，

則滿足條件的集合A為集合B的非空子集與集合C的子集的并集，

故一共有7x128=896個.

故答案為：896

17.己知集合A={x|-f+x+220,xeN},則滿足條件A3=A的集合8的個數(shù)為（）

A.4B.7C.8D.16

【答案】C

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【分析】求解一元二次不等式化簡A,結(jié)合AB=A,得B=A,求得A的子集個數(shù)即可.

【詳解】因為A={x\-x2+x+2>N}={尤］—1<X<2}={0,1,2）

若AlB=A,則所以滿足條件Al"3=A的集合B的個數(shù)為23=8.

故選：C.

敢型

18.集合A,B,C的關(guān)系如圖所示：其中三個圓分別表示集合A,B,C,試用集合A,B,C的運算結(jié)果表

述圖中陰影所代表的集合.

【答案】（AB）J（BIC）（表示不唯一，可寫成B（AC））

【知識點】利用Venn圖求集合

【分析】根據(jù)給定條件，利用韋恩圖陰影部分表示的集合意義列出表達(dá)式.

【詳解】觀察韋恩圖知，陰影部分是A與B的公共部分同8與C的公共部分，兩部分合并在一起而得,

所以陰影所代表的集合是(AC)(也可表示為3(A.C)).

故答案為：(AB)\J(BC)

19.己知集合A={x|l<x<2},B=]x[0<x<|1,則下圖陰影部分表示的集合是.

【答案】{》|0〈尤41}

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、利用Venn圖求集合

【分析】根據(jù)韋恩圖及集合交、補運算求集合即可.

【詳解】由題圖知：陰影部分為2一條A,而々A={x|xVl或x22},

所以8^A={%|O<%<1}.

故答案為：{x10<x41}

20.設(shè)全集〃={1,2,3,4,5,6,7},集合4={1,4,7},3={2,4,5,7},那么如圖所示的陰影部分所表示的集合是

A.{4,7}B.{1,2,4,5,7}C.{3,6}D.{123,5,6}

【答案】C

【知識點】交并補混合運算、利用Venn圖求集合

【分析】根據(jù)集合的交并補運算即可結(jié)合圖形求解.

【詳解】陰影部分所表示的集合是令53)

由4={1,4,7},3={2,4,5,7}得AB={1,4,7}u{2,4,5,7}={1,2,4,5,7},

所以e（AUB）={3,6},

故選:C

敢型【06利用集合的運算結(jié)果求參數(shù)

21.已知集合A={1,3,4},B={a,a+1},若AB=B,則”.

【答案】3

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的結(jié)果直接列式計算即得.

【詳解】集合A={1,3,4},8={a,a+l},由AB=B,得B=又a+l—a=l,

f（7+l=4

因此4.,所以a=3.

[a=3

故答案為：3

22.已知全集U=R,集合4={#+。2。},8={小一1|<3}.若其門8=[—2,4],則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】a<-4

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、補集的概念及運算

【分析】根據(jù)題意有3=[-2,4],由入3=[-2,4]=3得2=才即可求解.

【詳解】由即4=[一。,+00）,

全集。=R,A=（T?,-a）,

由次一1歸3n—3WX—1W3,即一24x44,

B=[—2,4],AB—[—2,4]=>BcA,:.—a>4,即a<-4.

故答案為：a<-4.

23.已知集合A=（F,3],3T租,y），若AB=R,則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】（9,3]

【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】根據(jù)集合并集的定義即可求.

【詳解】因為A=（ro,3],3=[w+oo）,AB=R,

所以用《3.

所以實數(shù)機(jī)的取值范圍是（力,3].

故答案為：（f,3]

24.已知集合4=舊尤2+px+g=o},集合8={尤卜2-彳+）=0卜且4c3={-1},AB={-1,2},則

丹嗚4=.

【答案】0

【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、對數(shù)的運算

【分析】依題意-leB,-IGA,即可求出廠，從而求出集合3,再分A={T和A={T,2}兩種情況討論,

分別求出P、Q,再代入rlog/計算可得.

【詳解】因為AC3={-1},AUJB={-1,2},

所以一leB,—IsA,即（一1）~—l）+r=0,解得r=—2,

所以8={X卜2-尤-2=0}={-1,2},

又（-1）—p+q=0,即p_q=l,

^A=|x|x2+px+q=O^={-1},貝I]A=p2_4g=0,解得]]；，

此時丹og,4=-21og2l=0:

若4={-1,2},貝l]4+2p+4=0,解得=此時「log。"無意義，故舍去；

國=-2

綜上可得丹og/=。.

故答案為：0

25.若全集U={2,3,5},A={2,|a-5|},A={5},則。的值是___.

【答案】2或8

【知識點】根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)

【分析】由-5|=3即可求解.

【詳解】因為。={2,3,5},A={2,|a-5|},且％={5},

所以5|=3,解得a=2或a=8.

故答案為：2或8.

26.設(shè)集合4={出2+2》_3>0},集合3={寺2-26一1<0,"0},若AcB中恰有一個整數(shù)，則實數(shù)”的

取值范圍（）

A?［端B?［濘UUD.（1,+?

【答案】B

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)

【分析】先求出集合A,8,再根據(jù)AcB中恰有一個整數(shù)，列出不等式求解.

【詳解】由已知可得集合&=同工<-3或無>1},

由Y-2分一1W0解得，a-yja2+l<x<a+-Ja2+1>

所以3=k|a-[a1+1<x<a+Ji+1},

因為。>0,所以。+1>5+1，則a-Ja‘+l>-l，且小于0,

由Ac3中恰有一個整數(shù)，所以24。+，？+1<3,

2

Va+1>234

解得工〃<§，

Q+J/+i<3

故選：B.

07集合的新定義問題

27.（2025?上海普陀?二模）設(shè)，"，”為正整數(shù)，集合"={1,3,5,-,2n-l］,若集合A滿足A=且對A中

任意的兩個元素，，）,皆有1、力>4成立，記滿足條件的集合A的個數(shù)為%,貝|g=.

【答案】19

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、集合新定義

【分析】利用分類思想，列舉思想即可得到答案.

【詳解】當(dāng)〃=8時，M={1,3,5,,15）

若A為二元集：如

{157},{1,9},{1,11},{1,13},{1,15},{3,9},{3,11},{3,13},{3,15},{5,11},{5}13},{5,15},{7,13},{7,15},{9,15},共有15

種，

若A為三元集：如{1,7,13},{1,7,15},{1,9,15},{3,9,15},共有4種,

所以總共有：%=15+4=19種；

故答案為：19.

28.若規(guī)定由整數(shù)組成的集合E={0,L2,—r〃},心10,的子集{4%,%,，……,4}為E的第9個子集,其

中左=2"，+2%+2%++2%,則E的第2024個子集是.

【答案】{3,5,6,7,8,9,10}

【知識點】求集合的子集(真子集)、集合新定義

【分析】把2024寫成2的自然數(shù)幕的和即可得.

【詳解】2024=23+25+26+27+28+29+210,

所以E的第2024個子集是{3,5,6,7,8,9,10}.

故答案為:{3,5,6,7,8,9,10}.

29.設(shè)全集/={1,2,3,4},集合A、B是/的子集，若AI3={1,2},就稱(A3)為"好集"，那么所有"好集"的

個數(shù)為.

【答案】9

【知識點】交集的概念及運算、集合新定義

【分析】根據(jù)題意，依次寫出符合條件的"好集

【詳解】({L2},{1,2});({1,2},{1,2,3})；({1,2},{1,2,4});

({1,2},{1,2,3,4});({1,2,3},{1,2,4});({1,2,3},{1,2});

({1,2,4},{1,2});({1,2,4},{1,2,3});({1,2,3,4},{1,2}).

故答案為：9

02

核心突破提升練

1.(2025?上海徐匯?二模)已知全集。={刈x-1區(qū)2,xeR},A=[1,3],則％=.

【答案】[-1,1)

【知識點】補集的概念及運算、幾何意義解絕對值不等式

【分析】先求解絕對值不等式解得集合U,再根據(jù)補運算求解即可.

【詳解】[/={X||X-1|<2,X6R}={X|-1<X<3},又A=[l,3],故無=[-1,1).

故答案為：[-U）.

2.（2025?上海楊浦?二模）已知集合A={l,2,3,4},B={x[l<x<4},則AB=.

【答案】{2,3}

【知識點】交集的概念及運算

【分析】由交集的運算可得.

【詳解】因為集合A中大于1且小于4的數(shù)只有2,3,所以AIB={2,3}.

故答案為：{2,3}.

3.（2025?上海松江二模）已知集合4={-1,0,1,2},5={3y=log2x},則AB=

【答案】LU}

【知識點】交集的概念及運算、求對數(shù)函數(shù)的定義域

【分析】化簡集合B,根據(jù)交集運算求解.

【詳解】集合B是函數(shù)y=logzx的定義域，對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于0,所以B={x|x>0},

又A={-1,0,1,2},所以Ac3={l,2}.

故答案為：{1,2}.

4.（2025?上海黃浦?二模）設(shè)awR,集合A=[l,3],B=[a,4],若AB=[2,3],則。=

【答案】2

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】由4=[1,3],B=[a,4],且AB=[2,3],

所以。=2.

故答案為：2.

5.（2025?上海嘉定?二模）已知集合A={x[—l<xW3},集合3={尤|1Vx<4},則Ac3：

【答案】{卻Mx遞3}

【知識點】交集的概念及運算

【分析】根據(jù)交集的定義計算.

【詳解】AnB={x|l<x<3}.

故答案為：{x|l<x<3}.

6?新鑰已知"eN*,集合A=[sin號|AeN,OW/W”],若集合A恰有8個子集，則”的可能值的集

合為________

【答案】{4,5}

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、誘導(dǎo)公式二、三、四

【分析】根據(jù)子集個數(shù)可得集合元素個數(shù)，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可確定〃的取值.

jr27r

【詳解】由題意易知，sinO,sin/,sin三，…,sin把，均是集合A中的元素，

nnn

又集合A恰有8個子集，故集合A有且只有三個元素，則〃之3,

又sinO=sin—=sin7i=0,

n

TT127r

當(dāng)〃=3時，sin]=sin^,此時集合A只有兩個元素，不滿足題意；

、[，?rt_L.7C.3兀72.27r.7L

三〃=41可,sin—=sin-?=——,sin——=sin—=1I，

44242

此時集合A有且只有三個元素，滿足題意；

、[,廠7.兀.4TI.2TI.3兀

當(dāng)〃=5n寸，sin—=sin——wsm——=sm——,

5555

此時集合A有且只有三個元素，滿足題意；

當(dāng)力25時，易知集合A中不只三個元素，不滿足題意；

綜上，〃可取的值是4或5,即"的可能值的集合為{4,5}.

故答案為：{4,5}.

TT

【點睛】易錯點睛：本題容易出錯的點是，沒注意至Usin；=sin皆9jr的情況，誤以為〃的取值可以為3.

2

7.年新角度|已知全集為實數(shù)集R,集合M=卜15V2"<256,‘A?={x|log5（A：-4x）>l},則而cN

【答案】（F,—2）55,+O>）

【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

解不等式

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到而，N,然后求交集即可.

【詳解】不等式2V256可整理為2-422*428,所以TV2xV8,解得-2<x<4,所以

Af={尤卜2<x<4},M={尤［x<-2或x>4},

不等式log5（V-4%）>1可整理為log5（d—4x）>log55,所以f—4x>5,即（x-5）（x+l）>0,解得了<一1或

x>5,所以N={x［x<-1或x>5},MN=（^o,-2）（5,y）.

故答案為：（ro,-2）u（5,+oo）.

8?6新誕］記闌為有限集合A中的元素個數(shù).設(shè)。>°，黑日整皿+加。能被7整除},若對于任意實數(shù)a

和任意正整數(shù)〃，恒有|sj（a,a+〃e45"l<3,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】I0,—

【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、集合新定義

【分析】分析可知，集合％中的元素。只需滿足。。+1能被7整除即可，設(shè)。。+1=7%（畿Z）,則。需取以

7（二〃）1

—為間隔的等間隔分布的實數(shù)，可知區(qū)間〃,。十幾2中最多只能找到三個。值，即求〃「5〃的最大值，利用

。（Jwe

導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（同=雙個1的最大值為：2，則任意一段長度不超過2:的區(qū)間里最多只能找到三個。值，由此

可得出關(guān)于。的不等式，解之即可.

2025

6752674675

【詳解】由于22磔=8,=（1+7）=1+C^75-7+Cg75-7++C^-7+7-

所以，22°25被7除余數(shù)為1,

因此，集合S。中的元素。只需滿足能被7整除即可，

設(shè)。。+1=7上任eZ）,從而可得。=2^1,

7

即。需取以一為間隔的等間隔分布的實數(shù)，

co

（1>

不論實數(shù)〃和正整數(shù)〃如何選取，區(qū)間〃,。+小乎中最多只能找到三個。值，

\7

考慮到任意性，考慮區(qū)間長度最長的情況，即求〃的最大值，

設(shè)〃x)=xeT，其中xwR，則/(x)=[l-；xjec

由/'(x)>0可得x<2,由/'(x)<0可得x>2,

所以，函數(shù)的增區(qū)間為（一-2）,減區(qū)間為（2,+8）,

所以，"X）a="2）=一

2

因此，問題的要求是在任意一段長度不超過一的區(qū)間里最多只能找到三個。值，

e

72

而。的取值是以一為間隔的，故臨界情況是：長度為一的區(qū)間剛好對應(yīng)3個間隔,

coe

a0十二

e

因此，只需'之女，解得0＜?！此?

0e2

故答案為：1°，光--

9.‘猶新角聲設(shè)集合A={%==sin2兀+sin471+sin67c++sin,丘，（sZ,4＞0}有個真子集.

「「用度I乂木口2025202520252025-------…J木

【答案】21013-1/-1+21013

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、誘導(dǎo)公式二、三、四

【分析】依題意由表達(dá)式中角的特征可知當(dāng)0＜左41012,左eZ時，sin庭的取值各不相同，當(dāng)上21013時,

利用誘導(dǎo)公式以及集合元素的互異性即可求得集合A的元素個數(shù)為1013,繼而得到真子集個數(shù).

【詳解】由題意，當(dāng)0＜^V1012,左eZ時，-^e（0,7T）,此時，sin箴w（0,l）,

因2025是奇數(shù)，2人是偶數(shù)，且黑中的任意兩組角都不關(guān)于手對稱，所以sin隘的取值各不相同，

因此當(dāng)0〈化＜1012,左￡Z時，集合A中X的取值會隨著人的增大而增大，所以當(dāng)左=1012時，集合A中共有

1012個元素;

2TI.4TI.6TI.202471./7T、

當(dāng)左=1013時，易知％=sin------bsm-------1-sin--------F+sm---------+sm(7lH--------)

20252025202520252025

.2K,4K,671.202471.it

=sin--------bsm--------Fsm--------F+sin----------sin-----

20252025202520252025

2024兀7i2TI.471.6K,2022K

又因sin--------=sin-----，故％=sin------bsin--------bsin--------b+sm--------

202520252025202520252025

即4=1013時x的取值與左=1011時的取值相同，

根據(jù)集合元素的互異性可知，左=1013時，并沒有增加集合中的元素個數(shù),

.2兀471.6兀4046K4048TC

當(dāng)上=2024,易得:x=sm--------bsin-------Fsin--------++sin+sin

20252025202520252025

.2714716兀202471202471.471271?

sm-----+sin+sin++sin-sin---------sm-------=0,

2025202520252025202520252025

可得當(dāng)上21013時，集合A中的元素個數(shù)只增加了一個0,

故可得集合A的元素個數(shù)為1013個，故集合A的真子集有2m3_1個.

故答案為：2KM3-1.

10.『新角歐已知0e(0,兀),0e[0,2兀),函數(shù)f(x)=sin(0x+0),對任意正整數(shù)"，有〃〃+4)=〃")，且

集合A={x|x=/(〃),〃eN且”21}的元素個數(shù)為3,則滿足要求的/⑴的取值集合.

【答案】{o,L-1}

【知識點】由正弦(型)函數(shù)的周期性求值、集合元素互異性的應(yīng)用、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式

【分析】由〃〃+4)=/5)得周期為4,即可得0=5,因為周期為4,列舉〃1),“2),"3),”4),結(jié)合

集合元素的互異性得到可能的。的值，進(jìn)而求得了。)的值.

【詳解】因為『5+4)=/(〃)，所以周期7=4,又由7=空=4得

(D2

所以/'(x)=sinex+ej,

則/(l)=sin]g+cp=cos(p,/(2)=sin(7i+(p)=-sin(p,

/(3)=sin|與+(p]=—cos(p,/(4)=sin(2兀+cp)=sincp,

而集合A中只有3個元素，根據(jù)集合元素的互異性，可得以上四個值中恰有兩個值是相等的,

若/⑴=〃2),即cos(p=-sin(p,則〃3)=/(4),集合A中只有2個元素，不合題意;

若〃1)=〃4),即cosp=sin。,則〃2)=〃3),集合A中只有2個元素,不合題意；

3

若/(1)=/(3),即8S°=-8S。，貝l]c°S0=O,得0=7]r或]兀，此時

f(l)=cos(p=0；

若〃2)=/(4),gpsincp=-sincp,則sin°=0,得。=0或兀,止匕時〃l)=coscp=l或-1；

綜上41)的值為?；?或-1，所以M={O,1T}.

故答案為:{0,1-1}.

11.上新角度|向量集合s={ak=(X,y),尤,yeR}，對于任意a#eS,以及任意'e(0,1)，都有

Xa+(1-冷力eS,則稱S為"C類集"，現(xiàn)有四個命題：

①若S為"C類集”，則集合M={〃蟲eS,〃eR}也是"C類集"；

②若S,T都是"C類集"，則集合M=[a+b\a&S,b&T]也是"C類集"；

③若A,4都是"C類集"，則片口&也是"C類集"；

④若A,4都是"c類集"，且交集非空，則Ac4也是"c類集

其中正確的命題有(填所有正確命題的序號)

【答案】①②④

【知識點】集合的應(yīng)用、集合新定義、向量新定義

【解析】因為集合$={”,=(%,力羽》€(wěn)氏},對于任意￡,/€5,且任意2?0,1),都有2。+(1-冷分€5,可以把

這個“C類集"理解成，任意兩個S中的向量所表示的點的連線段上所表示的點都在S上，因此可以理解它的圖

象成直線，逐項判斷,即可求得答案.

【詳解】集合S={a|a=(x,y),無,yeR},對于任意名

且任意4e(O,l),都有/l6Z+(l-4)4eS

???可以把這個“C類集"理解成，任意兩個S中的向量所表示的點的連線段上所表示的點都在S上，因此可以理

解它的圖象成直線

對于①,"={即|。wS,〃eR},向量a整體〃倍，還是表示的是直線，故①正確；

對于②，因為S,T都是"C類集"，故加=3+山/力仁乃還是表示的是直線做②正確；

對于③，因為A，&都是"C類集"，可得A04是表示兩條直線，故③錯誤；

對于④,4,4都是"C類集"，且交集非空，可得Ac4表示一個點或者兩直線共線時還是一條直線.

綜上所述，正確的是①②④.

故答案為:①②④.

【點睛】本題考查了集合的新定義，解題關(guān)鍵是要充分理解新定義，結(jié)合向量和集合知識求解，考查了分析能力

和計算能力，屬于難題.

二、單選題

12.(2025?上海浦東新?二模)已知集合尸={-1,1,3,5,7},集合。=卜卜-3|>3},全集為R,則PcQ=()

A.{-1,1}B.{-1,7}C.{1,3,5,7)D.{1,3,5}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算、公式法解絕對值不等式、補集的概念及運算

【分析】由絕對值不等式確定結(jié)合Q,再由集合得交集、補集運算即可求解.

【詳解】°={小一3|>3},可得。={#一3歸3}

可得:fi={x||x-3|<31={x|0<x<6},

所以PCQ={1,3,5},

故選：D

新誕］已知集合”={(無，,).=/(*)}，若對于任意(x,y)eM，總存在與之相應(yīng)的(x',y')eM(其

中XHX'),使得|雙+W|=舊+、Q(x，)2+(Op成立,則稱集合M是"。集合”.下列選項為"。集

合”的是()

A.M={(x,y)\y=―,x>0}B.M={(x,y)\y=ex-2}

x

C.M={(x,y)\y=cosx}D.M={(x,y)\y=x3}

【答案】D

【知識點】函數(shù)圖象的應(yīng)用、集合新定義、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、基本不等式的內(nèi)容及辨析

【分析】根據(jù)新定義，設(shè)A(x,y),Ba',y'),化簡.+yy[=舊+..小(疔+(了>,^xy'-x'y=0,故

OA//O8,即過原點的直線AB與曲線/(x)相交有兩個不同的交點，由圖象依次可判斷選項.

【詳解】根據(jù)新定義，設(shè)A(x,y),Ba',y),化簡版，+=舊+..“if+(y『,

得//2+工'2'2=2x/y/恒成立，

由基本不等式可知%2y2+y2/>,當(dāng)且僅當(dāng)孫,=分時取〃=〃，

即當(dāng)孫'一x'y=0時，兀2y2+%,2y2=2xx'yy'恒成立，

故OA//O3,即過原點的直線A3與曲線,(%)相交有兩個不同的交點，

A選項：由圖可知，過原點的直線AB與曲線/(x)=L(x>0)相交只有一個交點，故不是"。集合"；

X

B選項：如圖，當(dāng)過原點的直線A3斜率小于零時與/（力=d-2曲線相交只有一個交點，故不是"Q集合"；

C選項：如圖，當(dāng)過原點的直線A8斜率大于1時與/（x）=cosx曲線相交只有一個交點，故不是"。集合〃;

D選項：如圖，當(dāng)過原點的直線與/（力=V曲線相交都有兩個不同的交點，故是“Q集合”;

14.'怙和]|高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱號，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家

高斯，我們把函數(shù)y=[x]（xeR）稱為高斯函數(shù)，其中國表示不超過關(guān)的最大整數(shù)，如口.1]=1,[-1刃=-2,

則點集尸=｛（羽刈口『+[寸=1｝所表示的平面區(qū)域的面積是（）

A.4B.2C.6D.1

【答案】A

【知識點】描述法表示集合、函數(shù)新定義

【分析】根據(jù)集合的描述及已知函數(shù)新定義有㈤=。,卬=±1或印=±1,3=。，進(jìn)而作出點集表示的對應(yīng)

區(qū)域，即可得答案.

[詳解]由[X]2+洋]2=1可得㈤=0,[力=士1或[x]=±l,[y]=0,

[x]=0f[x]=0=1f

rii或Sri1或ic或in

[y]=1。]=一1〔[y]=。[[y]=0

[0<x<l[0<x<l、（l<x<2f-l<x<0

即|l<y<2^1A-l<y<OaK1|o<y<l^|o<y<l

由圖可知平面區(qū)域由4個邊長為1的正方形組成,

所以點集P=｛（x,V）IE3+[才=1）所表示的平面區(qū)域的面積是4.,

故選:A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：明確點集表示的幾何意義為平面區(qū)域，這是解答的關(guān)鍵.

15.‘辛斤自滓1設(shè)集合4='xx=sin2兀+sin'兀+sin'兀+…+sin2^-，keZ,無，則集合A的元素

：新用度|乂木口[2026202620262026J

個數(shù)為（）

A.1011B.1012C.1013D.1014

【答案】C

【知識點】誘導(dǎo)公式二、三、四、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)

【分析】依題意由表達(dá)式中角的特征可知當(dāng)0<^41012#eZ時，sin品的取值各不相同，當(dāng)人22025時,

利用誘導(dǎo)公式以及集合元素的互異性即可求得元素個數(shù)為1013.

I2冗4冗67T

【詳解】因為A=<xx=sin--------Fsin--------Fsin--------1-----Fsin------,ksZ,k>0

2026202620262026

.71.2兀371.E7r7c

sin-----1-sin-----Fsin-----1-------1-sin----,KGZ,K>0>,

1013101310131013I

l^rr。,5卜止匕時sin

當(dāng)0<上4506,左EZ時，而5G

ku

又因為1013為奇數(shù)，keZ,且中的任意兩組角都不關(guān)于5對稱,

1013

所以sin品的取值各不相同，因此當(dāng)0<kM506,keZ時集合A中x的取值會隨著k的增大而增大,

k穴

當(dāng)5070左（1012#EZ時而］e-1,TT,此時sin焉皿）;

“7TTT

又因為1。13為奇數(shù),尢eZ,且前中的任意兩組角都不關(guān)于萬對稱,

所以sin^的取值各不相同，因此當(dāng)5。7。*卬"時集合人中,的取值會隨著％的增大而增大'

綜上可得當(dāng)0<ks1012#wZ時集合A中龍的取值會隨著k的增大而增大,

所以當(dāng)左=1012時，集合A中有1012個元素;

當(dāng)左=1013時，易知

兀.2兀.3兀.1013兀

x-sin-----bsin-----bsin----H-------1-sin------

1013101310131013

.7T2713兀,101271.

=sin-----bsm----+sm+—I-sin------bsin7i

1013101310131013

.71.2兀.3兀.1012兀

=sin----+sin------Fsin+—I-sin------

1013101310131013

即左=1013時尤的取值與k=1012時的取值相同,

根據(jù)集合元素的互異性可知，左=1013時并沒有增加集合中的元素個數(shù),

,,,ku「（左—1013）九1（左—1013）兀

當(dāng)1014〈左〈2024,左￡Z時，貝1）14左一101341011,sin而1=sin-丁.+兀=-sin-一丁.,

即sin但+sin（左TO*）兀=。,

10131013

ll