第16講正切、余切及其特殊角的銳角三角比的值（八大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握正切、余切的概念；

2、會(huì)求銳角的正切、余切的值；

3、知道特殊角的銳角的正切、余切的值。

4、掌握銳角的三角比綜合（意義、求值等）

02思維導(dǎo)圖

/1.直角三角形的性質(zhì)（續(xù)）

——2.正切、余切的概念

I3.特殊角的正切、余切的銳角三角比的值

＜題型1:正切、余切的概念

廠題型2:正切、余切的特殊角的銳角三角比的值

廠題型3:已知正切、余切的特殊角的銳角三角比的值，求該角

一題型4:判斷三角形的形狀

一題型5:已知一個(gè)銳角的三角比的值，求該角另一個(gè)三角比的值

'題型6:比較大小關(guān)系

I題型7:銳角三角比之間的關(guān)系及綜合辨析

I題型8:用計(jì)算器計(jì)算銳角三角比的值

03知識(shí)清單

一、直角三角形中30。角的性質(zhì)（續(xù)）

NA=30。，設(shè)邊長a的長度為m

勾股定理+直角三角形30°角性質(zhì)

二、銳角的三角比一正切、余切

I、先看特殊情景：

①在RtAABC中,NC=9（r,NA=30,貝|色=必

b3

銳角4的對(duì)邊

給定一個(gè)銳角A=一個(gè)確定值

銳角4的鄰邊

②在RtAABC中,/C=90°,/B=60,則-=73

a

銳角3的對(duì)邊

給定一個(gè)銳角B=一個(gè)確定值

銳角3的斜邊

思考：對(duì)于一個(gè)直角三角形，如果給定了它的一個(gè)銳角的大小，那么它的對(duì)邊與鄰邊的比值是否是一個(gè)確

定的值？

II、再看一般情景：

如圖所示，任意畫一個(gè)銳角A,在角A的一邊上任意取點(diǎn)，例如取Bi、B2、B3三點(diǎn)，再分別過這三個(gè)點(diǎn)向另

一邊作垂線，垂足依次為點(diǎn)Ci、C2、C3,從而得到三個(gè)直角三角形，即AABiCi、△AB2c2和△AB3c3

因?yàn)檫@三個(gè)直角三角形有公共的銳角A,所以△ABiCi^AAB2c2SAAB3c3

于是得G=B2c2_B3c3

AC,~AC2~AC3

由此可見，如果給定直角三角形的一個(gè)銳角，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的長度的比值就是一個(gè)確定的數(shù).

m、

如圖，當(dāng)直角三角形中一個(gè)銳角的大小變化時(shí)，這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的長度的比值隨著變化嗎？

提示：比較/DAC、/EAC的對(duì)邊與鄰邊的比值來確定是否變化。

IV、

通過上面的討論，可以得到：如圖，在RtAABC中（/C=90。）,當(dāng)銳角A的大小確定后，不論RtAABC

的邊長怎樣變化，NA的對(duì)邊BC與鄰邊AC的比值總是確定的，即

銳角/的對(duì)邊

=一個(gè)確定值

銳角4的鄰邊

我們把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦.銳角A的正切記作tanA,

.銳角A的對(duì)邊BCa

ta.nA=-------------------=------=——

銳角A的鄰邊ACb

同理，在RtAABC中（NC=90。）,當(dāng)銳角A的大小確定后，不論RtAABC的邊長怎樣變化，NA的鄰

邊BC與斜邊AB的比值也總是確定的

我們把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦.銳角A的余切記作cotA,

,.銳角A的鄰邊ACb

銳角A的對(duì)邊BCa

由正切、余切的意義可以得到，

,1

tanA=------

cotA

V、

一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比

任何一個(gè)銳角的三角比的值都是正實(shí)數(shù)，其中正弦和余弦的值小于1（理由上一講已學(xué)）。

銳角A的三角比tanA、cotA>sinA、cosA中，

tanA>0,cotA>0;0<sinA<1,0<cosA<1.

三、銳角的三角比的特殊角的值一正弦、余弦、正切、余切（含上一講）

I、模型引入

II、特殊角的三角比值

利用三角比的定義，可求出30。、45。、60°角的各三角比值，歸納如下:

銳角儀sin(Xcosatanacota

.W

30°石

223

45°也立1

2~21

60°如也

223

【方法規(guī)律】

(1)通過該表可以方便地知道30°、45。、60°角的各三角比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一

個(gè)銳角的三角比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若sin6=必，則銳角8=45°.

2

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

sin30°、sin45*>sin60°的值依次為辿、—>而cos30°、co$45°、cos600的值的順

222

序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)

②余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大).

m、銳角三角比之間的關(guān)系

如圖所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°.

(1)互余關(guān)系：sin4=cos(90°-ZL4)=cosB，cosA=sin(90?-ZJ4)=sin5；

tanA=cot(90°-/A)=cotB,tanB=cot(90°-ZB)=cotA.

⑵平方關(guān)系：S1I?%+COS?工=1；

⑶倒數(shù)關(guān)系：tan工1血(90)-44)=1或-1皿8；/

“sinAcosAZ____d

(4)商的關(guān)系：tanA=----,cotA4=-...Bc

cossinA.

w、一些非數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語，通俗的理解或記憶方法

①核心思想：畫直角三角形模型

②在(銳角三角比的)比值中正、余定分子，弦、切定關(guān)系。

正、余定分子弦、切定(比值)關(guān)系

正：銳角正面對(duì)著的邊弦：直角邊與斜邊的比值

余：余弦、余切的英文笫一個(gè)發(fā)切：兩H角邊之間的比值

音都有諧音“可”,即“磕”，也就弦：勾3,股4,弦5。弦即斜邊。

是磕著碰著，挨著，來記憶鄰邊。切:排除法記憶。即確定了正弦

余弦是直角邊與斜邊的比值。剩

下的就是兩直角邊之間的比值

以上僅供參考，不同學(xué)科，生活，社會(huì)都有很多理解、記憶學(xué)習(xí)的方法，找

到適合自己的最重要。

V、邊、角互化

銳角4的對(duì)邊

給定一個(gè)銳角A=一個(gè)確定值

以銳角A的正切為例,銳角4的鄰邊

在我們學(xué)習(xí)了特殊角的銳角三角比之后，它應(yīng)該改成一個(gè)雙向箭頭（即互推關(guān)系）

銳角4的對(duì)邊

確定的銳角A=一個(gè)確定值

銳角力的鄰邊

銳角A；銳角A的銳角三角比（四種比值關(guān)系）

所以

【即學(xué)即練1】AABC中，ZA=30°,下列說法正確的是（）

A.-A的余切值為正B.-A的對(duì)邊與鄰邊之比為走

33

C.15的余弦值gD.的正弦值不確定

【即學(xué)即練2】在此。中，ZABC=90°,AB=3,5。=4,貝1JtanA的值為（）

4433

A.-B.-C.-D.一

5354

【即學(xué)即練3】填空：

tan60。=；cot45°=；sin30°=,cos45°=.

【即學(xué)即練4】滿足tanc=3的銳角。的度數(shù)是.

3

【即學(xué)即練5】在AABC中，ZC=90°,tanB=3,AC=6,那么8C=.

題型1:正切、余切的概念

【典例1].在直角三角形中，各邊的長度都擴(kuò)大到原來的3倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

A.都擴(kuò)大到原來的3倍B.都縮小為原來的3倍

C.都保持原來的數(shù)值不變D.有的變大，有的縮小

【典例2].在R/A43C中，ZC=90°,tanA=3,tanB=

【典例3】.在Rt^ABC中，0C=9O°,AB=13,AC=5,cotB=.

【典例4].已知在AABC中，0C=9O°,AC=3,AB=4,那么tanA=

【典例5】.在R/0ABe中，0C=9O°,那么cotA等于（）

ACACBCBC

A.-----B.-----C.——D.

BCABACAB

題型2：正切、余切的特殊角的三角比的值

【典例6】.在中，ZC=90°,a=2,c=6,求sinA,cosA和tanA的值.

【典例7].計(jì)算：cos245°-----------------+cot30°.cot45°.

2sin600+1

【典例8].計(jì)算:2cos2300-sin300+----------------------

cot300-2sin45°

cot45°

【典例9】.計(jì)算：2cos45°-3tan30°sin60°+---------.

cos60°

【典例10】計(jì)算：-—2sm6°---------4cot30°cos230°.

2sin45+tan45

【典例11].計(jì)算：2cos60°-cot30°+4sm245

tan60-1

題型3：已知正切、余切的特殊角的三角比的值，求該角

【典例12].如果tana=l,那么銳角。=度.

【典例13].在AABC中，若cosA=立，tanB=l,則NC=_。.

2

【典例14].已知銳角。滿足tanQ+25o)=l,則銳用a的度數(shù)為()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【典例15].李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：5/3tan(cr+20°)=l,你猜想銳角a的度數(shù)應(yīng)是()

A.40°B.30°C.20°D.10°

題型4:判斷三角形的形狀

【典例16].EIABC中，EIA、明均為銳角，且(tanA-73)2+|2cosB-1|=0,貝帆ABC的形狀是.

【典例17].在AABC中，若cosA-1+(1-tan2『=。，都是銳角，則AABC是_________三角

形.

題型5：已知一個(gè)銳角三角比的值，求另一個(gè)三角比的值

2

【典例18].在RtAABC中，13c=90°,如果cos!BA=§,那么cotEIA=.

【典例19].在RtAABC中，fflC=9ff,tanA=^,那么co必的值為.

題型6：比較大小關(guān)系

【典例20].下列不等式，成立的是()

A.sin600<sin450<sin30°B.cos60°>cos45°>cos30°

C.tan60°<tan450<tan30°D.cot30°>cot45°>cot60°

【典例21].a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,則它們之間的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

【典例22].已知實(shí)數(shù)〃=tan30。，Z?=sin45。，c=cos60°,則下列說法正確的是()

A.t）>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

【典例23].IBC中，/C=90。，AB=5,BC=3,貝1J（）

A.sinA>cosA且tanA>cosB

B.sinA<cosA,且tanA>cosB

C.sinA>cosA,且tanA<cosB

D.sinA<cosA且tanA<cosB

題型7：銳角三角比之間的關(guān)系及綜合辨析

【典例24].在中，ZC=90°,。、b、c分別為—&、/B、NC的對(duì)邊，下列各式成立的是（）

.a八。4a?b

A.smB=—B.cosB=—C.tanB=—D.tanB=—

ccba

【典例25].團(tuán)ABC中，0C=9O°,下列關(guān)系中正確的是（）

A.tanA=--—B.tanA=--—C.tanAcotB=lD.cotAtanB=l

cotAcotB

【典例26].對(duì)于銳角a,下列等式中成立的是（）

A.sincr=coscr-tancrB.cosa=tanccot。

C.tan=cotcr-sincrD.cota=sinacosa

【典例27].如圖，在AABC中，NC=90。，BC=a,AC=b,AB=c,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

?4a八aQb

A.sinA=—B.cosB=—C.tanA=—D.tanB=—

bc

【典例28].在AABC中，NC=90。，c分別是2A,ZB,NC的對(duì)邊，有下列關(guān)系式：①b=c?cos3；

②Z>=a-tan3；③。=c-sinA；（4）a=fetanB,其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【典例29].嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:

sin27°+sin283°?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°?0.372+0.932=1.0018.

sin29°+sin261°~0.482+0.872=0.9873，

sin37°+sin253°s0.602+0.802=1.0000，

據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角/，若口+/=90。，均有sin^a+sin?6=1.

⑴當(dāng)a=30°,#=60。時(shí)，驗(yàn)證sinZ+sin2P=1是否成立？

(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示RtZXABC給予證明，其中/A所對(duì)的邊為a,N3所對(duì)

的邊為6,斜邊為。；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例；

⑶利用上面的證明方法，直接寫出tan夕與sine,cose之間的關(guān)系.

題型8：用計(jì)算器計(jì)算銳角的三角比

【典例30].已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求其相應(yīng)銳角的度數(shù)：

(1)sinA=0.6275,sin5=0.0547；

(2)cosA=0.6252,cosB=0.1659；

(3)tanA=4.8425,tanB=0.8816.

【典例31].若tanA=0.1890,利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算NA的度數(shù)，下列按鍵順序正確的是()

A.

B.[MFiroirnnnrsiMroiwR

c.roinmMMroiwr^dFiR

D.Mro-immr8-ir9iron[2HdF]R

【典例32].利用數(shù)學(xué)課本上的計(jì)算器計(jì)算;sin52。，正確的按鍵順序是()

A.|2|ab/c|1IX|sin|5[不

B.[1[ab/c|2|sin|5[21

C.1|ab/c|2|sin|5|21

D.ab/c|1|2|sin|5|2|=

【典例33].利用計(jì)算器求值時(shí)，若按鍵順序?yàn)閯t輸出結(jié)果為

[HI[□顯國回卬園區(qū)㈢

[2^dF]BEH回刊|畫]H[Z],則

【典例34].用教材中的計(jì)算器按下列順序依次按鍵：|2ndF||cos|p6~||^||T|^",屏幕上顯示

【典例35].運(yùn)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下

，則計(jì)算器顯示的結(jié)果

是_________

E強(qiáng)化訓(xùn)練

一.選擇題

1.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,則的正切值等于（)

A.AB.3C.旦D.A

3455

2.如果把RtaABC的三邊長度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的四個(gè)三角比的值（)

A.都擴(kuò)大到原來的2倍B.都縮小到原來的工

2

C.都沒有變化D.都不能確定

3.已知在RtZkABC中，NC=90°,AC=3,3C=4,則tanA的值為（）

A.2B.Ac.旦D.A

4355

4.已知在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,那么下列三角比的值是匹的是（)

3

A.sinAB.cosAC.tanAD.cotA

5.在RtZXABC中，ZC=90°,如果NA=a,BC=a,那么AC等于()

A.6zetanaB.〃?cotaC.——-——D.——-——

sinClcosCL

6.已知在Rt^ABC中，ZC=9Q°,AC=3,8c=4,那么下列等式正確的是()

A?A3BA3C.tanA^D-cotA=|

sinA=vcosA=-r

54b4

7.己知在△ABC中，NC=90°,BC=3,AB=5,那么下列結(jié)論正確的是（）

A?A3BA3rA3DA3

A，sinA=—cosA=-JtanA=-D,COtA=-

bbbb

8.在△ABC中，ZC=90°,BC=3AC,則下列各式中正確的是（)

A.sinA=^^-B.cotA=—C.COSB=^2,

D.tanB=3

1033

9.在RtAABC+,ZC=90°，a,b,c分別表示NA,NB,ZC的對(duì)邊，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)

A.a=bcotAB.a=csinAC.---D.b=atanB

cosA

10.以下與tan30°大小相等的是（）

A.cos60°B.cot60°C.cot30°D.tan60°

若cosA=Y2,tan8=J§,則這個(gè)三角形一定是（）

11.在△ABC中，

2

A.直角三角形B.等腰三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形

12.下列各式中正確的個(gè)數(shù)是（）

①co/45。②tan60。=330。③出辿奪30。@tan60^

A.4B.3C.2D.1

二.填空題

13.在△ABC中，ZC=90°,AC=2,8c=3,