第08講相似三角形的性質(zhì)（九大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握相似三角形的性質(zhì)；

2、學(xué)會(huì)解決相似三角形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用；

3、利用相似三角形的性質(zhì)與其他幾何知識(shí)解決問(wèn)題o

02思維導(dǎo)圖

1.相似三角形的性質(zhì)定理1

L2.相似三角形的性質(zhì)定理2

知識(shí)點(diǎn)

J3.相似三角形的性質(zhì)定理3

I4.相似三角形的的應(yīng)用

＜題型1：直接利用相似三角形的性質(zhì)求解

L題型2:已知兩三角形相似，結(jié)合其他幾何知識(shí)求解

「題型3:相似三角形的判定與性質(zhì)一求含平彳談的相似三角形問(wèn)題

＜題型4:相似三角形的判定與性質(zhì)一面積（比）問(wèn)題

題型一—題型5:相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

〈題型6:網(wǎng)格問(wèn)題

、題型7:根據(jù)相似求點(diǎn)的坐標(biāo)

I題型8:動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

I題型9:根據(jù)三角形相似求對(duì)應(yīng)線段成比例

03知識(shí)清單

k_三

一、相似三角形的性質(zhì)

i.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

2.相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

【方法規(guī)律】要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.

如圖2J43,已知AABC^AAiBiCi,頂點(diǎn)A、B、C分別與Ai、Bi、Ci對(duì)應(yīng)，△ABC與△△AiBCi

AD

的相似比為k,AD、AiDi分別是AABC、△AiBiG的角平分線.那么ND的值是否也等于k?為什么?

由已知條件可知△ABD、A1B1D1,有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，于是可推出結(jié)論是肯定的.

推導(dǎo)過(guò)程如下：

VAABC^AA1B1C1，頂點(diǎn)A、B、c分別與Al、Bi、Ci對(duì)應(yīng)，

/B=NB,/BAC=/BiAiG（相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

；AD、A1D1分別是AABC、△AiBQi的角平分線，

即/HAD-IzBAC.ZBtAiD,-）

.?.ZBAD=ZBiAiDi，

在ZkABD與A1B1D1中，

；/BAD-/BAD

???△ABDs^A1B1D1（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）.

ABAD

得一；I八（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），

即\I.'

用類似的方法可以得到，相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比也等于相似比.

3.相似三角形性質(zhì)定理2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

ABBCCA

hABCs"BC，則

CZ'

kA'B^kB'C^kC'A'

由比例性質(zhì)可得:

A'B\B'C\C'A'A'B\B'C\C'A'

A\

4.相似三角形性質(zhì)定理3:相似三角形面積的比等于相似比的平方.

ADDf*。人

bABCshABC，則"=±=』=七分別作出A4BC與的高4c和7TZT，則

AB'B'CCN'

@-BCAD-kB'CkAD'

）△ABC_，__________2二女2

S晨BY-B'C-AD,-B'C-AD'

22

D1d

【方法規(guī)律】相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.

二、相似三角形的應(yīng)用

1.測(cè)量高度

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.

【方法規(guī)律】測(cè)量旗桿的高度的幾種方法:

平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法

2.測(cè)量距離

測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1.如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì),

求出AB的長(zhǎng).

2.如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).

【方法規(guī)律】

1.比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離；

2.太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線.在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于

其對(duì)應(yīng)高的比；

3.視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）；

4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角.

【即學(xué)即練1】如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1:4,那么它們的對(duì)應(yīng)中線的比為（）

A.1:16B.1:2C.1:4D.1：72

【即學(xué)即練2】如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1:2,那么它們的對(duì)應(yīng)面積之比是（）

A.1：72B.1:2C.1:4D.1:6

4An

【即學(xué)即練3】已知在梯形A3CD中，AD//BC,AC交BD于0,若SA8=XSBOC，則”的值為.

9DC

【即學(xué)即練4】如圖，在VABC中，。、E分別是AS、AC上的點(diǎn)，且如果AE:EC=2:3,那

C.4:21D.4:25

【即學(xué)即練5】清朝《數(shù)理精蘊(yùn)》里有一首小詩(shī)《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都開門,

南門直行八里止，腳下有座塔聳立.又出西門二里停，切城角恰見塔形，請(qǐng)問(wèn)諸君能算者，方城每邊長(zhǎng)是

幾？如圖所示，詩(shī)的意思是：有正方形的城池一座，四面城墻的正中有門，從南門口（點(diǎn)。）直行8里有

一塔（點(diǎn)A）,自西門（點(diǎn)E）直行2里至點(diǎn)B,切城角（點(diǎn)C）也可以看見塔，問(wèn)這座方城每面城墻的長(zhǎng)

是_里.

2

04題型精講

題型1:直接利用相似三角形的性質(zhì)求解

【典例11如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比是4:9,那么它們的周長(zhǎng)之比等于.

【典例2].如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于1:3,那么它們的面積的比等于.

【典例3].如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2:3,那么這兩個(gè)三角形的面積比為一.

【典例4].若兩個(gè)相似三角形的面積比為1:3,則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為.

【典例5].如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：9,那么這兩個(gè)三角形一組對(duì)邊上的中線之比為一

【典例6].已知：AABC^AAB'C,若AB=2,ABr=4,則ABC與*A?C'的相似比為—，它們的

面積比為.

【典例7].如果兩個(gè)相似三角形的最大邊上的中線長(zhǎng)分別是5cm和2cm,它們周長(zhǎng)的差是60cm,那么這

兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為.

【典例8].已知，ABC的三邊長(zhǎng)分別為2、3、4,.DEF與ABC相似，且/周長(zhǎng)為54,那么乩見尸的

最短邊的長(zhǎng)是.

題型2：已知兩三角形相似，結(jié)合其他幾何知識(shí)求解

【典例9].已知在中，ZC=90°,AC=A/3,BC=2,如果與4ABe相似，且」）EF兩條邊的長(zhǎng)

分別為4和2A/7,那么_DEF第三條邊的長(zhǎng)為.

【典例101如圖，已知點(diǎn)E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且相似比為1:3,AG，3c交

DE于點(diǎn)F,則AF:AG=.

【典例11].如圖，4x4方格中的△ABCS/XEFD,貝I]相似比為().

【典例12].已知ABCABC-422c2，—ABC與△44G的相似比為:，ABC與△4鳥算?的相似比

為：，那么444a與2G的相似比為.

【典例13].如圖，已知.‘ABCsACZ).

⑴若。平分NACB,ZACD=35°,求1ADC的度數(shù)；

(2)若AT>=3,BD=5,求AC的長(zhǎng).

【典例14].在ABC中，BC=而，點(diǎn)。是邊BC上的一點(diǎn)，線段AD將ABC分成兩個(gè)小三角形，如果

這兩個(gè)小三角形是相似三角形，且相似系數(shù)等于2,那么線段AD的長(zhǎng)是.

題型3：相似三角形的判定與性質(zhì)一求含平行線的相似三角形問(wèn)題

DE

【典例15].如圖，在ABC中，D,E分別在邊AB,3c上，DE//AC.若AD=2,BD=4,則的值

為________

【典例16].如圖，A3,8相交于點(diǎn)O,0c=2,。。=3,AC〃皮)，跖是的中位線.若即=3,則AC

的長(zhǎng)為.

A173

【典例17].如圖，在YABCD中，E是AD上一點(diǎn)，—=<,的的延長(zhǎng)線與。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)品

ED2

DE2

【典例18].如圖，在YABCD中，EF//AB,—=-,EF=4,則CD的長(zhǎng)為（）

EA3

A.—B.8C.10D.16

3

題型4：相似三角形的判定與性質(zhì)一面積（比）問(wèn)題綜合

【典例19].如圖，在ABC中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，則[=（）

3四邊形D5CE

【典例20】.如圖,在平行四邊形A8CE）中，如果點(diǎn)M為的中點(diǎn)，若已知S"=3,那么S的等于（）

【典例21].如圖，ABC中，點(diǎn)。、E分別在AB、AC上，DE//BC,43:08=1:2,則DOE與4OC

的面積的比為.

A

【典例22].如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD//BC,自迪="，則沁=

21CD

【典例23].如圖，在」ABC中，D,尸是的三等分點(diǎn)，DE〃FG〃BC.

（2）S^ADE?^AAFG?^Z\ABC=-

【典例24].如圖，點(diǎn)G是ABC的重心，BG的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)G作GE〃3C,交AC于點(diǎn)E,

【典例25].如圖，在ABC中，NACB=90。,4c=3,3C=6,CO是邊A3上的中線，G為ABC的重心,

過(guò)點(diǎn)G作GNBC交AB于點(diǎn)、N,那么3OGN的面積是.

BC

題型5：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

【典例26].如圖，河對(duì)岸有一燈桿A2,在燈光下，小明在點(diǎn)。處測(cè)得自己的影長(zhǎng)上=3m,沿BD方向

前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)尸處測(cè)得自己的影長(zhǎng)/G=4m.已知小明的身高為1.6m,則燈桿AB的高度是.

【典例27].圖①是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖②是它的側(cè)面示意圖，AD和CB相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

A、3之間的距離為L(zhǎng)2米，CD,根據(jù)圖②中的數(shù)據(jù)可得C、D之間的距離為米.

【典例28】.如圖是一個(gè)零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm,為求出它的厚度x,現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗

（AC和的長(zhǎng)相等）去測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB.如果要=空=[且量得C。的長(zhǎng)是3cm,那么零件

OAOB3

的厚度X是cm.

----10cm--->1

題型6：網(wǎng)格問(wèn)題

【典例291如圖，在5x6的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求在方格紙上畫格點(diǎn)三角形（各

頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）.

⑴在圖1中畫出LBEF,使它由_ABC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到；

（2）在圖2中找到格點(diǎn)M,N,使得.BMN與ABC相似，且相似比為形：L

【典例30].如圖在4x1的方格中，每一個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以其中三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為

格點(diǎn)三角形，△ABC就是一個(gè)格點(diǎn)三角形，現(xiàn)從.ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中選取兩個(gè)格點(diǎn)，再?gòu)挠嘞碌母顸c(diǎn)中選取

一個(gè)格點(diǎn)聯(lián)結(jié)成格點(diǎn)三角形，其中與ABC相似的有（）

C

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【典例311如圖，在由小正方形組成的方格紙中，.ABC和尸的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABCSAEDP,

則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為（）

A.點(diǎn)片B.點(diǎn)￡C.點(diǎn)乙D.點(diǎn)1

題型7：根據(jù)相似求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例32].在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（6,0）,3（。,8）,點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)。在無(wú)軸上，當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

時(shí)，使得

b

【典例33].已知點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)B（b,0）（b>2）,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為若△POA

和^PAB相似，則符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為.

題型8：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（分類討論；求參數(shù)范圍）

【典例34].如圖，在一ABC中，AB=AC=8,3C=6,點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)以1個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/s的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng).當(dāng)以8,P,。為頂點(diǎn)的三角形與"C相似時(shí)，運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為（）

勿

A.—24sB,-9sC.2蘭4s或己9sD,以上均不對(duì)

115115

【典例35].如圖，在直角梯形A3CD中，AD//BC,NABC=90。，AB=7,AD=3,BC=4,點(diǎn)尸為AB

邊上一動(dòng)點(diǎn)，若PAD與P3C是相似三角形，則滿足條件的AP=.

【典例36].如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=m(m>2),點(diǎn)E在AD邊上，DE=1,過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB

交BC于點(diǎn)尸，若線段跖上存在3個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得與相似，則機(jī)的取值范圍為____.

題型9：根據(jù)三角形相似求對(duì)應(yīng)線段成比例

【典例37].如圖，ABC中，AB<AC,^AB,AC上分別截取DE,BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R

證明：ABDF^ACEF.

【典例38].如圖，E為平行四邊形ABCD的邊CO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接3E.交AC于。，交AO于尸.

求證：BO2=OE.OF.

【典例39].如圖①，在Rt_ABC中，AC=BC,ZACB=90。，點(diǎn)。為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD,過(guò)點(diǎn)

C作CELAD于點(diǎn)片交AB于點(diǎn)￡,連接DE.

(1)^AE=2BE,求證：AF=2CF；

BF

（2）如圖②，若AB=拒,DELBC,求寫的值.

AE

2

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比是1:2,那么它們的周長(zhǎng)比是（）

A.1:2B.1:4

C.1：72D.2:1

2.已知兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為72。,63。，則另一個(gè)三角形的最小內(nèi)角為（）

A.72°B.63°C.45°D.不能確定

3.已知VABC與一DEF相似，且NA=ND,那么下列結(jié)論中，一定成立的是（）

ABAC4/?

A.ZB=ZEB.C.相似比為差D.相似比為高三

DEDFDEEF

如圖，?OABs?）CD,OA：。。=：

4.32,△043與40CD的面積分別是S與S2,周長(zhǎng)分別是。與C2,

則下列說(shuō)法正確的是（)

5\__3OB3OA3

A=B.C.D.

-fi2CD20D2

5.如圖，點(diǎn)尸時(shí)平行四邊形"CD的邊8上一點(diǎn)，直線所交AD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)石，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

）

EDDFDEEFBCBFBFBC

B.D.

BC~FBDE~BEBEAE

6.如圖在△ABC中，AO是BC邊上的高線，BD=1,DC=3,過(guò)點(diǎn)A作AE〃8C,連接BE交A。，AC于

FG

點(diǎn)F,點(diǎn)G,若BE平分AC,貝!J=7=（）

CrE

7.如圖，已知正方形。跳G的頂點(diǎn)D、E在VABC的邊BC上,點(diǎn)G、尸分別在邊A5、AC上，如果8c=8,

VABC的面積是32,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（）

8.如圖，在RMA3C中，ZACB=90,CD_LA3垂足為￡）,那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AC2BD^BC2AD

B.BC2BD=CD2AB

C.ADBC=ACCD

D.CDBC=ACBD

9.如圖，在“5C中，中線昭。相交于點(diǎn)。，連接9下列結(jié)論:①器《②U③器=器;

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，矩形ABC。中，AB=6,3c=4,對(duì)角線AC、2。相交于點(diǎn)O,CE平分OB,且與A2交于點(diǎn)E.若

尸為CE中點(diǎn)，則ABE尸的周長(zhǎng)是（）

C.26+2D.6

二、填空題

11.已知VA3CS_A8C‘，它們的面積比為9:4,則對(duì)應(yīng)角的角平分線的比等于.

12.如果44BC的三邊長(zhǎng)分別是3、4、5,與其相似的ADEF的最長(zhǎng)邊為15,那么ADEF的周長(zhǎng)是.

13.如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊C3延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，A3與DE相交于點(diǎn)E若8E=2,BC=3,CD=4,

則BF=.

14.一個(gè)三角形框架模型的邊長(zhǎng)分別為3分米、4分米和5分米，木工要以一根長(zhǎng)6分米的木條為一邊，做

與模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面積最大的是一平方分米.

15.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,對(duì)角線AC,2D交于點(diǎn)。，已知黃^=5，則三幽=_____.

?BCDZ）BCD

D

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4.點(diǎn)H、尸分別在邊AD、BC上,，點(diǎn)E、G在對(duì)角線AC上.如

果四邊形ER勿是菱形，那么線段的長(zhǎng)為.

17.如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)C、。在雙曲線y=，（尤＞0）上，A（-l,0）,B（0,-2）,AD與V軸交于

點(diǎn)、E,若，ABE與四邊形BCDE的面積比為1:5,則上的值為.

18.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2百，點(diǎn)E是C￡＞的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)尸是AD上一點(diǎn)，連接BF

分別交AC,AE于點(diǎn)G,H,且班'_LAE,連接MH,則M/=.

三、解答題

19.如圖，在△ABC和△中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=ZD.若△ABC的邊BC上的高為6,面積為

1275,求△OEF的邊EF上的高和面積.

20.如圖，在VABC和JJEF中，G,H分別是邊BC和族的中點(diǎn)，已知AB=2DE,AC=2DF/BAC=ZEDF.

(1)中線AG與?！ǖ谋仁嵌嗌伲?/p>

(2)VA3c與1)￡戶的面積比是多少？

21.如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)尸，在近岸取點(diǎn)。和S,使點(diǎn)尸、。、S在一條

直線上，且直線PS與河垂直，在過(guò)點(diǎn)S且與直線尸S垂直的直線。上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,尸7與過(guò)點(diǎn)。且與PS

垂直的直線。的交點(diǎn)為艮如果QS=60m,Sr=120m,QR=80m,求尸。的長(zhǎng).

22.如圖，在VABC中，點(diǎn)。，E分別在邊和AC上，且DE〃5C.

(1)若AD:D3=1:1,則Sg：S四邊形DBCE等于多少？

(2)若S皿,=5四邊形DBCE，則DE：8C,各等