第07講相似三角形的判定（第2課時(shí)）（九大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握相似三角形的判定定理3及證明；

2、判斷網(wǎng)格中的相似三角形；

3、了解直角三角形相似的判定定理；掌握相似三角形

判定定理綜合。

02I思維導(dǎo)圖

1.相似三角形判定定理3

知識(shí)點(diǎn)2.網(wǎng)格中相似三角形的判定

3.直角三角形相似的判定定理

＜題型1：三邊對(duì)應(yīng)成比例證兩三角形相似

廣題型2:網(wǎng)格中相似三角形的判定

（題型3：直角三角形中相似三角形的判定

＜題型4:相似三角形的判定綜合辨析

題型一—題型5:尺規(guī)作圖有關(guān)的相似三角形判定

、題型6:“手拉手”等模型中的相似三角形的判定

（題型7:添加一個(gè)條件使三角形相似

（題型8:相似三角形的對(duì)數(shù)

I題型9:相似三角形的判定一分類討論動(dòng)點(diǎn)問題

03知識(shí)清單

1.相似三角形判定定理3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三

角形相似.（簡述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）

在AABC與AAiBiCi中，如果=0_,那么△ABC與△AiBiCi相似嗎?為什么？

Ai

圖24—37

證明如Ft

如圖2437?在射線/H，上鼓取A從二A8r任射線八Chtt

取AC=AC-聯(lián)結(jié)B,G.

AB=AC

.AB：AC.,

將8式；〃3r（三角形一邊的▼行線判定q

HC瑞平行j

體形一邊的直線件質(zhì)定理推論）?

B.(*.

△A"("ZVUJ?,(相似$形整備定理).

△WsZSABC.

【方法規(guī)律】要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直

角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

2.網(wǎng)格中相似三角形的判定

例如圖甲，小正方形的邊長均為1,則乙圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是哪一個(gè)圖形？

甲乙

解：由甲圖可知AC=y仔+仔二巾,BC=2,AB=^12+33=V1O-

同理，圖①中，三角形的三邊長分別為1,小，2小;

同理，圖②中，三角形的三邊長分別為1,心，小；

同理，圖③中，三角形的三邊長分別為啦，小，3；

同理，圖④中，三角形的三邊長分別為2,小，V13.

..V22V10r-

,1=啦=小K2，

圖②中的三角形與△48C相似.

【方法規(guī)律】（1）各個(gè)圖形中的三角形均為格點(diǎn)三角形，可以根據(jù)勾股定理求出各邊的長，然后根據(jù)三角形

三邊的長度是否對(duì)應(yīng)成比例來判斷兩個(gè)三角形是否相似；（2）判定三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，可以將三角形的三

邊長按大小順序排列，然后分別計(jì)算他們對(duì)應(yīng)邊的比，最后由比值是否相等來確定兩個(gè)三角形是否相似.

3.直角三角形相似的判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一

條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角

形相似）

AJBBC

如圖24-39,在RtAABC與RtAA1B1C1中，ZC=ZQ=90。,.-----=-----,△ABC與^AiBiCi相似嗎?為

A/]BiCi

什么?

a^=鏢=機(jī)則

A?D]b?C?

VZC=90\ZC1=90*.

22

CA=AB-BC\CIAf=AIB;-BlCjt

22

得CA=^(A,Bi-BiCi)=4ClAi.

ACA=M：A|,即M-=A.

(?a

在△ABC與△A&C中?

AH_BC_CA

硒_曬一口，

A△ABCsZSAK；

【即學(xué)即練11下列條件，能使VABC和aa與G相似的是()

A.AB=2.5,BC=2,AC=3;A.BX=3,耳￡=4,=6

,9

B.AB=2,BC=3,AC=4;4耳=3,BXCX=6,AG=—

C.帥=10,3。=4?=8；44=詬3。1=4。1=若

D.AB=l,BC=y/5,AC=3,AlBl=715,^6；=2^,AG=#

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷.

4D755RR21

【解析】解：A、-=—=—=-=不能使448。和444G相似，錯(cuò)誤;

44jo4L

4323c32AC42

B、麗一§一而一9一§一而一5一3,能使448。和4相似，正確；

2

AB105-\/6BC88\/57卬/士”“c》工口4o廠4?口人"七+P、口

C、丁R=F=~^~^~^K=F=F7，不能使448。和4A51G相似，錯(cuò)識(shí)；

44,634G，55

D、罷=4=4工會(huì)=/，不能使/力BC和△相似，錯(cuò)誤；

,yO。4，2\3

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定.識(shí)別三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出三角形

的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

【即學(xué)即練2】如圖中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？

【答案】（1）相似，因?yàn)槿叧杀壤唬?）相似，因?yàn)閮蛇叧杀壤瑠A角相等.

【分析】（1）先標(biāo)字母，再按大小順序?qū)?yīng)求出兩邊的比值，根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可；

（2）先求兩對(duì)應(yīng)邊的比值，可得兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角為對(duì)頂角，根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即

可.

【解析】解：（1）相似,理由如下：

標(biāo)字母如圖，

..AB15_5AC20_5BC25_5

'DE-27-9，DF_36-9'_45

.ABAC_BC

：.VABCJDEF；

（2）相似，理由如下：

..AC_54_3BC_45_3

,EC-36-2；Bc-30-2,

.ACBC

??一，

ECDC

又：ZACB=ZECD,

：.7ABCs_EFD.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練3】如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)（DE不平行BC）,若使AADE與AABC

相似，則需要添加—即可（只需添加一個(gè)條件）.

A

BC

【答案】NADE=NC

【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個(gè)角相等的三角形相似；夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相

似，即可解題.

【解析】.../A是公共角，

如果NADE=NC,

AADE^AABC,

故答案為NADE=/C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①有兩組角對(duì)應(yīng)

相等的三角形相似，②三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，③兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形

相似.

【即學(xué)即練4】如圖，/ACB=4DC=Rt/,我們知道圖中兩個(gè)直角三角形不一定會(huì)相似.請(qǐng)你添加一個(gè)

條件，使這兩個(gè)直角三角形一定相似，你認(rèn)為該添加的一個(gè)條件是.

【答案】NA=NCBD（答案不唯一）

【分析】利用相似三角形的判定可求解.

【解析】解：添加

?/=/CBA,ZACB=ZBDC=RtZ,

AACBs^BDC,

故答案為：ZA=ZCBA（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練5】如圖，VABC和ERD的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則VABC與一ETO相似嗎？請(qǐng)說明

理由.

B

【答案】—ABC一跳D理由見解析

【分析】利用勾股定理求出網(wǎng)格中三角形的邊長，再證明兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例即可得到結(jié)論.

【解析】解：相似，理由如下：

設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長均為L

根據(jù)勾股定理，得AB=y[5,AC=2后,BC=5,EF=叵,DE=2叵,DF=M,

.ABACBCA/5

,,百一瓦一而一萬

:_ABC~_EFD.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三邊對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.

題型精講

題型1:三邊對(duì)應(yīng)成比例證兩三角形相似

【典例1].如圖中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？

【答案】（1）相似，因?yàn)槿叧杀壤唬?）相似，因?yàn)閮蛇叧杀壤?，夾角相等.

【分析】（1）先標(biāo)字母，再按大小順序?qū)?yīng)求出兩邊的比值，根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可；

（2）先求兩對(duì)應(yīng)邊的比值，可得兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角為對(duì)頂角，根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即

可.

【解析】解：（1）相似，理由如下：

標(biāo)字母如圖，

..AB155AC205BC255

'DE-27-9，DF-36-9'EF"45-9；

.ABAC_BC

*DE-DF-￡F

「?ABCsj)EF；

（2）相似，理由如下：

..AC543BC453

'EC-36-2，DC-30-2,

.ACBC

**EC-DCJ

又丁NACB=NECD,

；?ABCs/\EFD.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

【典例2].如圖，每組中的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？

【答案】（1）不相似，理由見解析；（2）相似，理由見解析.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：(1)不相似，理由如下：

..AB_5_oAC7BC105

*DE_25"，而一二，EF--6-3

.ABACBC

??ww—,

DEDFEF

二，ABC與-Z)所不相似；

(2)相似，理由如下：

..AB_6_AC_4_

EF3DE2DF3.5

.ABACBC

**EF-DE-DF?

：?ABCsAEFD.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.

【典例3]..ABC和，符合下列條件，其中使ABC與，不相似的是（）

A.ZA=ZA'=45。,4=26。,々'=109。

B.AB=1,AC=1.5,BC=2,Ab=12,AC=8,BC=16

153

C.ZA=N5'，AB=1.5,AC=—,ArBf=~,BrC=2.1

142

D.BC=a,AC=b,AB=c,BrC=4a,A!C=&,AE=&

【答案】D

【分析】依據(jù)選項(xiàng)提供條件，選擇對(duì)應(yīng)的方法進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：A、???/A=NA=45°,4=26。，4=109。，

JZC=180°-ZA-ZB=109°,

JZC=ZBf=109°,

：.AABC^AACBr,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、VAB=lfAC=1.5,BC=2,A9=12,AC'=8,9C=16,

.ABACB'C'

>?------=------=------=o

ACABBC

???AABC^AAC,B,,故此選項(xiàng)不符合題意;

153

C、VAB=1.5,AC=—,A!B'=~,'=2.1,

142

:?空=*.4,

ACArBr

又??Z=ZB'，

J.NABC^NKCA!,故此選項(xiàng)不符合題意;

D、三邊對(duì)應(yīng)比例不相等，故兩個(gè)三角形不相似，故此選項(xiàng)符合題意;

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角

形的判定條件.

題型2：網(wǎng)格中的相似三角形判定

【典例4].如圖，ABC與；EFG相似嗎？為什么？

【分析】根據(jù)網(wǎng)格求出三角形的邊長，根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似即可得出結(jié)論.

【解析】解:AABC與AEFG相似，理由是：

設(shè)小正方形的邊長為1,則AC=5,AB=712+32=y/10'BC=在+22=小,EF=2,GF=由工=舊

EG=+3久=回,

..AC5VlOBCA/5A/10ABVlO

EG-V10-2'FG~2'~EF~^T

.AC_BC_AB

"￡G-FG-EF）

△ABCs^EFG.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似.

【典例5].如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（）

①②③

A.①和②B.②和③

C.①和③D,無法確定

【答案】C

【分析】此題考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解決此題的關(guān)鍵.

根據(jù)兩三角形相似的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，即可解答.

【解析】解：設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1,

①中的三角形的各邊長分別為2,夜，而，

③中的三角形的各邊長分別為2a，2,2亞,

2

’2拒一2一2⑹

這兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例

..?①中的三角形和③中的三角形相似,

故選C.

【典例6].如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長均為1,則下列4、夙C、。四個(gè)圖中的3三角形（陰影部分）

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定，易得出&EFG的三邊的邊長，故只需分別

求出各選項(xiàng)中三角形的邊長，分析兩三角形對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可.

【解析】解：：小正方形的邊長為1,

.,.在.EFG中，EG=母,FG=2,EF=Vl2+32=710>

A.三邊各為：3,0,M轉(zhuǎn)=若與中的三邊不能對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似；

B.三邊各為：1,2母,戶展二君與^燈心中的三邊不能對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似；

C.三邊各為：1,正與二跖G中的三邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似；

D.三邊各為：2,712+22=75-疔S=J將與一EFG中的三邊不能對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似.

故選：C.

【典例7].如圖，在由相同的小正方形組成的4x8的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C,D、E、F,G都在小正方

形頂點(diǎn)上，則圖中能用字母表示（不再添加輔助線）的三角形中，與』）FG相似的三角形的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，相似三角形的判定；根據(jù)勾股定理求得/由G各邊長，且

NO7G=135。，根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行判斷，即可求解.

【解析】解：根據(jù)圖形可得NDPG=135。，DFf,FG=2,

ZEDF=135°,ED=1,DF=正

DE_DF1

—=ZDFG=ZEDF,

DF~

_DFGS_EDF,

ZABC=135°,BC=20,A5=4,

BC_AB

-,ZDFG=ZCBA,

DF~FG2

DFG^CBA,

CG=y/5,DG=y/10,DC=5,DF=@FG=2,DG=^^

CGDGDCA/10

DF~FG~DG~2

DFG^CGD

綜上所述，與.DFG相似的三角形的個(gè)數(shù)是3個(gè),

故選：B.

題型3：直角三角形中相似三角形的判定

【典例8】.在Rt_ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6.在應(yīng)匹匹中，ZF=90°,DF=3,EF=4,貝U

和」即F相似嗎？為什么？

【答案】.ABC~EDF.理由見解析.

【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出AC、DE的長，再利用相似三角形的判定方法得出答案.

【解析】解：相似，理由如下：

在中，ZC=90°,AB=10,BC=6,由勾股定理得AC=8.

在RtEE不中，NF=90°,DF=3,EF=4,由勾股定理得ED=5.

yBC6,AC8,AB10.

DF3EF4ED5

.BCACAB

…而一定一訪‘

:?ABCrEDF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

【典例9].在AABC與A4131G中，AB=6,BC=8,AC=10,4月=9,BXCX=U,\CX=15,試問AABC

與AA4G相似嗎？請(qǐng)說明理由.

【答案】相似.理由見解析.

ABBCAC

【分析】根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；證丁丁=五方=二K,

444cl

【解析】相似.理由如下:

..AB_6_2

?4^-9-3J

BC82AC102

3J-3?

.ABBCAC

**-AG,

/.AA3cs兒413G.

【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定方法：(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相

交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

(3)兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

(4)兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

【典例10].如圖，已知N3=NE=90o,AB=6,B尸=3,Cy=5,DE=15,Ob=25.求證：^ABC^/\DEF.

【分析】利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，即可得到，ABCs,DEF；

【解析】證明：ZB=90°,AB=6,BF=3,CF=5,

BC=BF+FC=3+5=8,AC=V62+82=10

在AABC中，AB:BC:AC=6:8:10=3:4:5

NE=90°,DE=15,DF=25,

EF=^DF2-DE2=V252-152=20,

在,DEF中，龐：爐：加=15:20:25=3:4:5

在小ABC和4DEF中，三邊對(duì)應(yīng)成比例，

:.AABCsADEF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，熟悉運(yùn)用相似三角形

的判定與性質(zhì)即可進(jìn)行證明.

【典例111如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CD=4DF,連接EF、BE.求

證：ABEsDEF

E

B

【答案】見解析

【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等進(jìn)行證明即可.

【解析】證明：設(shè)AB=4,

在正方形ABCD中,

AB=AD=CD=4,ZA=ZD=9Q0

...DF=1,AE=ED=2,

.AE—DF1

AB-ED-2?

ABEsDEF.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，要熟練掌握，根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用.

【典例12].已知：A5c和一AB'C中，A。、AD分別為與A8C的高線，且坐；=黑=當(dāng)；.求

ABBCAD

【答案】見解析.

【分析】在R3ABD與RtAABD中，由直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例得到△ABD^AA'B'D',所以NB=NB\

再根據(jù)兩組對(duì)邊成比例且夾角相等，判定△ABC^AA'B'C.

【解析】證明：在RtAABD與R3AED中，

..ABAD

'A57"AD7'

AABD^AA'B'D',

ZB=ZB，

ABBC

又行二記’

.—ABCs_A'B'C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解決此類問題的關(guān)鍵.

題型4：相似三角形的判定綜合辨析

AD

【典例13】.如圖，在，ABC與"叱中，皿A"分別為邊BC、4上的中線，且黑=黑，A。,.求

證：ABCsA?c.

【答案】見解析.

［分析］根據(jù)二國===中可得F7===F7,則可證明&ABD-AA'B'D',即可推出ZB=ZB'，

ABBCADABDDAD

再根據(jù)/

2則可證明一ABCsA'B'C'.

A'B'B'C

AfiBCAD

【解析】解一..而=市=而，AD.AD分別為邊3C、3'C'上的中線,

.ABBDAD

A7^7"BTT-A'D'

：.AABDs￡\AB'D'

?*-ZB=ZB.

又..AB_BC

'A'B'~B'C

.??一ABCs^A'B'C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且

夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

【典例14],下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似

（2）斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似

（3）兩個(gè)等邊三角形一定相似

（4）任意兩個(gè)矩形一定相似

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用相似三角形的判定定理對(duì)前三個(gè)命題進(jìn)行判定，根據(jù)相似圖形的定義對(duì)第四個(gè)命題進(jìn)行判定

即可.

【解析】解：（1）有一個(gè)銳角相等，再加上一個(gè)直角相等可以利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似判定相似，

故（1）正確；

（2）斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例滿足直角三角形有一直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；故（2）

正確；

（3）兩個(gè)等邊三角形滿足三邊對(duì)應(yīng)成比例，能判定相似，故（3）正確；

（4）任意的兩個(gè)矩形滿足對(duì)應(yīng)角相等但不一定滿足對(duì)應(yīng)邊的比相等，故不一定相似，故（4）錯(cuò)誤；

故正確命題有（1）（2）（3）一共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及相似多邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理及

相似多邊形的定義.

ArRCARAC

【典例15].如圖，N1=N2,添加一個(gè)條件：①NC=NE；②ZB=ZADE；③不;=大;；^=不；.其

AEDEADAE

中能判定△"CsaADE的是（）.

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本題考查的是相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理“兩角分別對(duì)應(yīng)相

等，兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似”，

先根據(jù)N1=N2,得出=再由相似三角形的判定定理對(duì)各項(xiàng)逐一判斷即可.

【解析】解：Z1=Z2,:.ZBAC=ZDAE,

①添加NC=NE,則ABCADE,本項(xiàng)符合題意；

②添加=貝IJ.ABCADE,本項(xiàng)符合題意；

③添加生=差；無法判斷一ABCADE,本項(xiàng)不合題意；

AEDE

AR

④添加茄=法；虬.小本項(xiàng)符合題意;

故選：B.

【典例16].如圖，正方形ABC。中，E是CD的中點(diǎn)，尸是邊上的一點(diǎn)，下列條件中，不能推出一AB尸

與△￡1[?相似的是（）

A.ZAPB=ZEPCB.ZAPE=90C.尸是BC的中點(diǎn)

D.BP:BC=2:3

【答案】C

【分析】利用兩三角形相似的判定定理逐一判斷即可.

【解析】A.NAPB=NEPC,根據(jù)正方形性質(zhì)得到NB=NC,可以得到AABPs△ECP,不合題意；

B.NAPE=90°,根據(jù)正方形性質(zhì)得至IJNB=NC,根據(jù)同角的余角相等，得到NAPF=/PEC,從而有

PCE,不合題意；

C.P是BC的中點(diǎn)，無法判斷ZVW尸與△ECP相似，符合題意；

D.BP:BC=2:3,根據(jù)正方形性質(zhì)得到AB:3P=EC:PC=3:2,又:/B=/C,則AABPsAECp,不

合題意.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

An1

【典例17].如圖，在正三角形ABC中，點(diǎn)。、E分別在AC、上，且二;=1，AE=BE,那么有（）

21C-XJ

A.△AED^/\BEDB.Z\BAD^/\BCD

C.Z\AEDABDD./\AED^/\CBD

【答案】D

【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可判定△曲

【解析】解：???AD：AC=1：3,

AD:DC=1:2,

???AABC是正三角形，

:.AB=BC=AC,

,:AE=BE,

：.AE:BC=AE:AB=1:2,

：.AD:DC=AE:BC,

?.?NA=NC=60。，

JAAEDs^CBD,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查

了等邊三角形的性質(zhì).

【典例18].如圖，下列條件能使△BPE和△。尸。相似的有（）

ADAEof八/…八不ADAE冷PEBP

①/”;②就---；@XADB=XAEC；④-----=-----；⑤----=

ABABACPDPC

3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷①；根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明

ABDACE,可得NB=NC,進(jìn)而判斷④，即可說明②；根據(jù)平角定義得NCDF=NB￡P(guān),再結(jié)合“兩角

相等的兩個(gè)三角形相似”判斷③即可；最后根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷⑤即可.

【解析】VZB=ZC,ZBPE=NCPD,

???NBPE:NCPD，

所以①符合題意;

ADAE

VZA=ZA,

AB-AC?

:.ABDACE,

:.ZB=NC.

,:ZBPE=NCPD,

：.NBPE:NCPD，

所以④符合題意，②不符合題意;

：

?ZADB=ZAEC9

：.ZCDP=ZBEP.

丁ZBPE=ZCPD,

：.NBPE:NCPD，

所以③符合題意;

PEBP

,:ZBPE=NCPD,

PDPC

：.NBPE:NCPD，

所以⑤符合題意.

則符合題意的有4個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵.

題型5：尺規(guī)作圖有關(guān)的相似三角形判定

【典例19].如圖，在ABC中，平分/ABC,按如下步驟作圖：分別以點(diǎn)B,。為圓心，以大于;M

的長為半徑在8。兩側(cè)作弧，分別交于兩點(diǎn)M，N；作直線MN分別與AB,AC交于點(diǎn)E,R交BD于點(diǎn)0,

連按。E,。尸.根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）

A.ED是..ABC的中位線B.點(diǎn)。為ABC的重心

C.DE=CFD.DFC^tAED

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、相似三角形的判定、平行線分線段成比例

等知識(shí)，本題中根據(jù)作圖方法判斷出是線段8。的垂直平分線”是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)作法得到“N是線段班）的垂直平分線，則=BF=DF,所以/EBD=NEDB,再結(jié)合

NEBD=NCBD可得NEDB=NCBD,則同理DF〃4B,所以NC=NADE,NFDC=NA即

DFCsAED,據(jù)此即可解答.

【解析】解：根據(jù)作法可知：“N是線段3。的垂直平分線，

/.BE=DE,BF=DF,

：.ZEBD^ZEDB,

平分/ABC,

NEBD=NCBD,

：.NEDB=NCBD,

：.DE//BC,同理：DF//AB,

：.ZC=/ADE,ZFDC=ZA,

：..DFC^AED,即。選項(xiàng)一定成立，符合題意；

?.,DE〃BC,但點(diǎn)E不一定是A3的中點(diǎn)，則ED不一定是aABC的中位線，故A選項(xiàng)不符合題意；

3。平分/ABC,二重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，故8選項(xiàng)不符合題意；

不能說明點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，故C選項(xiàng)不符合題意.

故選D.

【典例20].如圖，在△ABC中，ZABC=90°,以點(diǎn)A為圓心，以的長為半徑作弧交AC于點(diǎn)Q,連接

BD,再分別以點(diǎn)8,。為圓心，大于；劭的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP交2c于點(diǎn)E,連接

DE,則下列結(jié)論正確的是（）

A

C

A.垂直平分ACB.AABEs^CBA

C.BD2=BCBED.CEAB=BECA

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖可知AP是，BAC的角平分線，AB=AD,根據(jù)SAS證明,可得EB=￡D,

S-ABBE-ABBE

ZADE=ZABE=90°,根據(jù)面積法可得產(chǎn)=彳-------=j-------，可得嘿=等即可判斷D選項(xiàng)正確,

ACEC

'.AEC-ACDE-ABEC

22

其他選項(xiàng)無法證明.

【解析】解：根據(jù)作圖可知AP是/BAC的角平分線，AB=AD,

ZEAB=ZEAD,

在，A8后與VAD￡中，

AE=AE

<NEAB=NEAD,

AB=AD

??一ABE鄉(xiāng)&ADE,

EB=ED,

ZABC=9Q0,

??.ZADE=ZABE=90°,

BELAB,ED上C,

-ABBE-ABBE

..3cABE_2_2

、AEC-ACDE-ABEC

22

.AB_BE

'AC-EC?

A,B,C選項(xiàng)無法證明.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積公式，證明兩三角形相似，垂直

平分線的性質(zhì)，理解基本作圖是解題的關(guān)鍵.

【典例21].請(qǐng)用直尺，圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.已知在1MBe中，ZC=2ZA.

在的延長線上有一點(diǎn)D,連接AD,使得NC4D=/BAC（尺規(guī)作圖）;

⑵在（1）的情況下，求證：,ABCDBA.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問題.

（1）在AC的右側(cè)作=連接AG交的延長線上有點(diǎn)。即可；

（2）根據(jù)已知條件得到ZACB=ZDAB即可證明.ABC^_DBA.

【解析】（1）解：以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,再以點(diǎn)尸為圓心，以

所長度為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G,連接AG交BC的延長線上有點(diǎn)。，如圖，則/C4D=/BAC.

證明：如上圖，

,/ZACB=2ABAC,ACAD=ABAC,

ZACB=ZDAB,

在，ABC和DBA中，ZACB=Z.DAB,ZB=ZB,

：.^ABC^DBA.

題型6：“手拉手”等特殊模型中的相似三角形判定

【典例22].如圖，在四邊形A3OC中，不等長的兩對(duì)角線A。、BC相交于。點(diǎn)，且將四邊形分成

甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形.若OA：OB=OC-.00=2：3,則此四個(gè)三角形的關(guān)系，下列敘述正確的是（）

B

A

D

A.甲與丙相似，乙與丁相似

B.甲與丙相似，乙與丁不相似

C.甲與丙不相似，乙與丁相似

D.甲與丙不相似，乙與丁不相似

【答案】A

【分析】利用己知條件得到即黑=器，加上對(duì)頂角相等，貝U可判斷△AOBs^c。。；再利用比例性質(zhì)得

AQQC

到一=—，而/AOC=/BOO,所以△AOCS/XBO。.

OBOD

【解析】解：OB=OC：00=2：3,

OAOB

即nn——=——，

OCOD

1^ZAOB=ZCOD,

：.△AOBs^cOD,

..OAOB

,又一而‘

.AO_OC

"~OB~~OD，

"：ZAOC^ZBOD,

：.AAOC^ABOD.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.

【典例23].如圖，△A3。與△AEC都是等邊三角形，AB^AC,下列結(jié)論中：?BE=DC-,②NBOD=60。；

③XBODs匕COE.正確的序號(hào)是

【答案】①②

【分析】由兩個(gè)等邊三角形容易證明△DAC絲△區(qū)4E,則可得①正確，同時(shí)有NAOC=NA3E,利用三角形

內(nèi)角和即可得②正確，再由AB^ACRAC=AE,得從而可得NA8與NAE8,則易得NO3(9#N0CE,

從而得③不正確.

【解析】VAABZ),AAEC都是等邊三角形，

：.AD=AB,AE=ACfZDAB=ZCAE=60°,

：.ZDAC=ZBAC+60°,

ZBAE=ZBAC+60°f

：.ZDAC=ZBAE,

：.ADAC^ABAE,

：.BE=DC.

：.ZADC=ZABE,

???ZBOD+ZBDO+NOBO=180。，

???ZBOD=1SO°-ZBDO-ZDBO

=180。-(60°-ZADC)-(60°+ZABE)=60。，

ADAC^ABAE,

???ZADC=NABE,/AEB=NACD,

ZDBO=ZABD+ZABE=60°+ZABE,ZOCE=ZACE+ZACO=60°+ZACD,

*：AE=AC,

：.AB^AEf

：./ABE豐/AEB,

???ZAEB=ZACD,

：.ZABE^ZACDf

：.ZDBO^ZOCEf

???兩個(gè)三角形的最大角不相等，

???△50。不相似》于4COE；

即③不正確；

故答案為：①②.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義

外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，說明③不正確是本題的難點(diǎn)，許多學(xué)生無從下手.

題型7：添加一個(gè)條件使三角形相似

【典例24].如圖，NACB=NBDC=RtN,我們知道圖中兩個(gè)直角三角形不一定會(huì)相似.請(qǐng)你添加一個(gè)條

件，使這兩個(gè)直角三角形一定相似，你認(rèn)為該添加的一個(gè)條件是.

【答案】ZA=ZCBD（答案不唯一）

【分析】利用相似三角形的判定可求解.

【解析】解：添加4=/CBD,

2=NCBA,ZACB=ZBDC=RtZ,

：./\ACB^/\BDC,

故答案為：ZA=ZCBA（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【典例25].如圖，在△ABC中，尸為AB上的一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①②NAPC=NAC&

③AG=AP*8；@AB-CP=AP-CB,添加其中一個(gè)條件能滿足△APC和△AC8相似的條件有種情況.

【答案】3

【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)①②進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)③④進(jìn)行判斷.

【解析】①當(dāng)/ACP=NB,

ZA=ZA,

：.NAPC:VACB,

；?①符合題意；

②當(dāng)NAPC=/ACB,

,?ZA=ZA,

：.NAPC:VACB,

②符合題意；

③當(dāng)AC2=AP?AB,

ACAP

即Hn——=——，

ABAC

'：ZA=ZA

：.NAPC:NACB，

???③符合題意；

PCAP

④：當(dāng)AB?CP=AP?CB,即一=——，

BCAB

而/必C=/CAB,

以上條件不能判斷△人尸。和4ACB相似，

二④不符合題意；

即有①②③這三種情況可得出VAPC:VACB,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組

角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

題型8：相似三角形的對(duì)數(shù)

【典例26].如圖，尸為線段上一點(diǎn)，與BC交于點(diǎn)E,NCPD=NA=NB,BC交PD于點(diǎn)F,AD

交尸。于點(diǎn)G,則圖中相似三角形有對(duì).

【答案】3

【分析】先根據(jù)條件證明△利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，再證明△APOs△尸G。,

進(jìn)而證明再證明時(shí)注意圖形中隱含的相等的角.

【解析】解：ZC=ZC,

APCF^ABCP.

'：ZCPD=ZA,ZD=ZD,

：.△APDsAPGD.

ZCPD=ZA=ZB,ZAPG=ZB+ZC,ZBFP=ZCPD+ZC

：.ZAPG^ZBFP,

：.△APGs^BFP.

則圖中相似三角形有3對(duì)，

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定.識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角

形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

【典例27].如圖，已知矩形ABC。中，點(diǎn)E是邊上的任一點(diǎn)，連接BE,過E作BE的垂線交8C延長

線于點(diǎn)E交邊CD于點(diǎn)P,則圖中共有相似三角形（）

AED

A.6對(duì)B.5對(duì)C.4對(duì)D.3對(duì)

【答案】A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到直角和平行線，利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理判斷即可.

【解析】???四邊形A3CD是矩形，

:.ZEDP=ZFCP=90°f

,：ZEPD=ZFPC,

△EDPs>FCP；

???ZFEB=ZFCP=90°f

VZF=ZF,

/.△FEBs公FCP；

/.△FEBs公EDP；

???四邊形A3CD是矩形，

ZA=ZD=90°,

NBEF=90。,

：.ZAEB+ZDEP=90°,ZAEB+ZABE=90°,

???ZDEP=ZABE,

/.△EDPsxBAE；

.*.△FCPs^BAE；

:?△FEBs^BAE；

共有6對(duì)，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，互余原理，熟練掌握三角形相似的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

題型9：相似三角形的判定一分類討論動(dòng)點(diǎn)問題

【典例28].如圖，在ABC中，AB=Scm,AC=16cm,點(diǎn)P從A出發(fā)，以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)，

同時(shí)點(diǎn)Q從C出發(fā)，以3cm/s的速度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.

（1）用含t的代數(shù)式表示：AP=,

（2）當(dāng)以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少.

【答案】（1）2316-3f（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為一s或4s

7

【分析】（1）利用速度公式求解；

APAn16-

（2）由于NPAQ=NBAC,利用相似三角形的判定，當(dāng)乎時(shí)，△APQsaABC,即工=一一；當(dāng)

ABAC816

ApAnDt16—3/

”；=等時(shí)，△APQs^ACB,即1=上廣，然后分別解方程即可.

ACAB168

【解析】（1）2t,16-3f；

（2）連接PQ,：/24。=/朋一.?.當(dāng)絲=超時(shí)，APQ^ABC,此時(shí)馬=3凸，解得才=3；

ABAC8167

'：ZPAQ=ZBAC,.?.當(dāng)絲=絲時(shí)，APQ^..ACB,此時(shí)0=3二理，解得/=4.

ACAB168

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或4s.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，關(guān)鍵是能

靈活運(yùn)用.

【典例29].如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)