第6章量綱分析與相似原理6.1量綱分析法6.2相似基本原理6.3相似準則6.4相似原理的應(yīng)用

量綱分析和相似原理為科學(xué)的組織實驗及整理實驗成果提供理論指導(dǎo)。對于很多復(fù)雜的流動問題，可借助量綱分析和相似原理來建立物理量之間的聯(lián)系。第6章量綱分析與相似原理

單位（Unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準量成為單位。如長度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚?。量綱(Dimension)：撇開單位的大小，表征物理量的性質(zhì)和類別。如長度量綱為?！百|(zhì)”的表征。§6.1

量綱分析法6.1.1量綱的概念誘導(dǎo)量綱：是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱?；玖烤V：具有獨立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來的量綱叫做基本量綱。不可壓縮流體運動中一般取質(zhì)量M、長度L、時間T為基本量綱。量綱§6.1

量綱分析法量綱公式：在力學(xué)問題中，任何一個物理量的量綱都可以用三個基本量綱的指數(shù)積來表示，若選擇長度、時間

、質(zhì)量為基本量綱，即幾何學(xué)量綱：運動學(xué)量綱：動力學(xué)量綱：分類[][][][]cbaMTLX=§6.1

量綱分析法當(dāng)時，

稱為量綱一的量，數(shù)值大小與量綱所選用的單位無關(guān)。特點：（1）無量綱量的大小與所選單位無關(guān)，具有客觀性；（2）不受運動規(guī)模的影響，模型與原模型常用同一無

量綱數(shù)。量綱一的量兩個同類物理量的比值幾個有量綱物理量組合lhJw=如如§6.1

量綱分析法

6.1.2量綱和諧原理

量綱和諧原理:正確、完整地反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項的量綱都必須是相同的。量綱和諧原理可以用來確定經(jīng)驗公式中系數(shù)的量綱，以及分析經(jīng)驗公式的結(jié)構(gòu)是否合理。例如謝才公式量綱§6.1

量綱分析法

a、一個方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗物

理方程或經(jīng)驗公式的正確性和完整性。b、根據(jù)量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。c、可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。為科學(xué)的組織實

驗過程、整理實驗成果提供理論指導(dǎo)。量綱和諧原理的重要性：§6.1

量綱分析法若某一物理過程包含有等n個物理量，該物理過程一般可表示成如下函數(shù)關(guān)系，即6.1.3量綱分析法及其應(yīng)用

量綱分析法：依據(jù)量綱和諧原理，從量綱的規(guī)律性入手來推求物理量之間的函數(shù)關(guān)系，從而找到物體的運動規(guī)律。1、π定理瑞利法π定理量綱分析法§6.1

量綱分析法可選m個物理量作基本物理量，即(n-m)個無量綱數(shù)此稱為定理。對于均質(zhì)不可壓縮液體運動，一般取,

分別選幾何學(xué)的量(水頭、管徑)，運動學(xué)的量(速度、加速度)和動力學(xué)的量(密度、動力黏滯系數(shù))各一個，作為基本物理量。選取作為基本物理量，則可由分子分母的量綱相等來確定§6.1

量綱分析法(1)確定關(guān)系式：根據(jù)對所研究的現(xiàn)象的認識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式：（2）確定基本量：從n個物理量中選取m個基本物理量，對于不可壓縮液體運動，一般選取。設(shè)為所選的基本物理量，則由量綱公式得：2、定理應(yīng)用§6.1

量綱分析法滿足基本物理量量綱獨立的條件是量綱式中的指數(shù)行列式不等于零，即(3)基本變量依次與其余物理量組成項，即§6.1

量綱分析法（4）滿足為為無量綱項，確定出各項基本物理量的指數(shù)。（5）整理方程，寫出該物理過程的函數(shù)關(guān)系式選擇基本變量的原則：1)基本變量與基本量綱相對應(yīng)。2）選擇基本變量時，應(yīng)選擇重要的變量。3）不能有任何兩個基本變量的量綱是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個?！?.1

量綱分析法原型：天然流體和實際建筑物稱為原型。模型：通常把原型（工程實物）按一定比例關(guān)系縮小

（或放大）代表物，稱為模型。水力學(xué)模型試驗的目的：利用模型流動來模擬和研究原型流動問題。流動相似：若兩個流動的對應(yīng)點上的同名物理量（如速度、壓強及各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個流動就是相似的?！?.2

相似基本原理模型和原型保證流動相似，應(yīng)滿足：幾何相似運動相似動力相似牛頓一般相似原理關(guān)鍵問題：使模型流動和原型流動保持流動相似。§6.2

相似基本原理1、幾何相似指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即兩個流場相應(yīng)的線段長度成比例，相應(yīng)的夾角相等?！?.2

相似基本原理2、運動相似指原型和模型流體運動的速度場相似，即兩流場各相應(yīng)點（包括邊界上各點）的速度及加速度α方向相同，且大小具有同一比值?！?.2

相似基本原理3、動力相似指原型和模型流動相應(yīng)點處質(zhì)點受同性質(zhì)作用，力的方向相同，大小成比例。力的比例尺§6.2

相似基本原理4、牛頓一般相似原理設(shè)作用在液體上外力的合力為，使流動產(chǎn)生的加速度為，液體的質(zhì)量為M，由牛頓第二定律可知，力的比尺也可表示為或?qū)憺闉橐粺o量綱數(shù)，稱牛頓數(shù)，用來表示，即§6.2

相似基本原理表明，兩個流動的動力相似，歸結(jié)為牛頓數(shù)相等。若用比尺表示上式，則

或稱為相似判據(jù)。對于動力相似的流動，其相似判據(jù)為1，或相似流動的牛頓數(shù)相等，這就是牛頓一般相似原理?！?.2

相似基本原理要使流動完全滿足牛頓一般相似原理，就要求兩個流動的牛頓數(shù)相等，也就是要求作用在相應(yīng)點上的各種同名力均有同一的力的比尺。6.3.1重力相似準則當(dāng)作用在液體上的外力主要是重力時，例如流經(jīng)閘、壩的水流，起主導(dǎo)作用的力就是重力。重力可表示為，重力的比尺為：§6.3

相似準則以代替式中的，則有即也可以寫成開方§6.3

相似準則式中的無量綱數(shù)為弗勞德（Froude）數(shù)Fr，則有可知，作用力只有重力時，兩個流動相似系統(tǒng)的弗勞德數(shù)應(yīng)相等，這就叫做重力相似準則，或稱弗勞德準則。在式中，因要做到流動的重力相似，原型與模型之間各物理量的比尺必須遵循弗勞德準則。⑴流速比尺§6.3

相似準則⑵流量比尺⑶時間比尺⑷力的比尺若模型與原型液體相同，，則§6.3

相似準則⑸壓強比尺當(dāng)取時，則⑹功的比尺當(dāng)取時，則⑺功率比尺當(dāng)取時，則§6.3

相似準則6.3.2黏滯力相似準則當(dāng)作用力主要為黏滯力時，例如流動在層流區(qū)，由牛頓內(nèi)摩擦定律得黏滯力表達式為黏滯力的比尺為以代替式中的，則有其中，故，代入上式并整理得§6.3

相似準則式中的無量綱數(shù)為雷諾數(shù)，其中為斷面的特征尺寸，用雷諾數(shù)表示則有這表明，水流處于層流狀態(tài)，黏滯力起主要作用的兩個相似流動，它們的雷諾數(shù)應(yīng)相等，這就叫做黏滯力相似準則，或稱雷諾準則?；颉?.3

相似準則由雷諾準則推導(dǎo)模型與原型各種物理量的比尺與模型比尺的關(guān)系如下：若模型與原型采用同一種液體，則，由式可得⑵流量比尺⑴流速比尺§6.3

相似準則⑶時間比尺⑷力的比尺若模型與原型液體相同，，則⑸壓強比尺當(dāng)取時，則§6.3

相似準則⑹功的比尺當(dāng)取時，則⑺功率比尺當(dāng)取時，則§6.3

相似準則

6.3.3阻力相似準則

當(dāng)流動的主要作用力為阻力，其表達式為因，阻力的比尺為以代替式中的，則有即§6.3

相似準則因為，，所以，將值代入上式，得即表明，要保證原型與模型在阻力作用下流動相似，必須使原型與模型相應(yīng)流段上的沿程阻力系數(shù)相等。當(dāng)流動為粗糙區(qū)紊流時，因，用曼寧公式，由式可得§6.3

相似準則因為，取，則式中的無量綱數(shù)為弗勞德（Froude）數(shù)，則有按重力相似準則設(shè)計模型，要想滿足阻力相似，則必須使得原型和模型相應(yīng)流段上的水力坡度相等，即可見，流動為粗糙區(qū)紊流時，按式選取糙率的比尺，就可實現(xiàn)阻力作用下的流動相似。§6.3

相似準則6.3.4其它相似準則

⒈壓力相似準則當(dāng)作用力主要為壓力時，其表達式為，其中為壓強，為受壓面積，壓力的比尺為以代替式中的，則有§6.3

相似準則即或?qū)憺槭街械臒o量綱數(shù)稱為歐拉數(shù)，用表示，上式也可寫為要使兩個流動的壓力相似，它們的歐拉數(shù)必須相等，這就是壓力相似準則，或稱為歐拉準則。在大多數(shù)流動中，對流動起主要作用的是壓強差，而不是壓強的絕對值，歐拉數(shù)中常以相應(yīng)點的壓強差代替壓強，即§6.3

相似準則⒉彈性力相似準則當(dāng)作用力主要為彈性力時，例如有壓管道中的水擊問題，彈性力表達式，式中為體積彈性模量，彈性力比尺為以代替式中的，則有整理為或§6.3

相似準則式中的無量綱數(shù)稱為柯西數(shù)，用表示，上式也可寫為要使兩個流動的彈性力相似，它們的柯西數(shù)必須相等，這就是彈性力相似準則，或稱為柯西準則。⒊慣性力相似準則當(dāng)作用力主要為慣性力時，例如非恒定流問題，慣性力表達式，式中為質(zhì)量，慣性力比尺為以代替式中的，則有§6.3

相似準則整理為或式中的無量綱數(shù)稱為斯特羅哈數(shù)，用表示，上式也可寫作要使兩個流動的慣性力相似，它們的斯特羅哈數(shù)必須相等，這就是慣性力相似準則，或稱為斯特羅哈準則?！?.3

相似準則⒋表面張力相似準則當(dāng)作用力主要為表面張力時，例如毛細管中的水流，表面張力表達式，式中為單位長度上的表面張力，表面張力比尺為以代替式中的，則有§6.3

相似準則式中的無量綱數(shù)稱為韋伯?dāng)?shù)，用表示，上式也可寫作要使兩個流動的表面張力相似，它們的韋伯?dāng)?shù)必須相等，這就是表面張力相似準則，或稱為韋伯準則?！?.3

相似準則整理為或在一般情況下，忽略水流的表面張力