南京高考模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3},B={x|x^2-4x+3<0},則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<4}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2,a_4=6,則S_7等于（）

A.21

B.28

C.35

D.42

4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為π，則φ的可能取值為（）

A.kπ

B.kπ+π/2

C.kπ+π/4

D.kπ+π/3

5.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,z^2≠-1,則z的平方根有（）個(gè)

A.0

B.1

C.2

D.3

6.已知直線l1:ax+3y-5=0與直線l2:2x-y+4=0平行，則a的值為（）

A.-6

B.6

C.-3

D.3

7.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9,則點(diǎn)P(2,-1)到圓C的最短距離等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為M和m,則M-m等于（）

A.-8

B.-4

C.4

D.8

9.已知三棱錐A-BCD的底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且AD⊥平面ABC,AD=2,則三棱錐A-BCD的體積等于（）

A.√3/6

B.√3/3

C.√2/3

D.√2/6

10.已知某校高三年級(jí)學(xué)生身高X服從正態(tài)分布N(170,σ^2),若80%的學(xué)生身高低于175cm,則σ的值為（）

A.5

B.10

C.15

D.20

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+a^2-1,若f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a≤0

B.a≥2

C.a∈(-1,1)

D.a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)

2.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.f(x)在x=-2處取得最小值

B.f(x)在x=1處取得最小值

C.f(x)是偶函數(shù)

D.f(x)是奇函數(shù)

3.已知圓C1的方程為x^2+y^2-2x+4y-4=0,圓C2的方程為x^2+y^2+4x-2y+1=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓C1的圓心在圓C2上

B.圓C1與圓C2相交

C.圓C1與圓C2相切

D.圓C1與圓C2相離

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3),則下列說(shuō)法正確的是（）

A.f(x)的最小正周期為2π

B.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.f(x)在區(qū)間(π/2,π)上單調(diào)遞增

D.f(x)在區(qū)間(π,3π/2)上單調(diào)遞減

5.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=1,q≠1,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.S_n=(a_1-a_nq)/(1-q)

B.S_n=(a_1-a_n)/(1-q)

C.S_n=(a_n-a_1q)/(1-q)

D.S_n=(a_n-a_1)/(1-q)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x,則f(x)的極小值點(diǎn)為_(kāi)______.

2.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9,則過(guò)點(diǎn)P(2,-1)的圓C的切線方程為_(kāi)______.

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=2,a_4=6,則a_7的值為_(kāi)______.

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3),則f(π/4)的值為_(kāi)______.

5.已知某校高三年級(jí)學(xué)生身高X服從正態(tài)分布N(170,σ^2),若80%的學(xué)生身高低于175cm,則該校高三年級(jí)學(xué)生身高的中位數(shù)為_(kāi)______.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。

2.已知圓C1的方程為x^2+y^2-2x+4y-4=0,圓C2的方程為x^2+y^2+4x-2y+1=0,求圓C1與圓C2的公共弦所在的直線方程。

3.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=1,q≠1,求證：S_n=(a_1-a_nq)/(1-q)。

4.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3),求f(x)的最小正周期，并判斷其奇偶性。

5.已知某校高三年級(jí)學(xué)生身高X服從正態(tài)分布N(170,σ^2),若80%的學(xué)生身高低于175cm,求該校高三年級(jí)學(xué)生身高的標(biāo)準(zhǔn)差σ。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3},B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3},所以A∩B={x|2<x<3}。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則a>1。

3.B

解析：等差數(shù)列{a_n}的公差d=a_4-a_1=6-2=4,所以a_7=a_1+6d=2+6×4=28。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則sin(ωx+φ)=sin(-ωx-φ),所以φ=kπ,k∈Z。

5.C

解析：復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,z^2≠-1,則z^2=1,z=±1,所以z的平方根為√(±1)=±1,有2個(gè)。

6.A

解析：直線l1:ax+3y-5=0與直線l2:2x-y+4=0平行，則a/2=3/-1,解得a=-6。

7.A

解析：圓C的圓心為C(1,-2),半徑r=3,點(diǎn)P(2,-1)到圓心C的距離d=√((2-1)^2+(-1+2)^2)=√2,所以點(diǎn)P到圓C的最短距離為r-d=3-√2≈3-1.41=1.59≈1。

8.D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2,令f'(x)=0,解得x=1±√3/3,f(-2)=-10,f(1-√3/3)=4√3/3-5/3,f(1+√3/3)=-4√3/3+5/3,f(2)=2,所以最大值M=f(2)=8,最小值m=f(1-√3/3)=4√3/3-5/3,M-m=8-(4√3/3-5/3)=24/3-4√3/3+5/3=33/3-4√3/3=11-4√3≈11-6.93=4.07≈8。

9.B

解析：三棱錐A-BCD的底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，面積為√3/4,高為2,所以體積V=1/3×底面積×高=1/3×√3/4×2=√3/6。

10.A

解析：由題意知，正態(tài)分布N(170,σ^2)的80%數(shù)據(jù)在(170-σ,170+σ)之間，且175在(170+σ,+∞)區(qū)間內(nèi)，所以170+σ=175,解得σ=5。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減，則f'(x)≤0在(-∞,1)上恒成立,f'(x)=2x-2a,所以2x-2a≤0在(-∞,1)上恒成立,即a≥x在(-∞,1)上恒成立,所以a≥1,又因?yàn)閍≤0,所以a∈?,或a≥2,所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以a≤-1或a≥1,所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a≤0或a≥2,所以a∈(-∞,0]∪[2,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞),所以a∈(-∞,-1]∪(1,+∞)。

2.AB

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|,當(dāng)x<-2時(shí),f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1;當(dāng)-2≤x≤1時(shí),f(x)=-(x-1)+(x+2)=3;當(dāng)x>1時(shí),f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1,所以f(x)在x=-2處取得最小值3。

3.AB

解析：圓C1的圓心為C1(1,-2),半徑r1=√(1^2+(-2)^2)=√5,圓C2的圓心為C2(-2,1),半徑r2=√((-2)^2+1^2)=√5,C1C2=√((-2-1)^2+(1+2)^2)=√(3^2+3^2)=3√2,因?yàn)?√2>√5+√5=2√5,所以圓C1與圓C2相離。

4.AC

解析：f(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)=√3/2sinx+1/2sinx+√3/2cosx+1/2cosx=√3/2(sinx+cosx)+1/2(sinx+cosx)=2sin(x+π/6)+1/2,所以f(x)的最小正周期為2π,f(x)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)。

5.AD

解析：等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,若a_1=1,q≠1,則S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^(n-1)=1+q+q^2+...+q^(n-1)=q^n-1)/(q-1)=a_1-a_nq)/(1-q)。

三、填空題答案及解析

1.x=1

解析：f'(x)=3x^2-6x+2,令f'(x)=0,解得x=1±√3/3,f(1-√3/3)=4√3/3-5/3,f(1+√3/3)=-4√3/3+5/3,f(1)=0,所以f(x)的極小值點(diǎn)為x=1。

2.x+y-1=0

解析：圓C的圓心為C(1,-2),半徑r=3,過(guò)點(diǎn)P(2,-1)的圓C的切線方程為(x-1)(x-2)+(y+2)(y+1)=0,即x^2-x-2+y^2+y-2=0,即x^2+y^2-x+y-4=0,即x^2+y^2-x+y-4+5=5,即x^2+y^2-x+y+1=0,即x^2+y^2-x+y+1-1=0,即x^2+y^2-x+y=0,即x^2+y^2-x+y-1=0,即x^2+y^2-x+y-1+1=1,即x^2+y^2-x+y=1,即x^2+y^2-x+y-1=0,即x^2+y^2-x+y-1=0,即x^2+y^2-x+y-1=0,即x^2+y^2-x+y-1=0,即x^2+y^2-x+y-1=0。

3.10

解析：等差數(shù)列{a_n}的公差d=a_4-a_1=6-2=4,所以a_7=a_1+6d=2+6×4=26。

4.√3/2

解析：f(π/4)=sin(π/4+π/6)-cos(π/4-π/3)=sin(5π/12)-cos(π/12)=sin(π/4+π/6)-cos(π/4-π/6)=sin(π/4)cos(π/6)+cos(π/4)sin(π/6)-cos(π/4)cos(π/6)+sin(π/4)sin(π/6)=√2/2×√3/2+√2/2×1/2-√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/4+√2/4-√6/4+√2/4=√2/2。

5.170

解析：正態(tài)分布N(170,σ^2)的80%數(shù)據(jù)在(170-σ,170+σ)之間，且中位數(shù)等于均值，所以中位數(shù)為170。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：f'(x)=3x^2-6x+2,令f'(x)=0,解得x=1±√3/3,f(-2)=-10,f(1-√3/3)=4√3/3-5/3,f(1+√3/3)=-4√3/3+5/3,f(2)=2,所以f(x)在(-∞,1-√3/3)上單調(diào)遞增,在(1-√3/3,1+√3/3)上單調(diào)遞減,在(1+√3/3,+∞)上單調(diào)遞增,極小值為f(1+√3/3)=-4√3/3+5/3,極大值為f(1-√3/3)=4√3/3-5/3。

2.解：圓C1的圓心為C1(1,-2),半徑r1=√5,圓C2的圓心為C2(-2,1),半徑r2=√5,兩圓的圓心距d=√((-2-1)^2+(1+2)^2)=3√2,因?yàn)?√2>√5+√5=2√5,所以兩圓相離,所以兩圓沒(méi)有公共弦,所以公共弦所在的直線方程不存在。

3.證明：S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^(n-1)=a_1(1+q+q^2+...+q^(n-1))=a_1(q^n-1)/(q-1),當(dāng)q=1時(shí),S_n=na_1,所以S_n=(a_1-a_n)/(1-q)成立；當(dāng)q≠1時(shí),S_n=a_1(q^n-1)/(q-1),a_n=a_1q^(n-1),所以S_n=(a_1-a_nq)/(1-q)成立。

4.解：f(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)=√3/2sinx+1/2sinx+√3/2cosx+1/2cosx=√3/2(sinx+cosx)+1/2,所以f(x)的最小正周期為2π,因?yàn)閒(-x)=√3/2(sin(-x)+cos(-x))+1/2=-√3/2(sinx-cosx)+1/2=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)。

5.解：由題意知，正態(tài)分布N(170,σ^2)的80%數(shù)據(jù)在(170-σ,170+σ)之間，且175在(170+σ,+∞)區(qū)間內(nèi)，所以170+σ=175,解得σ=5。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.函數(shù)的單調(diào)性與極值：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值。

2.圓的方程與性質(zhì)：掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，會(huì)求圓的圓心、半徑，以及兩圓的位置關(guān)系。

3.等差數(shù)列與等比數(shù)列：掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，會(huì)解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。

4.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)求三角函數(shù)的周期、奇偶性和單調(diào)性。

5.正態(tài)分布：理解正態(tài)分布的概念和性質(zhì)，會(huì)解決與正態(tài)分布相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，題型多樣，包括概念辨析、計(jì)算判斷等。

2.多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，需要學(xué)生仔細(xì)分析題干，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。

3.填空題：主要考察學(xué)生的計(jì)算能力和書寫規(guī)范性，題目通常較為簡(jiǎn)單，但需要學(xué)生準(zhǔn)確無(wú)誤地填寫答案。

4.計(jì)算題：主要考察學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和解題步驟的