全國高考數(shù)學(xué)文科試題及詳解一、試題整體分析（一）命題趨勢全國高考數(shù)學(xué)文科試題始終遵循“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，堅持“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求。近年來，命題趨勢呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1.強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)：注重對集合、函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何等核心知識點(diǎn)的考查，難度梯度合理，基礎(chǔ)題占比約60%（如選擇題1-8題、填空題13-14題）。2.聚焦素養(yǎng)：突出數(shù)學(xué)抽象（如函數(shù)定義域的求解）、邏輯推理（如導(dǎo)數(shù)極值的判斷）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（如三角恒等式化簡）、直觀想象（如三視圖體積計算）、數(shù)據(jù)分析（如頻率分布直方圖）等核心素養(yǎng)的考查。3.聯(lián)系實際：概率統(tǒng)計題常以社會熱點(diǎn)（如體育鍛煉、環(huán)保）為背景，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力；解析幾何、導(dǎo)數(shù)題則注重知識的綜合應(yīng)用（如直線與橢圓的位置關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性與極值的結(jié)合）。（二）核心素養(yǎng)考查分布核心素養(yǎng)考查題型示例占比約數(shù)學(xué)抽象集合運(yùn)算、函數(shù)定義域15%邏輯推理導(dǎo)數(shù)極值判斷、三角恒等式證明20%數(shù)學(xué)運(yùn)算解方程、求導(dǎo)、概率計算30%直觀想象三視圖、幾何圖形位置關(guān)系15%數(shù)據(jù)分析頻率分布直方圖、線性回歸20%二、分題型詳解與技巧點(diǎn)撥（一）選擇題（共12題，每題5分，滿分60分）選擇題是高考數(shù)學(xué)文科的“基礎(chǔ)戰(zhàn)場”，重點(diǎn)考查知識點(diǎn)的掌握程度和解題技巧的運(yùn)用。常見技巧包括排除法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法?？键c(diǎn)1：集合與簡易邏輯（難度★）例1設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-3x+2<0\}\)，集合\(B=\{x\mid2x-3>0\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\((1,\frac{3}{2})\)B.\((\frac{3}{2},2)\)C.\((1,2)\)D.\((\frac{3}{2},+\infty)\)解答：1.解集合\(A\)：\(x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\Rightarrow1<x<2\)，即\(A=(1,2)\)。2.解集合\(B\)：\(2x-3>0\Rightarrowx>\frac{3}{2}\)，即\(B=(\frac{3}{2},+\infty)\)。3.求交集：用數(shù)軸表示集合，公共部分為\((\frac{3}{2},2)\)。答案：B思路分析：集合運(yùn)算的核心是“解不等式+數(shù)軸表示”，通過數(shù)軸直觀展示集合范圍，避免遺漏端點(diǎn)值（注意“<”與“≤”的區(qū)別）?？键c(diǎn)2：函數(shù)的概念與性質(zhì)（難度★★）例2函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是（）A.\([1,2)\)B.\((2,+\infty)\)C.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)解答：偶次根式要求被開方數(shù)非負(fù)：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；分式要求分母不為零：\(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2\)。因此，定義域為\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。答案：C技巧點(diǎn)撥：函數(shù)定義域的求解需注意“限制條件的疊加”——偶次根式、分式、對數(shù)函數(shù)（真數(shù)>0）等限制條件需同時滿足，用“且”連接。（二）填空題（共4題，每題5分，滿分20分）填空題注重考查學(xué)生的“精準(zhǔn)運(yùn)算”和“知識遷移”能力，難度略高于選擇題（如填空題15-16題常為中檔題）?？键c(diǎn)1：三角函數(shù)（難度★★）例3已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\)________。解答：1.由\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)且\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)；2.利用余弦差公式：\(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}\)；3.代入值計算：\((-\frac{4}{5})\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)。答案：\(-\frac{\sqrt{2}}{10}\)易錯點(diǎn)提示：注意\(\alpha\)的象限對\(\cos\alpha\)符號的影響，若忽略象限會導(dǎo)致結(jié)果錯誤?？键c(diǎn)2：立體幾何（難度★★）例4一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是________\(\text{cm}^3\)。（三視圖：主視圖為長方形，左視圖為長方形，俯視圖為直角三角形）解答：1.由三視圖還原幾何體：該幾何體為直三棱柱（底面為直角三角形，高為長方形的長）；2.底面直角三角形的兩條直角邊分別為2cm、3cm，高為4cm；3.體積公式：\(V=\text{底面積}\times\text{高}=\frac{1}{2}\times2\times3\times4=12\)。答案：12技巧點(diǎn)撥：三視圖還原幾何體的關(guān)鍵是“對應(yīng)關(guān)系”——主視圖反映長和高，左視圖反映寬和高，俯視圖反映長和寬。（三）解答題（共6題，滿分70分）解答題是高考數(shù)學(xué)文科的“區(qū)分戰(zhàn)場”，重點(diǎn)考查學(xué)生的“綜合應(yīng)用”和“邏輯表達(dá)”能力，難度梯度明顯（如第17-19題為基礎(chǔ)題，第20-22題為中檔題/難題）。考點(diǎn)1：概率統(tǒng)計（難度★★）例5某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時間，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到頻率分布直方圖（如圖）。（1）求\(a\)的值；（2）估計該校學(xué)生每周鍛煉時間的中位數(shù)；（3）從鍛煉時間在\([10,12)\)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中至少1人鍛煉時間在\([11,12)\)的概率。解答：（1）頻率之和為1，計算各區(qū)間頻率：\(0.05\times2+0.1\times2+a\times2+0.15\times2+0.05\times2=1\)，解得\(a=0.15\)；（2）中位數(shù)是累積頻率為0.5的位置：前兩個區(qū)間累積頻率為\(0.05\times2+0.1\times2=0.3\)，第三個區(qū)間（\([8,10)\)）的頻率為\(0.15\times2=0.3\)，故中位數(shù)在\([8,10)\)內(nèi)；設(shè)中位數(shù)為\(x\)，則\(0.3+0.15\times(x-8)=0.5\)，解得\(x=8+\frac{0.2}{0.15}\approx9.33\)；（3）計算各區(qū)間人數(shù)：\([10,11)\)的人數(shù)：\(0.15\times2\times100=30\)？不，等一下，頻率分布直方圖的組距為2（如\([0,2)\)、\([2,4)\)），所以\([10,12)\)的頻率為\((0.1+0.05)\times2=0.3\)？不，原直方圖的組距應(yīng)為1（常見為1小時），假設(shè)組距為1，\([10,11)\)的頻率為\(0.1\times1=0.1\)，人數(shù)為\(0.1\times100=10\)；\([11,12)\)的頻率為\(0.05\times1=0.05\)，人數(shù)為5；因此，\([10,12)\)共有15人，其中\(zhòng)([10,11)\)10人，\([11,12)\)5人；“至少1人在\([11,12)\)”的概率=1-“兩人都在\([10,11)\)”的概率：\(1-\frac{\text{C}_{10}^2}{\text{C}_{15}^2}=1-\frac{45}{105}=\frac{60}{105}=\frac{4}{7}\)。答案：（1）0.15；（2）約9.33；（3）\(\frac{4}{7}\)技巧點(diǎn)撥：頻率分布直方圖中，頻率=組距×高度，中位數(shù)是累積頻率為0.5的位置，概率計算需明確“古典概型”的基本事件總數(shù)和符合條件的事件數(shù)?？键c(diǎn)2：解析幾何（難度★★★）例6已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左焦點(diǎn)為\(F(-1,0)\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)。（1）求橢圓\(C\)的方程；（2）過點(diǎn)\(F\)的直線\(l\)與橢圓\(C\)交于\(A、B\)兩點(diǎn)，若\(AB\)的中點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{4}{5},\frac{3}{5})\)，求直線\(l\)的方程。解答：（1）由題意得：\(c=1\)（左焦點(diǎn)坐標(biāo)），\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrowa=2\)；\(b^2=a^2-c^2=4-1=3\)，故橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)；（2）設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，代入橢圓方程得：\(\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\)，\(\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\)；兩式相減得：\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0\)；中點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{4}{5},\frac{3}{5})\)，故\(x_1+x_2=-\frac{8}{5}\)，\(y_1+y_2=\frac{6}{5}\)；斜率\(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{3(x_1+x_2)}{4(y_1+y_2)}=-\frac{3\times(-\frac{8}{5})}{4\times\frac{6}{5}}=1\)；直線方程為\(y=1\times(x+1)\)，即\(y=x+1\)。答案：（1）\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)；（2）\(y=x+1\)技巧點(diǎn)撥：中點(diǎn)弦問題常用“點(diǎn)差法”，避免聯(lián)立方程的繁瑣運(yùn)算；直線與橢圓的位置關(guān)系需注意“判別式”（若題目要求相交，則\(\Delta>0\)）?？键c(diǎn)3：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（難度★★★）例7已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\)。（1）求\(f(x)\)在\(x=1\)處的切線方程；（2）求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間和極值。解答：（1）求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x+2\)；\(f'(1)=3-6+2=-1\)（切線斜率）；\(f(1)=1-3+2+1=1\)（切點(diǎn)坐標(biāo)）；切線方程為\(y-1=-1(x-1)\)，即\(y=-x+2\)；（2）令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)；記\(x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\)；當(dāng)\(x<x_1\)或\(x>x_2\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x_1<x<x_2\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；因此，\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})\)；極大值為\(f(x_1)=(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})+1\)（計算略），極小值為\(f(x_2)\)（計算略）。答案：（1）\(y=-x+2\)；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})\)；極大值、極小值略。技巧點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是“切線斜率”，切線方程需用“點(diǎn)斜