第頁第四章第4講(時(shí)間：45分鐘分值：100分)一、選擇題1.設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i(t∈R)，則下列命題中正確的是()A.z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第一象限 B.z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限C.z不是純虛數(shù) D.z是虛數(shù)答案：D解析：由于2t2＋5t－3的符號(hào)無法確定，故A、B錯(cuò)，由于t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≠0，故z是虛數(shù)．2.[2025·廣東六校聯(lián)考]復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)是()A.－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC.－i D.i答案：C解析：∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(2＋i＋4i－2,5)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復(fù)數(shù)為－i.故應(yīng)選C.3.若復(fù)數(shù)(a＋i)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則實(shí)數(shù)a的值是()A.1 B.－1C.eq\r(2) D.－eq\r(2)答案：B解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a2－1,2a)，又因?yàn)樵擖c(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,2a<0))，解得a＝－1，選B.4.[2025·焦作模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1－3i，z2＝3－2i，則eq\f(z1,z2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：因?yàn)閑q\f(z1,z2)＝eq\f(1－3i,3－2i)＝eq\f(1－3i3＋2i,3－2i3＋2i)＝eq\f(9－7i,13)，所以eq\f(z1,z2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(eq\f(9,13)，－eq\f(7,13))，在第四象限，選D.5.若純虛數(shù)z滿足(2－i)z＝4－b(1＋i)2(其中i是虛數(shù)單位，b是實(shí)數(shù))，則b＝()A.－2 B.2C.－4 D.4答案：C解析：設(shè)z＝ai(a≠0)，則有(2－i)·ai＝4－2bi，即a＋2ai＝4－2bi，即a＝4,2a＝－2b，解得b6.[2025·大連質(zhì)檢]已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋i,1－2i)，則|z|＋eq\f(1,z)＝()A.i B.1－iC.1＋i D.－i答案：B解析：由已知得z＝eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(－2i2＋i,1－2i)＝eq\f(i1－2i,1－2i)＝i，|z|＋eq\f(1,z)＝|i|＋eq\f(1,i)＝1－i，選B.二、填空題7.[2025·福州模擬]已知M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，則實(shí)數(shù)答案：－1解析：由題意知3∈M，故(a2－3a－1)＋(a2－5所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－1＝3,a2－5a－6＝0))，解得a＝－1.8.[2025·金版原創(chuàng)]已知復(fù)數(shù)z＝i＋i2＋i3＋…＋i2025，則z＝________.答案：i解析：z＝i＋i2＋i3＋…＋i2025＝eq\f(i1－i2025,1－i)＝eq\f(i－i2025,1－i)，∴z＝eq\f(i＋1,1－i)＝eq\f(i＋12,2)＝i.9.設(shè)z2＝z1－eq\x\to(iz)1(其中eq\x\to(z)1表示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是－1，則z2的虛部為________．答案：1解析：設(shè)z1＝x＋yi，z2＝－1＋bi，x、y、b∈R，則－1＋bi＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，由復(fù)數(shù)相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝x－y，,b＝y(tǒng)－x，))∴b＝1.三、解答題10.復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\x\to(z)1＋z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．解：eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝(eq\f(3,a＋5)＋eq\f(2,1－a))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是實(shí)數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.[2025·佛山模擬]復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，若∠BAC是鈍角，求實(shí)數(shù)c解：在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c由∠BAC是鈍角得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0且B、A、C不共線，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>eq\f(49,11)，其中當(dāng)c＝9時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6,8)＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，B、A、C三點(diǎn)共線，故c≠9.∴c的取值范圍是c>eq\f(49,11)且c≠9.12.[2025·福建質(zhì)檢]已知復(fù)數(shù)ω滿足ω－4＝(3－2ω)i(i為虛數(shù)單位)z＝eq\f(5,ω)＋|ω－2|.求以z為根的一個(gè)一元二次實(shí)系數(shù)方程．解：ω(1＋2i)＝4＋3i，∴ω＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝2－i