2．2圓的一般方程學習目標1.正確理解圓的方程的形式及特點，會由一般式求圓心和半徑.2.能根據(jù)某些具體條件，運用待定系數(shù)法確定圓的方程.3.初步體會圓的方程的實際應用．知識點圓的一般方程思考1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分別表示什么圖形？思考2方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圓？梳理圓的一般方程方程條件圖形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))D2＋E2－4F>0表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，以eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)為半徑的圓D2＋E2－4F<0不表示任何圖形類型一圓的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求實數(shù)m的取值范圍，并寫出圓心坐標和半徑．反思與感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法(1)由圓的一般方程的定義，令D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解．跟蹤訓練1(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標為____________，半徑為____________．(2)點M、N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M、N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為________．類型二求圓的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圓的方程；(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上，求a的值．引申探究若本例中將點“C(3，－1)”改為“圓C過A，B兩點且圓C關(guān)于直線y＝－x對稱”，其他條件不變，如何求圓C的方程？反思與感悟應用待定系數(shù)法求圓的方程時應注意(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).跟蹤訓練2已知一圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4eq\r(3)，求圓的方程．類型三圓的方程的實際應用例3如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．這個圓的圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度．(精確到0.01m)反思與感悟在解決圓在實際生活中的應用問題時，借助坐標系，利用方程求解可取得簡便、精確的效果．應用解析法的關(guān)鍵是建系，合理適當?shù)慕ㄏ祵栴}的解決會有很大幫助．跟蹤訓練3如圖所示，一座圓拱橋，當水面在圖示位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當水面下降1m后，水面寬為多少？1．圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面積為()A．8π B．4πC．2π D．π2．若點M(3,0)是圓x2＋y2－8x－4y＋10＝0內(nèi)一點，則過點M(3,0)的最長的弦所在的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝03．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是()A．m≤2 B．m＜eq\f(1,2)C．m＜2 D．m≤eq\f(1,2)4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圓心為C(2,2)，半徑為2的圓，則a，b，c的值依次為()A．－2,4,4 B．－2，－4,4C．2，－4,4 D．2，－4，－45．已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,0)，B(2,1)，且圓心C在y軸上，求此圓的一般方程．1．判斷二元二次方程表示圓要“兩看”：一看方程是否具備圓的一般方程的特征；二看它能否表示圓．此時判斷D2＋E2－4F是否大于0或直接配方變形，判斷等號右邊是否為大于零的常數(shù)．2．待定系數(shù)法求圓的方程如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法分別求出常數(shù)D、E、F.答案精析問題導學知識點思考1對方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)為圓心，2為半徑的圓，對方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何圖形．思考2對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移項，得(x＋eq\f(D,2))2＋(y＋eq\f(E,2))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4).①當D2＋E2－4F＞0時，方程表示的是以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)為半徑的圓；②當D2＋E2－4F＝0時，方程只有一個實數(shù)解x＝－eq\f(D,2)，y＝－eq\f(E,2)，它表示一個點(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；③當D2＋E2－4F＜0時，方程無實數(shù)解，它不表示任何圖形．題型探究例1解由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<eq\f(1,5)，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，eq\f(1,5))．圓心坐標為(－m,1)，半徑為eq\r(1－5m).跟蹤訓練1(1)(－2，－4)5(2)9π解析(1)由圓的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.當a＝2時，該方程可化為x2＋y2＋x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×eq\f(5,2)＜0，∴a＝2不符合題意．當a＝－1時，方程可化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圓心坐標為(－2，－4)，半徑為5.(2)圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圓心坐標為(－eq\f(k,2)，－1)，由圓的性質(zhì)知，直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，∴圓x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半徑為eq\f(1,2)eq\r(42＋22＋16)＝3，∴該圓的面積為9π.例2解(1)設△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.引申探究解∵kAB＝eq\f(3－2,5－2)＝eq\f(1,3)，AB的中點坐標為(eq\f(7,2)，eq\f(5,2))，∵AB的垂直平分線方程為y－eq\f(5,2)＝－3(x－eq\f(7,2))．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x，,y－\f(5,2)＝－3x－\f(7,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(13,2)，,y＝－\f(13,2)，))即圓心C的坐標為(eq\f(13,2)，－eq\f(13,2))，r＝eq\r(\f(13,2)－22＋－\f(13,2)－22)＝eq\f(\r(370),2)，∴圓C的方程為(x－eq\f(13,2))2＋(y＋eq\f(13,2))2＝eq\f(185,2).跟蹤訓練2解方法一(待定系數(shù)法)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P，Q的坐標分別代入上式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，①,D－3E－F－10＝0.②))令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③由已知得|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程③的根，∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④聯(lián)立①②④解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二(幾何法)由題意得線段PQ的垂直平分線方程為x－y－1＝0，∴所求圓的圓心C在直線x－y－1＝0上，設其坐標為(a，a－1)．又圓C的半徑長r＝|CP|＝eq\r(a－42＋a＋12).①由已知得圓C截y軸所得的線段長為4eq\r(3)，而圓心C到y(tǒng)軸的距離為|a|，∴r2＝a2＋(eq\f(4\r(3),2))2，代入①整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝eq\r(13)，r2＝eq\r(37).故圓的方程為(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.例3解建立如圖所示的直角坐標系，使圓心在y軸上．設圓心的坐標是(0，b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.因為P，B都在圓上，所以它們的坐標(0,4)，(10,0)都滿足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(02＋4－b2＝r2，,102＋0－b2＝r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－10.5，,r2＝14.52.))所以圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把點P2的橫坐標x＝－2代入圓的方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，即y＋10.5＝eq\r(14.52－－22)(P2的縱坐標y>0，平方根取正值)．所以y＝eq\r(14.52－－22)－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．故支柱A2P2的高度約為3.86m.跟蹤訓練3解以圓拱橋頂為坐標原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標系，設圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，設圓拱所在的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因為原點在圓上，所以F＝0.另外點A，點B在圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40＋6D－2E＝0，,40－6D－2E＝0.))所以D＝0，E＝20，所以圓的方程為x2＋y2＋20y＝0.當水面下降1m后，可設點A′的坐標(x0，－3)(x0>0)，如圖所示，將A′的坐標(x0，－3)代入圓的方程，求得x0＝eq\r(51)，所以，水面下降1m后，水面寬為2x0＝2eq\r(51)(m)．當堂訓練1．C2.C3.B4.A5．解方法一設圓心C的坐標為(0，b)，由|CA|＝|CB|，得eq\r(1＋