北京市密云縣穆家峪中學(xué)中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專(zhuān)題一、中考幾何壓軸題1．（1）問(wèn)題探究：如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線(xiàn)段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）類(lèi)比延伸如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）拓展遷移如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線(xiàn)段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，求線(xiàn)段BA′的長(zhǎng)．2．如圖，已知和均為等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線(xiàn)上，連接CE，則＝°，線(xiàn)段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線(xiàn)上，連接CE，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線(xiàn)段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，，，AE＝2，連接CE、BD，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EC的長(zhǎng)．3．（1）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線(xiàn)，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F，G．則_______．（2）類(lèi)比探究：如圖2，把上題中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；通過(guò)以上兩例探索，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于與的數(shù)量關(guān)系的正確結(jié)論：_________________；（3）拓展延伸：如圖3，若以正方形的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)正方形的中心為P，平面上一點(diǎn)F到P的距離為．①直接寫(xiě)出的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；并探索是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．綜合與實(shí)踐（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)F在AB上，連接AE、CF，則AE、CF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）類(lèi)比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°)，請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)就圖②說(shuō)明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)CF為最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．5．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．求證：；（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形中，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，若，，求的長(zhǎng)．6．點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接DF，交CG于點(diǎn)H．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線(xiàn)段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究：如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，則（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展：在（2）的基礎(chǔ)上，若射線(xiàn)FC過(guò)AD的三等分點(diǎn)，AD＝3，AB＝4，則直接寫(xiě)出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．7．問(wèn)題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問(wèn)題解決：（3）如圖③，某戶(hù)外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．8．（1）問(wèn)題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)、、分別是、、上的點(diǎn)，且，求證：；（2）類(lèi)比應(yīng)用：如圖2，在矩形中，，，將矩形沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到矩形．①若點(diǎn)為的中點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系；②拓展延伸：連，當(dāng)時(shí)，，，求的長(zhǎng)．9．（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線(xiàn)段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)①判斷線(xiàn)段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)，分別寫(xiě)出的度數(shù)，線(xiàn)段、之間的數(shù)量關(guān)系．10．將拋物線(xiàn)y＝ax2的圖像（如圖1）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線(xiàn)圖像（如圖2），記為C：y2＝x．（概念與理解）將拋物線(xiàn)y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的拋物線(xiàn)圖像，記為：C1：_____________；C2：____________．（猜想與證明）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，0）在x軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)C1于點(diǎn)A、B，交拋物線(xiàn)C2于點(diǎn)C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x=1時(shí)，=______；當(dāng)x=2時(shí)，=_______；（2）猜想：對(duì)任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的猜想；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（探究與應(yīng)用）①利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；②若△AOB和△COD中有一個(gè)是直角三角形時(shí)，求△COD與△AOB面積之差；（聯(lián)想與拓展）若拋物線(xiàn)C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)C3于點(diǎn)A、B，交拋物線(xiàn)C4于點(diǎn)C、D．過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)C4于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)C3于點(diǎn)F．對(duì)于x軸上任取一點(diǎn)P，均有△PAE與△PDF面積的比值1:3，請(qǐng)直接寫(xiě)出m和n之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系是______．11．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC與△ADE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，連接BD與CE，則△ABD與△ACE的關(guān)系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)，在線(xiàn)段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線(xiàn)段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE，隨著點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線(xiàn)AD的左側(cè)，也可能在直線(xiàn)AD上，還可能在直線(xiàn)AD的右側(cè)．請(qǐng)你探究，當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AD上時(shí)，如圖②所示，連接CE，判斷直線(xiàn)CE與直線(xiàn)AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．[拓展應(yīng)用]（3）在（2）的應(yīng)用下，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出△BPE，使得點(diǎn)E在直線(xiàn)AD的右側(cè)，連接CE，試求出點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的最小值．12．在與中，且，點(diǎn)D始終在線(xiàn)段AB上（不與A、B重合）．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類(lèi)比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，BM的最小值為多少？直接寫(xiě)出答案．13．綜合與實(shí)踐．特例感知．兩塊三角板△ADB與△EFC全等，∠ADB＝∠EFC＝90°，∠B＝45°，AB＝6．將直角邊AD和EF重合擺放．點(diǎn)P、Q分別為BE、AF的中點(diǎn)，連接PQ，如圖1．則△APQ的形狀為．操作探究（1）若將△EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)P恰好落在AD上，BE與AC交于點(diǎn)G，連接PF，如圖2．①FG：GA＝；②PF與DC的位置關(guān)系為；③求PQ的長(zhǎng)；開(kāi)放拓展（2）若△EFC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AC⊥CF時(shí)，∠AEC為．14．已知：，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)分別向、、畫(huà)垂線(xiàn)，垂足分別為、、．（問(wèn)題引入）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，求證：．（類(lèi)比探究）（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在射線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在圖③中畫(huà)出示意圖，并直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識(shí)拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．15．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，將腰AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過(guò)C作CE垂直于直線(xiàn)BB′，垂足為E，連接CB′．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)______；連接EF，則的值為_(kāi)_______．（2）拓展探究：當(dāng)，且時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②解決問(wèn)題：當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．16．折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)．近些年，經(jīng)過(guò)許多人的努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：（綜合與實(shí)踐）操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片ABCD展開(kāi)，得到折痕MN；操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′；操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開(kāi)，折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P；（問(wèn)題解決）請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問(wèn)題：（1）求證：BP＝D′P；（2）AP：BP＝；（拓展探究）（3）在圖3的基礎(chǔ)上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開(kāi)，折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q．再將正方形紙片ABCD過(guò)點(diǎn)D′折疊，使點(diǎn)A落在AD邊上，點(diǎn)B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開(kāi)，折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E，與邊BC交于點(diǎn)F，如圖4．試探究：點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB，AD的幾等分點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（1）問(wèn)題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線(xiàn)段BE與線(xiàn)段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)18．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；直線(xiàn)與所夾的銳角為_(kāi)________；類(lèi)比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線(xiàn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)在一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．19．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問(wèn)題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長(zhǎng)為1，求的面積．20．（1）（操作）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓的圓心，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法；（2）（探究）如圖，若（1）中的圓的半徑為2，放入平面直角坐標(biāo)系中，使它與軸，軸分別切于點(diǎn)和，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)（與不重合）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）（拓展）如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓，交第一象限角平分線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，有最小值，求出此時(shí)，并探索在變化過(guò)程中的值有變化嗎？為什么？【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）BD＝CE；理由見(jiàn)解析；（2）BD＝2CE，理由見(jiàn)解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△E解析：（1）BD＝CE；理由見(jiàn)解析；（2）BD＝2CE，理由見(jiàn)解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△EAC≌△DAB（SAS），即可得出結(jié)論；（2）證△EAD∽△CAB，得到，則△EAC∽△DAB，得=2，即可得出結(jié)論；（3）先證明△ABC和△AA′D為等腰直角三角形，得，再證∠A′AB=∠DAC，從而可證明△CAD∽△BAA'，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求得A′B的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣∠CAD，∠DAB＝60°﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC與△DAB中，∴△EAC≌△DAB，∴BD＝CE；（2）BD＝2CE，理由：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴∠EAD＝∠CAB＝60°，AD＝2AE，AB＝2AC，∴∠EAC＝∠DAB，△EAD∽△CAB，∴，∴△EAC∽△DAB，∴，∴BD＝2CE；（3）連接A′A，如圖③，∵AC⊥BC，且AC＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形．∴，∵將線(xiàn)段DA繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)叫涡D(zhuǎn)90°得到DA′∴△AA′D為等腰直角三角形．∴△ABC∽△AA′D．∴．∴．又∵∠CAB＝∠A′AD，∴∠A′AB＝∠DAC，∴△CAD∽△BAA′．∴，即，∴A′B＝．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證得相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）CE的長(zhǎng)為2或4，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D解析：（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）CE的長(zhǎng)為2或4，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根據(jù)勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，進(jìn)而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）為等腰三角形，，∴是等邊三角形，同理可得是等邊三角形故答案為：．（2），理由如下：在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，，同理，，，，，，，，點(diǎn)B、D、E在同一條直線(xiàn)上:；（3）由（2）知，，，在中，，，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過(guò)點(diǎn)A作交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，，，四邊形APDE是矩形，，矩形APDE是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，BD＝BP+DP＝8，，綜上CE的長(zhǎng)為2或4．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出三角形ACE和三角形ABD相似是關(guān)鍵．3．（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）①；②有，【分析】（1）證明∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°得∠1+∠3=60°，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）連接，證明，再進(jìn)一步解析：（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）①；②有，【分析】（1）證明∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°得∠1+∠3=60°，進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）連接，證明，再進(jìn)一步證明得，故可得結(jié)論；（3）①由題意可知，點(diǎn)F在以P為圓心，為半徑的圓上，由圓周角定理可得結(jié)論；②設(shè)，根據(jù)三角形面積公式求出y的值，在中，，根據(jù)勾股定理得，列出方程求出x的值即可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，當(dāng)軸時(shí)，面積最大，求值即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴∠AGE=90°，AE=AC，∠1=∠2．∵正△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，∴AE=AB，得∠3=∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，∴∠1+∠3=60°．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1=90°，∴∠FEG=30°．故答案為：；（2）連接∵C，E關(guān)于對(duì)稱(chēng)∴∴∴；在正方形中，∴，∴；在中，；即∵∴∴∴結(jié)論：（3）①由題意可知，點(diǎn)F在以P為圓心，為半徑的圓上，如圖，連接，則∴故答案為：②設(shè)則即，由題意得，∴由題意可知，點(diǎn)F在以P為圓心，為半徑的圓上；過(guò)點(diǎn)P作軸，過(guò)點(diǎn)F作軸，則在中，，根據(jù)勾股定理得即解得故或，當(dāng)軸時(shí)，面積最大，此時(shí)【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．4．（1）相等，垂直；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)解析：（1）相等，垂直；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線(xiàn)時(shí)，CF最大，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接DE，利用勾股定理求值即可.【詳解】（1）如圖①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90°，BE=BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)M，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AFM=∠BFC，∴∠AMF=∠FBC=90°，∴AE⊥CF，故答案為：相等，垂直；（2）結(jié)論還成立．理由如下：如圖②，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF，∴∠EBA=∠FBC，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)G，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AGN=∠BGC，∴∠ANG=∠GBC=90°，∴AE⊥CF，故結(jié)論成立；（3）如圖③，根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線(xiàn)時(shí)，CF最大，此時(shí)點(diǎn)E恰好在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接DE，∵AB=2BF=4，∴AE=AB+BE=6，在直角三角形ADE中，DE==2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，直徑是圓中的最大的弦，垂直的定義，熟練掌握三角形全等，垂直的證明是解題的關(guān)鍵．5．（1）見(jiàn)解析；（2）；見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GM解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，作GM⊥AB于M．然后證明△ABE∽△GMF即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖（1），∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）．理由：如圖（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF：AE＝AD：AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∴GF：AE＝BC：AB，∵，∴．（3）解：如圖（3）中，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M．由BE：BF＝3：4，設(shè)BE＝3k，BF＝4k，則EF＝AF＝5k，∵，，∴AE＝，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理，得，∴∴k＝1或﹣1（舍去），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴，∴，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．6．(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見(jiàn)解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則解析：(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見(jiàn)解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則，分兩種情況，根據(jù)勾股定理和平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：(1)，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，∴四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，，在和中，，∴，∴，故答案為，(2)仍然成立，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形ABCD是矩形，，∴，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，(3)如圖所示，延長(zhǎng)FC交AD于R，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，，∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，∵，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，由勾股定理得：EF＝；②當(dāng)時(shí)，同理可得：，，，，由勾股定理得：，綜上所說(shuō)，若射線(xiàn)FC過(guò)AD的三等分點(diǎn)，，，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT解析：（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，利用勾股定理的逆定理證明∠CTD＝90°，可得結(jié)論；（3）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長(zhǎng)CK交PA延長(zhǎng)線(xiàn)于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ，證明PA+PB=JC，再求出JC的最大值即可求解．【詳解】（1）如圖①，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形∵BC=4∴OB=OC=2=OA∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為：4；（2）如圖②，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT由題意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°（3）如圖③，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長(zhǎng)CK交PA延長(zhǎng)線(xiàn)于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．8．（1）見(jiàn)解析；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，證，即可證得；（2）①設(shè)，則，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再證明，可得，由此可得，進(jìn)而可求得答案；②過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，先由①得，再證解析：（1）見(jiàn)解析；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，證，即可證得；（2）①設(shè)，則，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再證明，可得，由此可得，進(jìn)而可求得答案；②過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，先由①得，再證明∠BFE＝∠CGP，可得，進(jìn)而利用勾股定理可求得，，，最后根據(jù)，可得，計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在正方形中，∴∠HAD＝∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，∴四邊形AHGD為矩形，∴AD＝HG，∴AB＝HG，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，∴在與中∴（ASA），∴；①∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵折疊，∴設(shè)，∴，在RtBFE中，BF2＋BE2＝EF2，∴，解得：，又∵，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則∠AHG＝∠FHG＝90°，∵在矩形中，∴∠HAD＝∠BCD＝∠B＝90°，∴四邊形AHGD為矩形，∴BC＝HG，∵∠FHG＝90°，∴∠AFQ＋∠FGH＝90°，∵，∴∠FQA＝90°，∴∠AFQ＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，又∵∠FHG＝∠D＝90°，∴，，，，，，又∵，，∴，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，∵，，∴由①得，∵∠EPG＝∠GCE＝90°，∠EOC＝∠GOP，∴∠CGP＝∠OEC，∵∠FEP＝∠B＝90°，∴∠OEC＋∠BEF＝90°，∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠OEC，∴∠BFE＝∠CGP，又∵，∴，∴設(shè)，，則，，，解得：，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，題目綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．9．（1）；（2）①，證明見(jiàn)解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見(jiàn)解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點(diǎn)O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類(lèi)討論．10．【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見(jiàn)解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案解析：【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見(jiàn)解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案；【猜想與證明】：（1）當(dāng)x=1時(shí)，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；當(dāng)x=2時(shí)，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；【探究與應(yīng)用】：①根據(jù)已知條件表示出△AOB與△COD面積即可得出答案；②設(shè)M（x，0）（x＞0），根據(jù)已知條件可得出，分兩種情況當(dāng)△AOB是直角三角形時(shí)解得，當(dāng)△COD是直角三角形時(shí)，解得，把代入即可；【聯(lián)想與拓展】：根據(jù)題意求出AEDF的坐標(biāo)然后表示出面積再利用△PAE與△PDF面積的比值1:3，即可得出關(guān)系式；【詳解】【概念與理解】∵y1=4x2∴由題意可得C1：∵y2=x2∴由題意可得C2：故答案為：C1：，C2：；【猜想與證明】（1）當(dāng)x=1時(shí)，∵點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)C1上∴令x=1，則∴A，B∴AB=1∵點(diǎn)C、D在拋物線(xiàn)C2上∴令x=1，則∴C，D∴CD=2∴=當(dāng)x=2時(shí)，∵點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)C1上∴令x=2，則∴A，B∴AB=∵點(diǎn)C、D在拋物線(xiàn)C2上∴令x=2，則∴C，D∴CD=∴=（2）對(duì)任意x（x＞0）上述結(jié)論仍然成立理由如下：對(duì)任意x（x＞0），∴A，B∴AB=對(duì)任意x（x＞0），∴C，D∴CD=∴=【探究與應(yīng)用】①連接OA，OB，OC，OD∴故答案為：②設(shè)M（x，0）（x＞0），∵M(jìn)（x，0）∴∴AB=∵M(jìn)（x，0），∴∴CD=∵∴當(dāng)△AOB是直角三角形時(shí)，由題意可知OA=OB∴△△AOB為等腰直角三角形∴OM=AM∴解得：∴當(dāng)△COD是直角三角形時(shí)，由題意可知OD=OC∴△△COD為等腰直角三角形∴OM=CM∴解得：∴綜上所述：△COD與△AOB面積之差為或【聯(lián)想與拓展】∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)C3上∴令x=k，則∴A∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴E∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)C、D在拋物線(xiàn)C4上∴令x=k，則∴D∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴F∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴△PEA的高=∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴△PDF的高=∴∵△PAE與△PDF面積的比值1:3∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考出了拋物線(xiàn)性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答本題時(shí)運(yùn)用兩個(gè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵．11．（1）相似；（2）AB∥EC，理由見(jiàn)解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠解析：（1）相似；（2）AB∥EC，理由見(jiàn)解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．（3）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因?yàn)辄c(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC與△ACE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，∴BA＝BC，DA＝DE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案為：相似．（2）如圖2中，結(jié)論：AB∥EC．理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分線(xiàn)段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案為50，AB∥EC．（2）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線(xiàn)段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．如圖4中，作AH⊥CE于H，∵點(diǎn)E在射線(xiàn)CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的相似，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到問(wèn)題答案，關(guān)鍵是要利用圓的基本性質(zhì)求解最值問(wèn)題．12．（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB解析：（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB時(shí)，CD最小，此時(shí)DE最小，而B(niǎo)M是直角三角形DBE斜邊上的中線(xiàn)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．【詳解】（1）①∵∴∴∵，∴∴，∴∴，∴，的值為1；（2）在中，，令，則，同理令，∴，∴①∵即∴②有①②得∴，∴（3）在中，，∴，當(dāng)CD最小時(shí)，即CD垂直于AB時(shí)，CD最小，此時(shí)DE最小，而，∴，而B(niǎo)M是直角三角形DBE斜邊上的中線(xiàn)，∴【點(diǎn)睛】本題涉及全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、特殊的三角函數(shù)值和直角三角形的性質(zhì)．是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，要熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)．13．等腰直角三角形；（1）①1：；②互相平行；③；（2）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出PQ//BD，PQ=，結(jié)合已知即可得出答案；（1）①先根據(jù)勾股定理得出EF解析：等腰直角三角形；（1）①1：；②互相平行；③；（2）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出PQ//BD，PQ=，結(jié)合已知即可得出答案；（1）①先根據(jù)勾股定理得出EF=，再根據(jù)△EGF∽△BGA得出，從而得出FG：GA的值；②過(guò)P作PM//BC交CE與點(diǎn)M，再證得F在PM上即可；③根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出PD//CE，結(jié)合已知得出P在AD上，得出PQ=，再利用勾股定理得出PQ的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)F在BC的下方和上方兩種情況加以討論即可【詳解】解：特例感知：∵P、Q分別為BE、AF的中點(diǎn)，∴PQ//BD，PQ=，∵△ABD是等腰直角三角形，∴△APQ為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（1）①∵AB=6，∠B=45°，∠ADB=90°，∴，∴AD=BD=，∴EF=，∵∠BFC=∠BAC=90°，∴∠GFE=∠BAG，∵∠AGP=∠EGF，∴∠ABQ=∠GBF，∴△EGF∽△BGA，∴，∴故答案為：；②如圖，過(guò)P作PM//BC交CE與點(diǎn)M，∴，∴EM=CM∴FM//BC，∴F在PM上，∴PF∥CD，故答案為：平行；③∵BP=PE，BD=CD，∴DP為△BCE的中位線(xiàn)，∴PD//CE，∵CE⊥BC，∴PD⊥BC，又∵AD⊥BC，∴P在AD上，∠APF=∠ADC=90°，∵Q為AF的中點(diǎn)，∴PQ=，又∵∠B=45°，∠ADB=90°，∴，∴FC=EF=，∴AF=AC-CF=6-，∴PQ==；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BC的下方時(shí)，如圖∵AC⊥CF∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠BCF=45°，∴點(diǎn)E在BC邊上，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE，∴∠AEC=∠CAE=67.5°當(dāng)點(diǎn)F在BC的上方時(shí)，如圖∵AC⊥CF∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∠FCE=45°，∴點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∴∠ACE=135°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE，∴∠AEC=∠CAE=22.5°【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換---旋轉(zhuǎn)綜合題，涉及到勾股定理、三角形中位線(xiàn)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，清楚準(zhǔn)確的分析出旋轉(zhuǎn)的過(guò)程是解題的關(guān)鍵14．【問(wèn)題引入】見(jiàn)解析；【類(lèi)比探究】（1）見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析，；【知識(shí)拓展】，證明見(jiàn)解析【分析】[問(wèn)題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類(lèi)比探究]（1）過(guò)點(diǎn)F作FN解析：【問(wèn)題引入】見(jiàn)解析；【類(lèi)比探究】（1）見(jiàn)解析；（2）圖見(jiàn)解析，；【知識(shí)拓展】，證明見(jiàn)解析【分析】[問(wèn)題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類(lèi)比探究]（1）過(guò)點(diǎn)F作FN⊥OB，F(xiàn)M⊥OA，垂足分別為N、M，F(xiàn)M與PE交于點(diǎn)Q，先證明△PFQ為等邊三角形，得出FG=PH，再運(yùn)用矩形性質(zhì)得出OM=OF，ON=OF，即可證得結(jié)論；（2）作FN⊥OB于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥OA于點(diǎn)M，射線(xiàn)FM交PE于點(diǎn)Q，作PH⊥FQ于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥PQ于點(diǎn)G，同（1）可證：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出結(jié)論；[知識(shí)拓展]過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分別為M、N、Q，利用垂徑定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再運(yùn)用[類(lèi)比探究]得：PM+PN=PQ，從而證得結(jié)論．【詳解】[問(wèn)題引入]證明：∵，，，∴．∵，∴．∴．[類(lèi)比探究]（1）過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為、，與交于點(diǎn)．∵，，，則為等邊三角形，、邊上的高相等，即．在矩形、矩形中，有，，∴．∴．∵，，∴，同理，，∴，∴．（2）結(jié)論：．作于點(diǎn)，于點(diǎn)，射線(xiàn)與的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同（1）可證，，∴．[知識(shí)拓展]數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過(guò)點(diǎn)作，，，垂足分別為、、．由垂徑定理可得．∴．同理，，由[類(lèi)比探究]得，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)性質(zhì)，矩形性質(zhì)，垂徑定理等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15．（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個(gè)結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直解析：（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個(gè)結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，分兩種情況討論，利用三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30°，BF=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B==70°，∵AC=AB′，∠B′AC=120°-40°=80°，∴∠AB′C==50°，∴∠CB′E=180°-70°-50°=60°，連接EF，∵BF=FC，則EF為直角三角形BEC斜邊上的中線(xiàn)，∴EF=BF=FC，在Rt△ABF中，，∴；（2）①兩個(gè)結(jié)論成立，理由如下：連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，等腰△ABB′中，∠BAB′=α，則∠AB′B==90°?α，等腰△AB′C中，∠CAB′=α?120°，則∠AB′C==150°?α，∴；∵AB=AC，AF⊥BC．∴∠FAC=60°，Rt△CEB′中，=sin60°=，Rt△CFA中，=sin60°=，∴，∵∠FCE=∠ACB′=30°+∠ACE，∴△CEF~△CB′A∴；②當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，分以下兩種情況討論，（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在FA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，由①可知，∠B'=60°，∵CE⊥BB'，而B(niǎo)C=2EF=2BF，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB+B'E=，∴；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在AF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，同理可得，∠CB'E=60°，BC=2EF=2BF，∵CE⊥BB'，∴∠CEB'=∠CEB=90°，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB-B'E=，∴；綜上，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．16．（1）見(jiàn)解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性解析：（1）見(jiàn)解析；（2）2：1；（3）點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1，連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）設(shè)BP＝x，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接PC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠MD′C＝∠D＝90°，∴∠CD′P＝∠B＝90°，在Rt△CD′P和Rt△CBP中，，∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），∴BP＝D′P；（2）解：設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1．則AM＝DM＝D′M＝．設(shè)BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得AM2+AP2＝MP2．∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，解得x＝，∴BP＝，AP＝，∴AP：BP＝2：1，故答案為：2：1．（3）解：點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn)．理由：如圖2，連接QM．∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，∴∠QD′M＝∠A＝90°．在Rt△AQM和Rt△D′QM中，，∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），∴AQ＝D′Q，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AQ＝QD′＝y(tǒng)，則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．在Rt△QPD′中，根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．∵D′P＝BP＝，∴y2+（）2＝（﹣y）2，解得y＝．∴AQ：AB＝1：4，即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn)，∵EF∥AB，∴，即，解得AE＝．∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．17．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見(jiàn)解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見(jiàn)解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過(guò)證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線(xiàn)定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長(zhǎng)BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線(xiàn)段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DG上時(shí)，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點(diǎn)G在線(xiàn)段DE上時(shí)，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段DG上時(shí)，同理可求：BE＝16，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三