2025年廣州市四中競(jìng)賽題庫(kù)答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。---一、選擇題（每題3分，共30分）1.若函數(shù)\(f(x)=\frac{ax+b}{x+c}\)在\(x\to\infty\)時(shí)趨近于1，則\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足的關(guān)系是？A.\(a=b=c\)B.\(a=c\neqb\)C.\(b=c\neqa\)D.\(a=b=0\)2.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，\(a_5=11\)，則\(a_{10}\)等于？A.19B.20C.21D.223.設(shè)\(z=1+i\)，則\(\overline{z^2}\)等于？A.2B.-2C.0D.34.函數(shù)\(y=\sin(2x+\pi)\)的圖像關(guān)于以下哪個(gè)點(diǎn)中心對(duì)稱？A.\(\left(0,0\right)\)B.\(\left(\frac{\pi}{4},0\right)\)C.\(\left(\frac{\pi}{2},0\right)\)D.\(\left(\frac{3\pi}{4},0\right)\)5.若\(\cos\theta=\frac{3}{5}\)，則\(\sin(2\theta)\)等于？A.\(\frac{24}{25}\)B.\(\frac{7}{25}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{12}{25}\)6.在直角三角形中，若兩直角邊的長(zhǎng)分別為\(6\)和\(8\)，則斜邊上的高為？A.\(4\)B.\(4.8\)C.\(5\)D.\(6\)7.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)等于？A.6B.8C.10D.128.在四邊形\(ABCD\)中，若\(AB\parallelCD\)，且\(\angleA=110^\circ\)，\(\angleD=70^\circ\)，則\(\angleB\)等于？A.110°B.70°C.80°D.90°9.若\(f(x)=x^3-3x+2\)，則\(f'(x)\)等于？A.\(3x^2-3\)B.\(3x^2+3\)C.\(2x^3-3\)D.\(3x^2-2\)10.在一個(gè)半徑為\(R\)的圓內(nèi)，內(nèi)接正\(n\)邊形的邊長(zhǎng)公式為？A.\(2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\)B.\(2R\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\)C.\(R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\)D.\(R\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\)---二、填空題（每題4分，共20分）1.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{2}\)，則\(\frac{a+b}{ab}\)等于________。2.在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(a_4=32\)，則公比\(q\)等于________。3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)為銳角，則\(\cos\alpha\)等于________。4.函數(shù)\(y=e^x\)的反函數(shù)是________。5.在一個(gè)半徑為\(R\)的球內(nèi)，內(nèi)接正方體的體積公式是________。---三、解答題（每題10分，共50分）1.解方程：\(2x^2-3x-2=0\)。2.在直角三角形中，若兩直角邊的長(zhǎng)分別為\(a\)和\(b\)，斜邊為\(c\)，求斜邊上的高。3.若\(f(x)=x^2-4x+3\)，求\(f(x)\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。4.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=5\)，\(d=3\)，求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。5.在一個(gè)半徑為\(R\)的圓內(nèi)，內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)和面積。---答案與解析選擇題1.B解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{ax+b}{x+c}\)在\(x\to\infty\)時(shí)趨近于1，即\(\lim_{x\to\infty}\frac{ax+b}{x+c}=1\)，所以\(a=c\)，且\(b\neqc\)。2.C解析：等差數(shù)列中，\(a_5=a_1+4d\)，所以\(11=3+4d\)，解得\(d=2\)，則\(a_{10}=3+9\times2=21\)。3.A解析：\(z=1+i\)，則\(z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i\)，所以\(\overline{z^2}=-2i\)，但題目要求實(shí)部，所以答案為2。4.B解析：函數(shù)\(y=\sin(2x+\pi)\)的圖像關(guān)于\(\left(\frac{\pi}{4},0\right)\)中心對(duì)稱。5.A解析：\(\cos\theta=\frac{3}{5}\)，則\(\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)，所以\(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta=2\times\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}\)。6.B解析：直角三角形中，斜邊\(c=\sqrt{6^2+8^2}=10\)，斜邊上的高\(yùn)(h=\frac{ab}{c}=\frac{6\times8}{10}=4.8\)。7.B解析：\(\log_2x=3\)，則\(x=2^3=8\)。8.C解析：四邊形\(ABCD\)中，\(AB\parallelCD\)，所以\(\angleB+\angleD=180^\circ\)，即\(\angleB=180^\circ-70^\circ=110^\circ\)。9.A解析：\(f(x)=x^3-3x+2\)，則\(f'(x)=3x^2-3\)。10.A解析：內(nèi)接正\(n\)邊形的邊長(zhǎng)公式為\(2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\)。填空題1.2解析：\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{2}\)，則\(\frac{a+b}{ab}=2\)。2.4解析：等比數(shù)列中，\(a_4=a_1q^3\)，所以\(32=2q^3\)，解得\(q=4\)。3.\(\frac{4}{5}\)解析：\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\)。4.\(y=\lnx\)解析：函數(shù)\(y=e^x\)的反函數(shù)是\(y=\lnx\)。5.\(\frac{8}{3}R^3\)解析：內(nèi)接正方體的體積公式是\(\frac{8}{3}R^3\)。解答題1.解方程：\(2x^2-3x-2=0\)。解析：使用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，得\(x=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{3\pm5}{4}\)，所以\(x=2\)或\(x=-\frac{1}{2}\)。2.在直角三角形中，若兩直角邊的長(zhǎng)分別為\(a\)和\(b\)，斜邊為\(c\)，求斜邊上的高。解析：斜邊\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)，斜邊上的高\(yùn)(h=\frac{ab}{c}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。3.若\(f(x)=x^2-4x+3\)，求\(f(x)\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。解析：頂點(diǎn)坐標(biāo)\(\left(\frac{-b}{2a},f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)=\left(2,-1\right)\)，對(duì)稱軸為\(x=2\)。4.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=5\)，\(d=3\)，求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)