2023-2025北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

勾股定理章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京石景山初三一模）如圖，ZABC=90。，BA=BC,是—ABC內(nèi)部的射線且NCBM<45°,過

點A作AD_L3M于點。，過點C作于點E,在ZM上取點歹，使得DF=DE,連接EP.

設(shè)CE=a,BE=b,EF=c,給出下面三個結(jié)論：

①C=&（。-<7）；

@a+c<yjb2+{b—a）2;

③>Va2+b2■

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題

2.（2025北京通州初三一模）小云在學(xué)習(xí)了勾股定理后，嘗試制作了四個全等直角三角形紙板，并拼出一

個新圖形如圖所示，其中四邊形是正方形.如果跖=1,四邊形ABCD的面積為25,那么G8的長

3.（2025北京石景山初三一模）如圖，等邊她8C中，CDLA3于點，點E在2C上，CE的垂直平分

線交CD于點P,連接PE.若AB=6,BE=2,則四邊形班PD的周長為

4.（2024北京海淀初三一模）如圖，在M8C中，ZACB=90°,AB=5,AC=3.點。在射線BC上運

動（不與點8重合）.當(dāng)80的長為時，AB=AD.

BC

5.(2023北京豐臺初三一模)如圖，4ABe中，ZA=90°,AB=AC,以點2為圓心，適當(dāng)長為半徑畫

弧，分別交54,于點N,再分別以點M,N為圓心，大于;"N的長為半徑畫弧，兩弧交于點

F,作射線所交AC于點。，若點。到BC的距離為1,貝ijAC=.

6.(2023北京石景山初三一模)如圖，點0、A、8都在正方形網(wǎng)格的格點上，將△OAB繞點。順時針旋

轉(zhuǎn)后得到△04?,點A、8的對應(yīng)點4、笈也在格點上，則旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<180°)的度數(shù)為

三、解答題

7.(2025北京密云初三一模)如圖，在等腰直角三角形A3C中，ZABC=90°,。是線段AC上一點

(C4>2Cr>),連接50,過點C作8。的垂線，交8。延長線于點E,交出延長線于點F.

(1)依題意補全圖形；

(2)若NACE=cr,求3c的大小(用含a的式子表示)；

(3)若點G在線段Cb上，且CG=BZ),連接DG,用等式表示DG,CD,A3之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

8.(2023北京大興初三一模)下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完

成證明.

9.（2023北京平谷初三一模）在平面直角坐標(biāo)系無。丫中，已知點M（辦〃），我們將點M的橫縱坐標(biāo)交換位

置得到點N（%〃7）.給出如下定義：對于平面上的點C,若滿足NC=1,則稱點C為點M的“對炫點”.

y、幾

10-10-

9-9-

8-8-

7-7-

6-6-

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

_____???1??????????-_____IIIIIIIIIIIIIIF

O1234567891011121314xQ1234567891011121314x

-1-

⑴已知點4（2,0）,

①下列各點：2（0,1）,。2（1，1），2（T，2）中為點A的“對炫點”的是;

②點尸是直線y=x+2上一點，若點A是點P的對炫點，求出點尸的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點A（a,6）是第一象限內(nèi)一點，點尸是直線>=無+匕上一點，至少存在一個點P,使得點A的對炫點也

是點尸的對炫點，求。、b的取值范圍.

10.(2023北京平谷初三一模)在她BC中，BDA.AC,E為48邊中點，連接CE,8。與CE相交于點

F,過E作交BD于點,M,連接CM.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：ZEMF=ZACF；

(3)判斷CM、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

11.(2023北京順義初三一模)已知：如圖，448c中,AC=BC,NACB=90。，點。在AB邊上，點A

關(guān)于直線C。的對稱點為E,射線BE交直線CD于點F連接AF.

(1)設(shè)NACD=。，用含a的代數(shù)式表示NCB廠的大小，并求NCEB的度數(shù);

(2)用等式表示線段AF,CF,3R之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案

1.B

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識.證明

AAS),推出==BE=AD=b,推出初尸=5-%再利用等腰三角形的性質(zhì),

可以判定①正確；連接AE,根據(jù)AF+￡F>AE,可以判定②錯誤；是—ABC內(nèi)部的射線且

ZCBM<45°,可得推出從>/,推出2/〉片十加，推出+/,故③正確.

【詳解】解：CE1BM,

,\ZADB=ZBEC=90°,vZABC=90°,

:.ZABD+NCBE=9U。,ZC6E+ZC=90°,

:.ZABD=NC,

在△ADB和V5EC中，

/ADB=/C

<ZABD=ZC,

AB=CB

.?.△ADB^AfiEC(AAS),

.，.BD=EC=a,BE=AD=b,

DE=DF=b—a,

EF=c,

'c=①(b-d),故①正確,

連接AE,則AE=J/+3-a)2,

AF+EF>AE,

:.a+c>yjb2+(b-a)2,故②錯誤，

???BM是ZABC內(nèi)部的射線且4cBM<45°,

:.b>a,

.,方〉。2,

2

/.2b>。2+,

?二后>77方，故③正確.

故選：B.

2.7

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)

鍵；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=3尸=3"=GC,AF=CH,^AE=BF=x,則Ab=x+1,根據(jù)

勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：???^AFB^DGC^CHB^ADEA,

：.AE=BF=BH=GC,AF=CH,

■：正方形ABCL）的面積為25,

/.AB=5,

設(shè)AE—BF=x,則AF=JV+1,

AF2-IBF2=AB2^

/.（%+l）2+%2=52,

解得：A=3,無2=-4（舍），

:.CH=AF=x+l=4,GC=BF=3,

:.GH=GC+CH=1,

故答案為：7.

3.5+3百/3百+5

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，先利用等邊

三角形的性質(zhì)可得NACB=60。，AB=BC=AC=6,從而可得BD=3,ZBCD=30°,然后在RtzXBCD

中，利用含30度角的直角三角形可得CD=3石，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得：PE=PC,最后利

用四邊形的周長公式進(jìn)行計算，即可解答.根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：:MBC是等邊三角形，

：.ZACB=60°,AB=BC=AC=6,

■.■CDLAB,

:.BD=-AB=3,ZBCD=-ZACB=30°,

22

:.CD=y/3BD=3y/3,

QPF是CE的垂直平分線，

:.PE=PC,

???四邊形3EPD的周長=8￡>+8E+PE+￡>P

=3+2+PC+DP

=3+2+CD

=5+34,

故答案為：5+3A/3.

4.8

【分析】本題主要查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得比>=23C,再由勾

股定理求出8C的長，即可求解.

【詳解】解：：=ZACB=90°,即ACJ_BC,

BD=2BC,

在RtAABC中，AB=5,AC=3,

；?BCAAB?-AC，=4,

/.BD=2BC=8,

即當(dāng)80的長為8時，AB=AD.

故答案為：8

5.V2+1/1+V2

【分析】作DEL3C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD=OE,證明CE=DE=1,可得CZ>=jF+F=應(yīng),從

而可得答案.

【詳解】解：過點。作?DELBC于E,如圖所示，

:點。到BC的距離為1,5。平分ZABC,

??AD=DE=1,

VZA=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°=ZEDC,

：.CE=DE=1,

CD=V12+12=V2，

AC=AD+CD=y/2+l,

故答案為：V2+1.

【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意作出

合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

6.90

【分析】連通過計算三邊03、OBJ班'長度，得到三邊滿足勾股定理，得到/BOB=90。即為旋

轉(zhuǎn)角a.

【詳解】連接BB',

△OBB'中BO2+OB'2=5+5=(V10)2=BB'2

.?.△039為直角三角形，/BOB，=90°為旋轉(zhuǎn)角,

故答案為90.

【點睛】本題考查通過勾股逆定理求目標(biāo)角度，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角，找到疑似直角三角形進(jìn)行邊長關(guān)系的計算是

解題的關(guān)鍵.

7.(1)圖見解析

(2)45。一夕

⑶AB=叵CD+DG，理由見解析

【分析】本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知

識，構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)題意畫出圖形解答即可；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

(3)如圖2,連接交AC于點延長GD交BC于點證明AABT涇A3CG(SAS),得出

DM=GM,可得ADMG,AGHB、是等腰直角三角形，即可解答.

【詳解】(1)解：補全圖形，如圖1,

(2)M：-.AB=BC,ZAfiC=90°,

.?.ZSAC=404=45°,

ZACE=a,

?；CF1BD,

:.ZBEF=9Q°,

ZBCE-^ZDBC=90°,

.\ZDBC=90°-45°-a=45o-a；

(3)解：AB=4iCD+DG，理由如下：

如圖2,連接BG交AC于點M,延長GO交3C于點

c

ZABC=NBEC=90。,

ZABD+ZCBE=ZCBE+ZECB,

,\ZABD=ZECB,

?：AB=BC,BD=CG,

/.△ABP^ABCG(SAS),

/.ZCBG=ABAD=45。，AD=BG,

.\ZABG=ZCBG=ZBAC=45°,

:.AM=BM,ZAMB=90°,

?；AD=BG,

：.AD-AM=BG-BM,即DM=GM,

ZMGD=Z.GDM=45°,

:.ZBHG=90°,

:ACDH、△GHB、△。暇G是等腰直角三角形，

：.CH=DH,BH=GH,DM=GM,

設(shè)CH=a,DM=b,

:.CD=^2a，DG=gb,

.AB=BC=CH+BH=CH+GH=2CH+DG=2a+后,

:.AB=4iCD+DG.

8.見解析

【分析】利用面積法，根據(jù)大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方形面積求解即可.

91

【詳解】證明：方法一：由圖可得：(。+。)=4xy0+c2

a1+2ab+b2=2ab+c2

a2+Z?2=c1;

1o

方法二:由圖可得：4x-ab+(b-a^=c2,

2ab+a?—2ab+b?=c?

a2-i-b2=c2?

【點睛】本題考查勾股定理的證明，利用數(shù)形結(jié)合，得出大正方形面等于4個直角三角形面積加上小正方

形面積是解題的關(guān)鍵.

9.⑴①2,23;②尸（曰,2+孝］或尸卜當(dāng),2-日

（2）0<o<2>/2,b>0

【分析】⑴①根據(jù)“對炫點”的定義判定即可；②設(shè)點P的坐標(biāo)為（租，機+2）,則將其橫縱坐標(biāo)對換得到

P'（m+2,tn）,則AP=L然后根據(jù)兩點間距離公式求得相即可；

（2）如圖，點A（a,6）的所有對炫點在以8僅4）為圓心半徑為1的圓上，點尸（a,a+b）的所有對炫點在與

直線>=尤+6距離為1且互相平行的h4兩條直線上，所以滿足條件的時刻即為圓8與4、4兩條直線有

交點，然后運用勾股定理和已知條件即可解答.

【詳解】（1）解：①已知點4（2,0）,將其橫縱坐標(biāo)對換得到8（0,2）,易得。8=1,032=1

故A的“對炫點”的是2,；

故答案為2，2；

②設(shè)點P的坐標(biāo)為（根，m+2）,則將其橫縱坐標(biāo)對換得到P（m+2,m）,

由題意可得AP^l,即（m+2-2）2+（加-0）2=1,解得：m=.

所以點尸的坐標(biāo)為￥，2+日或-乎，2-孝］

⑵解：如圖，點A（a,b）的所有對炫點在以8伍,力為圓心半徑為1的圓上，點P（a,a+b）的所有對炫點

在與直線'=彳+力距離為1且互相平行的4、4兩條直線上，所以滿足條件的時刻即為圓8與4、A兩條直

線有交點即可

如圖1：BC=CD=1,ZEBD=45°,BD±ED

所以BD=BE=2

所以BE=dm+*=2五，即a?2四;

圖1

如圖2：當(dāng)時，圓與4、4兩條直線無交點，即沒有“對炫點”,

:點4(。力)是第一象限內(nèi)一點，

>0,Z?>0,

0<6Z<272.b>0.

【點睛】本題主要考查了兩點間距離公式、坐標(biāo)與圖形、“對炫點”的定義等知識點，理解“對炫點”的定義

是解答本題的關(guān)鍵.

10.⑴見解析

(2)見解析

(3)AC2+BM2=MC2,見解析

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形即可；

(2)根據(jù)垂直定義，得出“CF+ND尸C=90。，ZEMF+ZEFM=90°,根據(jù)等角的余角相等得出結(jié)論;

(3)延長ME到G使EG=EM,連接AG,CG,根據(jù)邊角邊定理證出AAGE/△3ME,

從而證出3M=AG,氏0〃AG,根據(jù)勾股定理得出AC2+AG2=GC2,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得

出CG=Q0,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：補全圖形，如圖所示：

(2)1■?BDLAC,

ZDCF+ZDFC=90°,

EMA.EF,

ZEMF+ZEFM=90°,

VZEFM=ZDFC,

NEMF=/DCF；

(3)結(jié)論：AC2+BM2=AfC2;

延長ME到G使EG=EM,連接AG,CG,

VZGEA=ZMEB,EG=EM,AE=BE,

：.&AGE%BME（SAS）,

BM=AG,

：.ZGAE=ZMBE,

BM//AG,

■：BD1AC,

..NG4c=N3DA=90。，

AC2+AG2=GC2,

VCELEM,EM=EG,

CE垂直平分MG,

CG=CM,

AC2+BM2=MC2.

【點睛