5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系_第1頁
5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系_第2頁
5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系_第3頁
5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系_第4頁
5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系_第5頁
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文檔簡介

1.平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.2.商數(shù)關(guān)系:

=tanα,α≠kπ+

,k∈Z.5.2三角函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)1

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識(shí)清單破5.2.2

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識(shí)辨析1.對任意角α,sin2

+cos2

=1都成立嗎?2.若已知sinα=

,能確定cosα的值嗎?一語破的1.都成立.2.能確定,但不唯一.cosα=±

.定點(diǎn)1利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.已知一個(gè)三角函數(shù)值求其余兩個(gè)三角函數(shù)值(1)已知sinθ(或cosθ)求cosθ(或sinθ)、tanθ的方法:(2)已知tanθ求sinθ、cosθ的方法:①將

=tanθ與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立;②利用cos2θ=

=

求出cosθ的值,再利用sinθ=cosθtanθ求出sinθ的值(也可用同樣的方法先求sin2θ的值).2.關(guān)于sinα,cosα的齊次式的求值問題(1)已知tanα的值,可以求

的值,方法是將分子、分母同時(shí)除以cosα或cos2α,將其化成關(guān)于tanα的式子,再代入tanα的值求解.(2)asin2α+bsinαcosα+ccos2α的分母為1,利用1=sin2α+cos2α化成(1)中的齊次式.3.利用sinα±cosα與sinαcosα之間的關(guān)系求值若已知sinα±cosα,sinαcosα中的一個(gè),則可以利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求出另外兩個(gè),

進(jìn)一步求得sinα,cosα的值,從而解決相關(guān)問題.典例1(1)已知α∈

,tanα=2,求cosα,sinα的值;(2)已知sinα=-

,求cosα,tanα的值.解析

(1)解法一:由已知得

由①得sinα=2cosα,代入②得4cos2α+cos2α=1,所以cos2α=

,又α∈

,所以cosα<0,所以cosα=-

,所以sinα=2cosα=-

.解法二:因?yàn)閠anα=2,sin2α+cos2α=1,所以cos2α=

=

=

,又α∈

,所以cosα<0,所以cosα=-

,所以sinα=cosαtanα=-

.(2)因?yàn)閟inα<0,sinα≠-1,所以α是第三或第四象限角.由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=1-

=

.如果α是第三象限角,那么cosα<0,于是cosα=-

,tanα=

=

;如果α是第四象限角,那么cosα>0,于是cosα=

,tanα=

=-

.綜上,當(dāng)α是第三象限角時(shí),cosα=-

,tanα=

;當(dāng)α是第四象限角時(shí),cosα=

,tanα=-

.典例2已知sinα+cosα=

,α∈(0,π).(1)求2sinαcosα的值;(2)求sinα-cosα的值;(3)求sinα,cosα,tanα的值.解析

(1)∵sinα+cosα=

,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

,∴2sinαcosα=-

.(2)∵2sinαcosα=-

<0,且α∈(0,π),∴sinα>0,cosα<0,∴α∈

,∴sinα-cosα=

=

=

.(3)由

∴tanα=

=-

.

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡或證明?常用的方法技巧(1)化切為弦,即把正切函數(shù)化成正弦、余弦函數(shù),從而減少式中函數(shù)名稱.(2)對于含有根號(hào)的三角函數(shù)式,常把被開方的式子化成完全平方式,然后去根號(hào).(3)對于含高次的三角函數(shù)式,往往借助因式分解,或構(gòu)造出sin2α+cos2α=1,以降低次數(shù).定點(diǎn)2典例1若sinα·tanα<0,化簡

+

.解析

∵sinα·tanα<0,∴cosα<0.原式=

+

=

+

=

+

=-

.典例2(1)求證:sinθ(1+tanθ)+cosθ·

=

+

;(2)已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2sin2α-1.思路點(diǎn)撥

(1)從較煩瑣的左側(cè)向右側(cè)證明,左側(cè)式子中有正弦、余弦、正切,所以可以將切

化弦進(jìn)行整理.(2)將給出的條件切化弦,再將余弦利用平方關(guān)系化為正弦,以結(jié)論為目標(biāo)推理

得證.證明

(1)左邊=sinθ

+cosθ

=sinθ+

+cosθ+

=

+

=

+

=

+

=右邊,所以原等式成立.(2)由tan2α=2tan2

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