專題二數(shù)列建知識網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系[高考點撥]數(shù)列專題是浙江新高考的必考專題之一，主要考查等差、等比數(shù)列的基本量運算及數(shù)列求和的能力，該部分即可單獨命題，又可與其他專題綜合命題，考查方式靈活多樣，結(jié)合浙江新高考的命題研究，本專題我們按照“等差、等比數(shù)列”和“數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”兩條主線展開分析和預(yù)測．突破點4等差數(shù)列、等比數(shù)列(對應(yīng)學(xué)生用書第16頁)[核心知識提煉]提煉1等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算 (1)通項公式 等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數(shù)列：an＝a1·qn－1. (2)求和公式 等差數(shù)列：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d； 等比數(shù)列：Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)(q≠1)． (3)性質(zhì) 若m＋n＝p＋q， 在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq； 在等比數(shù)列中am·an＝ap·aq.提煉2等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法： (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為同一常數(shù)； ②利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 ①利用定義，證明eq\f(an＋1,an)(n∈N*)為同一常數(shù)； ②利用等比中項，即證明aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2).提煉3數(shù)列中項的最值的求法 (1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)＝an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制． (2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解，利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而確定相應(yīng)的最值． (3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列{an}的最大項，則可解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若求數(shù)列{an}的最小項，則可解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項．[高考真題回訪]回訪1等差數(shù)列及其運算1．(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”【導(dǎo)學(xué)號：】 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 C[法一：∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列， ∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1 ∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20 若d>0，則21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20 即S4＋S6>2S5. 若S4＋S6>2S5，則10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20 ∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5” 故選C. 法二：∵S4＋S6>2S5?S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)?a6>a5?a5＋d>a5?d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5” 故選C.]2．(2015·浙江高考)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則() A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0 C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0 B[∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,4)＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展開整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－eq\f(5,3)d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－eq\f(2,3)d2<0.]3．(2014·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設(shè){an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.【導(dǎo)學(xué)號：】 [解](1)由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因為d＞0，所以d＝2，Sn＝n2(n∈N*). 5分 (2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋k－1＝13，,k＋1＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,k＝4.)) 15分4．(2013·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a (1)求d，an； (2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. [解](1)由題意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}為公差為d的等差數(shù)列得，d2－3d－4＝0， 解得d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*). 5分 (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn. 因為d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11， 6分 所以當(dāng)n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－eq\f(1,2)n2＋eq\f(21,2)n； 8分 當(dāng)n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝eq\f(1,2)n2－eq\f(21,2)n＋110. 11分 綜上所述， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n2＋\f(21,2)n，n≤11，,\f(1,2)n2－\f(21,2)n＋110，n≥12.)) 15分回訪2等比數(shù)列及其運算5．(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________. 1121[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))， ∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))是公比為3的等比數(shù)列， ∴eq\f(S2＋\f(1,2),S1＋\f(1,2))＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S1＋\f(1,2)))×34＝eq\f(3,2)×34＝eq\f(243,2)， ∴S5＝121.]6．(2015·浙江高考)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝______，d eq\f(2,3)－1[∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0. 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d 由①②解得a1＝eq\f(2,3)，d＝－1.]7．(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通項公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和． [解](1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a2＝3.)) 2分 又當(dāng)n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. 5分 (2)設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，則b1＝2，b2＝1. 當(dāng)n≥3時，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 10分 當(dāng)n≥3時，Tn＝3＋eq\f(91－3n－2,1－3)－eq\f(n＋7n－2,2)＝eq\f(3n－n2－5n＋11,2)， 13分 所以Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,\f(3n－n2－5n＋11,2)，n≥2，n∈N*.)) 15分(對應(yīng)學(xué)生用書第17頁)熱點題型1等差、等比數(shù)列的基本運算題型分析：以等差比數(shù)列為載體，考查基本量的求解，體現(xiàn)方程思想的應(yīng)用是近幾年高考命題的一個熱點，題型以客觀題為主，難度較小.【例1】(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設(shè)bn＝1＋log3an，那么數(shù)列{bn}的前15項和為()【導(dǎo)學(xué)號：】 A．152 B．135 C．80 D．16 (2)(2017·臺州市高三年級調(diào)考)已知數(shù)列{an}的前m(m≥4)項是公差為2的等差數(shù)列，從第m－1項起，am－1，am，am＋1，…成公比為2的等比數(shù)列．若a1＝－2，則m＝________，{an}的前6項和S6＝________. (1)B(2)428[(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝3，首項a1＝eq\f(30,1＋q2)＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前15項的和為eq\f(15×2＋16,2)＝135，故選B. (2)由題意，得am－1＝a1＋(m－2)d＝2m－6，am＝2m－4，則由eq\f(am,am－1)＝eq\f(2m－4,2m－6)＝2，解得m＝4，所以數(shù)列{an}的前6項依次為－2,0,2,4,8,16，所以S6＝28.][方法指津]在等差比數(shù)列問題中最基本的量是首項a1和公差d公比q，在解題時往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個量的方程組，從而求出這兩個量，那么其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法，這其中蘊含著方程思想的運用.提醒：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，務(wù)必注意公比q的取值范圍.[變式訓(xùn)練1](1)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，Sn為{an}的前n項和，若Sn＝51，則n＝__________. (2)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a5＋a9＝8π，則|an|前9項的和S9＝________，cos(a3＋a7)的值為________． (1)6(2)24π－eq\f(1,2)[(1)由a1＝1，an＋1＝an＋3，得an＋1－an＝3， 所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列． 由Sn＝n＋eq\f(nn－1,2)×3＝51，即(3n＋17)(n－6)＝0， 解得n＝6或n＝－eq\f(17,3)(舍)． (2)由{an}為等差數(shù)列得a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝eq\f(8π,3)，所以{an}前9項的和S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝9×eq\f(8π,3)＝24π.cos(a3＋a7)＝cos2a5＝coseq\f(16π,3)＝coseq\f(4π,3)＝－eq\f(1,2).]熱點題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)題型分析：該熱點常與數(shù)列中基本量的運算綜合考查，熟知等差比數(shù)列的基本性質(zhì)，可以大大提高解題效率.【例2】(1)已知實數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2a5a8＝－8，則eq\f(1,a1a5)＋eq\f(4,a1a9)＋eq\f(9,a5a9)()【導(dǎo)學(xué)號：】 A．有最大值eq\f(1,2) B．有最小值eq\f(1,2) C．有最大值eq\f(5,2) D．有最小值eq\f(5,2) (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則eq\f(S1,a1)，eq\f(S2,a2)，eq\f(S3,a3)，…，eq\f(S15,a15)中最大的項為() A.eq\f(S6,a6)B.eqB.eq\f(S7,a7) C.eq\f(S8,a8) D.eq\f(S9,a9) (1)D(2)C[(1)由題意可得a2a5a8＝aeq\o\al(3,5)＝－8，則a5＝－2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\f(1,a1a5)＋eq\f(4,a1a9)＋eq\f(9,a5a9)＝eq\f(q4,a\o\al(2,5))＋eq\f(4,a\o\al(2,5))＋eq\f(9,a\o\al(2,5)q4)＝eq\f(q4,4)＋eq\f(9,4q4)＋1≥2eq\r(\f(q4,4)·\f(9,4q4))＋1＝eq\f(5,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(q4,4)＝eq\f(9,4q4)，q2＝eq\r(3)時取等號，所以eq\f(1,a1a5)＋eq\f(4,a1a9)＋eq\f(9,a5a9)有最小值eq\f(5,2)，故選D. (2)由S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝eq\f(15×2a8,2)＝15a8>0，S16＝eq\f(16a1＋a16,2)＝16×eq\f(a8＋a9,2)<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以{an}單調(diào)遞減，因為前8項中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時eq\f(Sn,an)有最大值，即eq\f(S8,a8)最大，故選C.][方法指津]1．若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則{man＋kbn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)．2．若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數(shù))，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))仍為等比數(shù)列．3．公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比數(shù)列，且公比為eq\f(a3－a2,a2－a1)＝eq\f(a2－a1q,a2－a1)＝q.4．(1)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d.5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項的和，則eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1).[變式訓(xùn)練2] (1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，則a9＋a11＋a13＋a15＝() A．1 B．2 C．3 D．2或4 (2)已知公比q不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1＝eq\f(1,2)，前n項和為Sn，且a2＋S2，a3＋S3，a4＋S4成等差數(shù)列，則q＝________，S6＝________. (1)C(2)eq\f(1,2)eq\f(63,64)[(1)∵{an}為等比數(shù)列，∴a5＋a7是a1＋a3與a9＋a11的等比中項，∴(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝eq\f(a5＋a72,a1＋a3)＝eq\f(42,8)＝2. 同理a9＋a11是a5＋a7與a13＋a15的等比中項， ∴(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15) 故a13＋a15＝eq\f(a9＋a112,a5＋a7)＝eq\f(22,4)＝1. ∴a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. (2)由a2＋S2＝eq\f(1,2)＋q，a3＋S3＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)q＋q2，a4＋S4＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)q＋eq\f(1,2)q2＋q3成等差數(shù)列，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)q＋q2))＝eq\f(1,2)＋q＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)q＋eq\f(1,2)q2＋q3，化簡得2q2－3q＋1＝0，q≠1，解得q＝eq\f(1,2)，所以S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(63,64).]熱點題型3等差、等比數(shù)列的證明題型分析：該熱點常以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，考查學(xué)生的推理論證能力.【例3】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝eq\f(31,32)，求λ. 【導(dǎo)學(xué)號：】 [解](1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝eq\f(1,1－λ)，故a1≠0. 1分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 2分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(λ,λ－1). 3分 因此{(lán)an}是首項為eq\f(1,1－λ)，公比為eq