試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁徐匯區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考2025.6一、填空題（本大題共有12題，每題4分，滿分48分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每題填對得4分，否則一律得零分．1．兩條相交直線的夾角的取值范圍是2．若一圓錐底面半徑為1，母線長為2，則其側(cè)面積為．（結(jié)果保留）3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)，則的值為．4．若，且，則所有可能的值為．5．對學(xué)校高三年級某班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖．若高校專業(yè)對視力要求不低于0.9，則該班學(xué)生中有人能報考該專業(yè)．6．某校高中一年級共有男生204名，女生221名．徐老師為了解該校高一年級學(xué)生的身高情況，采用分層抽樣的方法，隨機(jī)抽出男生24名，女生名，則的值為．7．設(shè)，且，與（其中是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為與，則線段的長度為．8．從編號分別為1、2、3、4、5的5個大小與質(zhì)地相同的小球中隨機(jī)取出3個，則恰有2個小球編號相鄰的概率為．9．已知等差數(shù)列的公差，且，則．10．已知拋物線：，若第一象限的A，B兩點(diǎn)在拋物線上，焦點(diǎn)為F，，，，則直線的斜率k的值為．11．在平面直角坐標(biāo)系中，圓上一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)按逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，角速度大小為1弧度/秒，該圓上另一質(zhì)點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)按順時針方向做勻速圓周運(yùn)動，角速度大小也為1弧度/秒，設(shè)運(yùn)動時間為秒．當(dāng)與夾角最大時，所有滿足條件的的取值組成的集合為．12．半徑為2的球內(nèi)部有一定點(diǎn)，，過點(diǎn)作該球的截面，將該球分為兩部分，體積分別為、．類比教材中利用祖暅原理推導(dǎo)球體積的方法，可求得的最小值為．二、選擇題（本大題共有4題，每題4分，滿分16分）．13．如果事件與事件獨(dú)立，且，，、分別是、的對立事件，那么以下等式一定成立的是（

）A． B．C． D．14．如圖，正方體中，、分別是線段、線段的中點(diǎn)．則以下和直線相交的是直線（

）

A． B． C． D．15．若存在實(shí)數(shù)、，使得函數(shù)的圖像將圓分成周長、面積均相等的兩部分，則稱函數(shù)為“美好函數(shù)”．若從“，，，，，”這6個表達(dá)式中隨機(jī)選一個，則函數(shù)是“美好函數(shù)”的概率為（

）A． B．C． D．16．給定兩個不共線的向量、，且對任意正整數(shù)，和同時成立．則關(guān)于以下兩個命題的判斷，正確的是（

）①對任意正偶數(shù)，均存在正整數(shù)，使得與共線；②存在正整數(shù)，對任意正偶數(shù)，均有與不共線．A．①、②都正確 B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確 D．①、②都錯誤三、解答題（本大題共有5題，滿分56分）．17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)），其中為非零實(shí)數(shù)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前三項(xiàng)依次成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值．18．設(shè)（其中）．(1)若，、、為的三個內(nèi)角，其中，，，求線段的長度；(2)若函數(shù)最小正周期為，求函數(shù)的值域．19．藥物臨床試驗(yàn)是確證新藥有效性和安全性必不可少的步驟．某新藥臨床試驗(yàn)將14位病人志愿者平均分為、兩組，他們服用該藥物后的康復(fù)時間記錄如下：組：，，，，，，；組：12，13，15，16，17，14，，其中為實(shí)數(shù)．假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨(dú)立．(1)從組隨機(jī)選1人記為甲，求甲的康復(fù)時間不少于組第60百分位數(shù)的概率；(2)若組病人康復(fù)時間的方差小于組病人康復(fù)時間的方差，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．如圖，已知直三棱柱所有棱長均為2．過線段中點(diǎn)作平面平面，設(shè)點(diǎn)為平面與線段的交點(diǎn)．(1)求直線與平面所成角的大小；(2)求證：，并求點(diǎn)到直線的距離．21．如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”．“果圓”與軸、軸的交點(diǎn)分別為、、、．

(1)寫出半橢圓所在橢圓的離心率，并計算四邊形的面積；(2)設(shè)平行于的直線交于、兩點(diǎn)．若，求直線的方程；(3)若封閉曲線在“果圓”的內(nèi)部（含邊界），則可用曲線擬合“果圓”，將曲線與“果圓”面積的比值記為“擬合系數(shù)”，其中．問是否存在圓心在軸上的圓，使得圓的擬合系數(shù)比四邊形的擬合系數(shù)更大？若存在，求出擬合系數(shù)最大時圓的圓心坐標(biāo)和半徑；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)兩條相交直線的夾角的概念即得.【詳解】兩條相交直線的夾角的取值范圍是.故答案為：.2．【分析】利用圓錐的側(cè)面積計算公式求解即可.【詳解】底面半徑為1，則底面周長，側(cè)面展開圖的面積為，故答案為：.3．【分析】根據(jù)雙曲線的定義與方程運(yùn)算求解.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，由滿足方程，知點(diǎn)在雙曲線的右支上，.故答案為：4.4．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合特殊角的三角函數(shù)即可得答案.【詳解】若，由得；若，由得.故答案為：.5．【分析】先求得視力在0.9以上的頻率，再根據(jù)頻數(shù)、頻率、樣本容量的關(guān)系即可求得答案．【詳解】由頻率分布直方圖知：視力在0.9以上的頻率為，所以該班學(xué)生中能報專業(yè)的最多人數(shù)為．故答案為：20.6．【分析】利用抽樣比相等可求的值.【詳解】根據(jù)抽樣比可知：，解得，故答案為：7．【分析】設(shè)，且，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，寫出的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】設(shè)，則點(diǎn)，且，，則點(diǎn)，所以線段的長度為.故答案為：.8．##0.6【分析】利用列舉法寫出所有可能的基本事件，并列出所有滿足恰好兩個小球編號相鄰的可能情況，然后利用古典概型求解.【詳解】依題意得，取出的三個小球編號的所有可能為，共種，其中恰好兩個小球編號相鄰的有，共種，根據(jù)古典概型的計算公式，恰有2個小球編號相鄰的概率為：.故答案為：9．【分析】利用求出首項(xiàng)，在求和可得答案.【詳解】由公差，且，得，即，解得，則.故答案為：.10．【分析】根據(jù)拋物線的定義及弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，根據(jù)拋物線定義，，，得，由，且，得，故答案為：．11．【分析】首先求出點(diǎn)運(yùn)動時間后與軸正方向的夾角，然后依題意列出關(guān)于的等式，根據(jù)的范圍確定的取值所組成的集合.【詳解】經(jīng)時間后，與軸正向所成的角為，與正向所成的角為，依題當(dāng)夾角最大時有，，解得，又，可得或，此時為或.故答案為：.

12．【分析】類比祖暅原理得出球缺及剩余體積計算，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)球缺（球的截面分球的兩個部分）所在球體的半徑為，球缺的高度為（球垂直于截面的半徑的端點(diǎn)到截面的距離），不妨設(shè)，先用與水平面平行且經(jīng)過球缺所在球的球心的平面截球缺，則球臺的高為，下底面半徑為，上底面半徑為，由祖暅原理，球臺體積等于與之等高，底面半徑相等的圓柱挖去一個與之等高的小圓錐余下的幾何體的體積，其中小圓錐的底面半徑為，則球臺體積為，將其加上半球的體積，即得球缺的體積：.若，則可先計算另一半高為的大球缺體積，再用球的體積減去大球缺的體積，即得小球缺的體積為.類比球體積的推導(dǎo)方法，構(gòu)造一個底面半徑的圓柱，里面挖去底面為圓柱下底面，頂點(diǎn)為上底面的圓心的圓錐，則可以算得在任意高度，兩個幾何體的截面面積均為，故兩個幾何體的體積相等，由可知越大，體積越大，故當(dāng)截面垂直于時，取較大的球缺的體積為，較小的為，可得所求最小值為.故答案為：.13．C【分析】根據(jù)獨(dú)立事件、對立事件的概率公式判斷．【詳解】因?yàn)槭录c事件是相互獨(dú)立事件，則事件與事件也是相互獨(dú)立事件，所以，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C符合題意；，故D不符合題意.故選：C14．D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用線面平行的判斷和性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、異面直線的定義、平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】連接，正方體中，是線段的中點(diǎn)，所以是線段的中點(diǎn).

由，平面平面得∥平面所以與不相交，故A不正確；由、分別是線段、的中點(diǎn)，得∥，故B不正確；由平面，，平面，得與直線異面，故C不正確；對于D，因?yàn)椤?，，所以與直線不平行，又，平面,所以與直線相交，故D正確.

故選：D.15．B【分析】根據(jù)圓的對稱性可知“美好函數(shù)”應(yīng)該是一個中心對稱函數(shù)，且含對稱中心的連續(xù)區(qū)間長度超過4，然后根據(jù)所給函數(shù)的解析式判斷奇偶性，最后利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】圓，即，其圓心為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像將圓分成周長、面積均相等的兩部分，所以函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，所以“美好函數(shù)”應(yīng)該是一個中心對稱函數(shù)，且含對稱中心的連續(xù)區(qū)間長度超過4.都是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱且含對稱中心的連續(xù)區(qū)間長度超過4,都是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，不符合題意，都是非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不符合題意.所以，從6個函數(shù)的表達(dá)式中隨機(jī)選一個，則函數(shù)是“美好函數(shù)”的概率為.故選：B.16．A【分析】設(shè)，則可有，要使與共線，則，再判斷（1）、（2）可得答案.【詳解】設(shè)，則可有，其中與不共線，要使與共線，則.（1）對任意的正偶數(shù)，總存在正整數(shù)，使得與共線，故（1）對；

（2）取，則，故不存在正偶數(shù)使得與共線，故（2）對.故選：A.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用與的關(guān)系求出通項(xiàng)公式.（2）利用等比數(shù)列列式計算得解.【詳解】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時，，而，，不滿足上式，所以.（2）依題意，，由數(shù)列的前三項(xiàng)依次成等比數(shù)列，得，解得，當(dāng)時，均不為0，所以.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理，即可求解；（2）根據(jù)條件得，利用倍角公式和輔助角公式得，再由的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以，，又，由正弦定理，得到.（2）由題知，得到，所以，則，又，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?19．(1)(2)【分析】（1）先求出組第60百分位數(shù)，再根據(jù)組中康復(fù)時間不少于中位數(shù)的人數(shù)，即可求解；（2）分別求出、組的方差，根據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】（1）由，得組第60百分位數(shù)為第5個數(shù)：，組中康復(fù)時間不少于共有3人，故從組隨機(jī)選1人記為甲，求甲的康復(fù)時間不少于組第60百分位數(shù)的概率為.（2）組病人康復(fù)時間的平均數(shù)；組病人康復(fù)時間的方差為；組病人康復(fù)時間的平均數(shù)；組病人康復(fù)時間的方差為由,得,化簡，得，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．(1)(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)線面角定義求得線面角平面角，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)面面平行可得平面，再由線面平行的性質(zhì)即可證明；在中，求得邊長，利用余弦定理得，再由三角函數(shù)計算即可求解.【詳解】（1）在直三棱柱中，有平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，所以，即直線與平面所成角的為；（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，連接，，，在直三棱柱中，底面為正三角形，所以，，，在中，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為.21．(1)(2)(3)存在，圓心為，半徑為【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和性質(zhì)求解即可.（2）首先設(shè)出直線方程，然后與半橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和線段長度，求出的值，進(jìn)而得到直線的方程.（3）先設(shè)出圓的方程，確定半徑的范圍，并討論的范圍，最后確定的值并比較圓的面積和四