試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁曹楊二中高一期末數(shù)學(xué)試卷2025.06一.填空題1．是虛數(shù)單位，則．2．若，則3．設(shè)為單位向量.若向量滿足：，則在方向上的投影為4．在長方體中，，，，則異面直線和的距離為5．一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是邊長為1的正方形（如圖所示），則原平面圖形的周長為．

6．如圖，在平行四邊形ABCD中，，.將△ACD沿對(duì)角線AC折起，使二面角的大小為，則B、D兩點(diǎn)的距離為7．已知向量，，滿足，，且，則．8．設(shè)，已知方程的兩虛根為、.若，則9．設(shè)復(fù)數(shù)滿足.若為實(shí)數(shù)，則10．已知，，若在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11．在正方體中，E、F分別是棱的中點(diǎn).若正方體的棱長為1，則過A、E、F的平面截正方體所得截面的周長為12．著名數(shù)學(xué)家傅立葉認(rèn)為所有的樂聲都能用一些形如.的正弦型函數(shù)之和來描述，其中頻率最低的一項(xiàng)是基音，其余的為泛音.研究表明，所有泛音的頻率都是基音頻率的整數(shù)倍，稱為基音的諧波.若對(duì)應(yīng)于的泛音是對(duì)應(yīng)于的基音的一個(gè)諧波，則正整數(shù)n的所有可能取值之和為二.選擇題13．設(shè)，已知向量若則x=（

）A．2 B．-2 C． D．14．設(shè)，，若復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則（

）A．， B．，C．， D．，15．設(shè)是不小于2的整數(shù).已知是圓上個(gè)兩兩互異的點(diǎn)，則使得“”是點(diǎn)“等分圓”的充要條件的共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無窮多個(gè)16．已知A、B、C、D是空間中不共面的四點(diǎn).平面滿足:①A、B、C、D四點(diǎn)均不在平面上，也不在平面的同側(cè)；②若平面與A、B、C、D間的連線段有公共點(diǎn)，則該公共點(diǎn)一定是此線段的中點(diǎn)或兩個(gè)四等分點(diǎn)之一.設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)到平面α的距離分別為，則的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合是（

）A． B． C． D．三.解答題17．如圖，在直三棱柱，，D是棱AB(不含端點(diǎn))上的一點(diǎn).(1)若，求異面直線與所成角的大小;(2)若，求點(diǎn)B到平面的距離.18．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求證：；(2)若，求的面積．19．如圖，是圓柱的一條母線，是底面的一條直徑，C、D是底面圓周上兩點(diǎn)(C在劣弧上)，且，設(shè)M為中點(diǎn)，已知平面，(1)求證:；(2)若圓柱的體積與側(cè)面積均為，求直線與平面所成角的大小.20．如圖，在四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，，，，，，

(1)求證:直線與直線是異面直線；(2)若二面角的余弦值為求k的值；(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案.試問共有幾種不同的拼接方案?請(qǐng)簡要說明.在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，求的表達(dá)式.21．設(shè)(1)若且，求x的值；(2)在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，設(shè)M為AB邊的中點(diǎn).若且，求的大?。?3)設(shè)常數(shù)求證：對(duì)任意，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上均有解.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【詳解】分析：利用復(fù)數(shù)模的定義可求解．詳解：，故答案為．點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的模，掌握模的計(jì)算公式是解題基礎(chǔ)，本題是容易題．2．##【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得：.因?yàn)?，所?故答案為：3．【分析】由投影公式，代入已知條件即可求解【詳解】向量在方向上的投影為：故答案為：-14．【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)得出是異面直線和的公垂線；再根據(jù)異面直線間距離的定義即可求解.【詳解】由長方體性質(zhì)可得：，平面.因?yàn)槠矫?所以，則是異面直線和的公垂線，所以異面直線和的距離為故答案為：5．8【分析】根據(jù)斜二測畫法還原平面圖，利用勾股定理求邊長，然后可得.【詳解】因?yàn)闉檫呴L為1的正方形，所以，還原平面圖如圖，中，，所以，所以的周長為.故答案為：8

6．2【分析】過點(diǎn)做至點(diǎn)，使得，將二面角轉(zhuǎn)化為平面角，再證明，通過余弦定理和勾股定理，得到的長度.【詳解】過點(diǎn)做至點(diǎn)，使得，連接，.平行四邊形中，，可得由，，可得為平行四邊形，，可得為正方形.，所以是二面角的平面角，即所以在中，由余弦定理可得由平面，可得平面，所以平面而平面，所以在中，有勾股定理可得故答案為：27．##0.8【分析】根據(jù)已知條件依次求出、、，接著求出、和即可結(jié)合向量夾角余弦公式求解.【詳解】由題，故即，，；，故即，，；，故即，，，所以，且，，所以.故答案為：.8．5【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的共軛和韋達(dá)定理求值.【詳解】因?yàn)?，方程的兩虛根為、，所?可設(shè)，則（不妨設(shè)），則根據(jù)韋達(dá)定理，得：，又，所以，，.故答案為：59．2或【分析】先設(shè)，再根據(jù)為實(shí)數(shù)求出的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)，所以，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，所以或.若，則；若，則.故答案為：10．【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，由題意將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，借助點(diǎn)到直線距離列式即可求.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，則，所以，即，因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心的單位圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以與以原點(diǎn)為圓心的單位圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，故答案為：11．【分析】采用延長交線法，連接，延遲與的延長線交于點(diǎn)，與的延遲線交于點(diǎn)，連接，與分別交于，連接，即截面圖形為，再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】采用延長交線法，連接，延長與的延長線交于點(diǎn)，與的延遲線交于點(diǎn)，連接，與分別交于，連接，即截面圖形為，因?yàn)镋、F分別是棱的中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可得，所以分別為三等分點(diǎn)，所以，所以截面的周長為.故答案為：.12．8【分析】根據(jù)所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，經(jīng)檢驗(yàn)后得到或6，所有可能取值之和為8.【詳解】因?yàn)樗蟹阂舻念l率都是基本音頻率的整數(shù)倍，所以，，，所以，，，兩式相加得，，所以，其中，故，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合要求，綜上，或6，所有可能取值之和為8.故答案為：813．C【分析】由兩向量平行的充要條件結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】設(shè),,則，所以由題意可得,即,解得故選：C14．A【分析】化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，∵，∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，∴，解得，故選：A.15．B【分析】分，，三種情況討論可判定結(jié)論.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，兩向量共線反向，平分圓，符合題意，當(dāng)，由，設(shè)圓的半徑為1，變形可得，兩邊平方可得，所以，解得，因?yàn)?，所以，同理可得，，所以平分圓，若時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，只要分為對(duì)，每對(duì)共線，可得，比如過圓心的兩條直線與圓相交的四個(gè)點(diǎn)，滿足，但不平分圓，所認(rèn)不一定平分圓，故不符合題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可分三個(gè)點(diǎn)，使這三個(gè)向量滿足，可得平分圓，另外剩余的一定是偶數(shù)點(diǎn)，由前面知道，這些點(diǎn)可分組，但不一定平分圓，故可得不一定平分圓，綜上所述，可得只有與符合題意.故選：B16．B【分析】分類討論確定平面的位置，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，進(jìn)行分析判斷即可求解.【詳解】當(dāng)平面與A、B、C、D間的連線段的中點(diǎn)相交時(shí)，不妨設(shè)平面過，，的中點(diǎn)，，，此時(shí)點(diǎn)A、B到平面的距離相等，且平面平面，如圖（1）所示，此時(shí)B、C、D到平面的距離可能與A、B到平面的距離相同，此時(shí)有1個(gè)不同的值；不妨設(shè)平面過的中點(diǎn)，且過的四等分點(diǎn)，如圖（2）所示，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離相等，且到平面的距離相等，且到平面的距離與到平面的距離不相等，此時(shí)有2個(gè)不同的值；不妨設(shè)平面過的中點(diǎn)，且過的四等分點(diǎn)，如圖（3）所示，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離相等，且到平面的距離與到平面的距離不相等，此時(shí)有2個(gè)不同的值；不妨設(shè)平面過的中點(diǎn)，過的靠近的四等分點(diǎn)，過靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，如圖（4）所示，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離相等，到平面的距離不同，且和到平面的距離兩兩之間都可能不同，此時(shí)有3個(gè)不同的值；又因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)均不在平面上，也不在平面的同側(cè)，所以不能有4個(gè)不同的值（若有4個(gè)不同的值，四個(gè)點(diǎn)必然在平面的同側(cè)），所以的所有不同值的個(gè)數(shù)組成的集合為.故選：B.17．(1)；(2)【分析】（1）如圖可得為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，然后由題意結(jié)合余弦定理可得答案；（2）如圖，做，由題可得此時(shí)滿足題意，然后由等體積法結(jié)合題意可得答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)為E，連接，取中點(diǎn)為F，中點(diǎn)為G，連接，則由題易得，，取中點(diǎn)為N，連接，則，，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.由題，則，由題可得，則，從而.由題，E為中點(diǎn)，則，連接NF，則.則，又異面直線夾角范圍為，則異面直線與所成角的大小為；（2）如圖，做，由題可得平面，又平面，則，因平面，，則平面，又平面，則此時(shí)，滿足題意.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為，則，則.注意到，由射影定理：，則.，又由題可得，則，結(jié)合，則.則.18．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及和差角公式即可證明.（2）根據(jù)正弦定理求得，再根據(jù)余弦定理求出，利用面積公式求出的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得：又，所以，所以，即，所以，或（舍），所以.（2）根據(jù)正弦定理得，即，有余弦定理，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，則，，而，矛盾，舍去，故，所以的面積為19．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，結(jié)合題目條件得到平面平面，由面面平行的性質(zhì)得到，得到四邊形為平行四邊形，故，所以；（2）根據(jù)圓柱的體積與側(cè)面積均為，求出圓柱的底面半徑和高，作出輔助線，求出各邊長，利用等體積法求出到平面的距離，設(shè)直線與平面所成角為，則，得到答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镸為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，故，所以；?）設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則且，解得，連接，由（1）知，四邊形為平行四邊形，又，故平行四邊形為菱形，又，故均為等邊三角形，，同理可知四邊形為菱形，故，⊥，⊥，由勾股定理得，又⊥平面，平面，所以⊥，⊥，由勾股定理得，，又，，由勾股定理逆定理得，故，其中，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，即，解得，由勾股定理得，設(shè)直線與平面所成角為，則，故.20．(1)證明見解析(2)1(3)3種；【分析】（1）根據(jù)異面直線判定定理（過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線）進(jìn)行證明；（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，證明平面從而確定二面角的平面角為，利用列方程求k.（3）根據(jù)題意，共有三種拼接方法：底面與底面拼接、以平面進(jìn)行拼接、以平面進(jìn)行拼接，分別求出三種拼接方法得到的新四棱柱的表面積，比較大小，求出的表達(dá)式.【詳解】（1）因?yàn)橹本€平面，平面，平面，，所以直線與直線是異面直線.（2）過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接,

在中，，，解得，因?yàn)榈酌?，故底面ABCD，則，因?yàn)?，平面，所以平面，則,所以是二面角的平面角，所以，因?yàn)?，所以，解得，則.（3）兩個(gè)四棱柱的表面積為：，根據(jù)題意，要拼接得新四棱柱，共三種拼接方法：①底面與底面拼接，新四棱柱的表面積為：；②以平面進(jìn)行拼接，新四棱柱的表面積為：；③以平面進(jìn)行拼接，新四棱柱的表面積為：；因?yàn)椋?/p>