二平行線分線段成比例定理[對應(yīng)學(xué)生用書P4]1．平行線分線段成比例定理(1)文字語言：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．(2)圖形語言：如圖l1∥l2∥l3，則有：eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF)，eq\f(BC,AC)＝eq\f(EF,DF).變式有：eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EF)，eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，eq\f(BC,EF)＝eq\f(AC,DF).[說明]“對應(yīng)線段”是指一條直線被兩條平行線截得的線段與另一條直線被這兩條平行線截得的線段成對應(yīng)線段．如圖中AB和DE；而“對應(yīng)線段成比例”是指同一條直線上的兩條線段的比等于與它們對應(yīng)的另一條直線上的兩條線段的比．2．平行線分線段成比例定理的推論(1)文字語言：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例．(2)圖形語言：如圖l1∥l2∥l3，則有：eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，eq\f(DB,AB)＝eq\f(CE,AC).3．平行線分線段成比例定理的作用平行線分線段成比例定理及推論是研究下一節(jié)相似三角形的理論基礎(chǔ)，它可以判定線段成比例．另外，當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時，常用該定理借助“中間比”轉(zhuǎn)化成另兩條線段的比，來得出正確結(jié)論．合理添加平行線，運用定理及推論列比例式，再經(jīng)過線段間的轉(zhuǎn)換可以求線段的比值或證明線段間倍數(shù)關(guān)系．[對應(yīng)學(xué)生用書P5]平行線分線段成比例定理[例1]已知：如圖，AD∥BE∥CF，EG∥FH.求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(EG,FH).[思路點撥]由題目中的兩組平行線，利用平行線分線段成比例定理，尋求與eq\f(AB,AC)，eq\f(EG,FH)均相等的公共比例式．[證明]∵AD∥BE∥CF，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF).又∵EG∥FH，∴eq\f(EG,FH)＝eq\f(DE,DF).∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(EG,FH).平行線分線段成比例定理的解題思路(1)觀察圖形和已知條件，找出圖中的三條平行線和被平行線所截的兩條直線；(2)分析截線上的對應(yīng)線段，寫出相應(yīng)的比例關(guān)系；(3)靈活運用比例性質(zhì)或“中間比”進行線段比的轉(zhuǎn)化，達到求線段比或證明線段成比例的目的；(4)注意定理基本圖形的幾種變式情形，在復(fù)雜圖形中識別能夠應(yīng)用定理的圖形．1．如圖，AD∥EF∥BC，eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,3)，DF＝4cm，則FC＝________cm.解析：∵AD∥EF∥BC，∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(DF,FC).又eq\f(AE,BE)＝eq\f(2,3)，DF＝4cm，∴FC＝6cm.答案：62．已知：如圖所示，l1∥l2∥l3，eq\f(AB,BC)＝eq\f(m,n).求證：eq\f(DE,DF)＝eq\f(m,m＋n).證明：∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(m,n).∴eq\f(EF,DE)＝eq\f(n,m)，則eq\f(EF＋DE,DE)＝eq\f(n＋m,m)，即eq\f(DF,DE)＝eq\f(m＋n,m).∴eq\f(DE,DF)＝eq\f(m,m＋n).平行線分線段成比例定理的推論[例2]已知：如圖，點E是?ABCD邊CD延長線上的一點，連接BE交AC于點O，交AD于點F.求證：OB2＝OE·OF.[思路點撥]利用AB∥CE，AF∥BC得出所要比例關(guān)系．[證明]因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AD∥BC.由AB∥CE，得eq\f(OB,OE)＝eq\f(OA,OC).由AF∥BC，得eq\f(OA,OC)＝eq\f(OF,OB).所以eq\f(OF,OB)＝eq\f(OB,OE)(等量代換)．即OB2＝OE·OF.運用平行線分線段成比例定理的推論來證明比例式或求線段的長度時，應(yīng)分清相關(guān)三角形中的平行線段及所截邊，在解答過程中要靈活應(yīng)用比例性質(zhì)．3．已知：如圖，D為BC的中點，AG∥BC，求證：eq\f(EG,ED)＝eq\f(AF,FC).證明：因為AG∥BC，所以eq\f(EG,ED)＝eq\f(AG,BD)，eq\f(AF,FC)＝eq\f(AG,DC)，又BD＝DC，所以eq\f(EG,ED)＝eq\f(AF,FC).4.如圖，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12cm，求AE，DG的長．解：∵AE∥CF，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AB,BC).∴AE＝eq\f(AB,BC)·CF.∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12cm，∴AE＝eq\f(91,2)×12＝6(cm)．∵CF∥DG，∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(CF,DG).∵eq\f(BC,CD)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(2,5).∴DG＝eq\f(BD,BC)·CF＝eq\f(5,2)×12＝30(cm).通過添加平行線構(gòu)造基本圖形尋找公共比[例3]如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，E為BC中點，延長AC、DE相交于點F，求證：eq\f(AC,BC)＝eq\f(AF,DF).[思路點撥]由已知條件，結(jié)合圖形特點，可添加平行線，構(gòu)造出能夠運用平行線分線段成比例定理或推論的基本圖形，再結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，找出公共比，得證．[證明]作EH∥AB交AC于點H，則eq\f(AC,AH)＝eq\f(BC,BE)，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AH,BE).同理：eq\f(AF,AH)＝eq\f(DF,DE)，∴eq\f(AF,DF)＝eq\f(AH,DE).∵△BDC為直角三角形，且E為BC邊中點，∴BE＝CE＝DE.∴eq\f(AH,BE)＝eq\f(AH,DE).∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(AF,DF).證明比例式成立，往往會將比例式中各線段放到一組平行線中進行研究．有時圖形中沒有平行線，要添加輔助線，構(gòu)造相關(guān)圖形，創(chuàng)造可以形成比例式的條件，達到證明的目的．5．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且EF∥BC，若eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，AD＝8cm，BC＝18cm，求EF長．解：作AG∥DC分別交BC，EF于G，H，BG＝18－8＝10(cm)．∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(2,5).∴eq\f(EH,BG)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(2,5).∴EH＝eq\f(2,5)×BG＝eq\f(2,5)×10＝4(cm)．∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．6．如圖所示，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD與CE相交于F，求eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值．解：過點D作DG∥AB交EC于G，則eq\f(DG,BE)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(CG,EC)＝eq\f(1,3)，而eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，即eq\f(AE,BE)＝eq\f(DG,BE)，所以AE＝DG.從而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，故eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(EF,2EF)＋eq\f(AF,AF)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).[對應(yīng)學(xué)生用書P6]一、選擇題1．如圖，在△ACE中，B、D分別在AC、AE上，下列推理不正確的是()A．BD∥CE?eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CE)B．BD∥CE?eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE)C．BD∥CE?eq\f(AB,BC)＝eq\f(AD,DE)D．BD∥CE?eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,CE)解析：由平行線分線段成比例定理的推論不難得出A、B、C都是正確的，D是錯誤的．答案：D2．如圖，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()A．10 B．12C．16 D．18解析：∵AB∥EF∥CD，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(20,80)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(4,5)，∴EF＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×20＝16.答案：C3．如圖，平行四邊形ABCD中，N是AB延長線上一點，則eq\f(BC,BM)－eq\f(AB,BN)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(3,2)解析：∵DC∥BN，∴eq\f(BC,BM)＝eq\f(ND,MN).又BM∥AD，∴eq\f(AB,BN)＝eq\f(DM,MN).∴eq\f(BC,BM)－eq\f(AB,BN)＝eq\f(ND,MN)－eq\f(DM,MN)＝eq\f(ND－DM,MN)＝eq\f(MN,MN)＝1.答案：C4．如圖，將一塊邊長為12的正方形紙ABCD的頂點A，折疊至DC邊上的點E，使DE＝5，折痕為PQ，則線段PM和MQ的比是()A．5∶12 B．5∶13C．5∶19 D．5∶21解析：如圖，作MN∥AD交DC于N，∴eq\f(DN,NE)＝eq\f(AM,ME).又∵AM＝ME，∴DN＝NE＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(5,2).∴NC＝NE＋EC＝eq\f(5,2)＋7＝eq\f(19,2).∵PD∥MN∥QC，∴eq\f(PM,MQ)＝eq\f(DN,NC)＝eq\f(\f(5,2),\f(19,2))＝eq\f(5,19).答案：C二、填空題5．如圖所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，則AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(EF,BF).∵BF∶EF＝3∶2，∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26．如圖，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，則DB∶AB的值為________．解析：由AE∶EC＝7∶3，得EC∶AC＝3∶10.根據(jù)MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC＝3∶10.答案：3∶107．如圖，在△ABC中，點D是AC的中點，點E是BD的中點，AE的延長線交BC于點F，則eq\f(BF,FC)＝________.解析：過點D作DM∥AF交BC于點M.∵點E是BD的中點，∴在△BDM中，BF＝FM，∵點D是AC的中點，∴在△CAF中，CM＝MF.∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(BF,FM＋MC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．如圖所示，DE∥BC，EF∥DC，求證：AD2＝AF·AB.證明：因為DE∥BC，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)(平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的對應(yīng)線段成比例)．因為EF∥DC，所以eq\f(AF,AD)＝eq\f(AE,AC).所以eq\f(AF,AD)＝eq\f(AD,AB)，即AD2＝AF·AB.三、解答題9．如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm，求BE和DE的長．解：∵DE∥AC，∴∠3＝∠2.又AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3，即AE＝ED.∵DE∥AC，EF∥BC，∴四邊形EDCF是平行四邊形．∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.設(shè)AE＝DE＝FC＝x.由EF∥BC得eq\f(AE,BE)＝eq\f(AF,FC)，即eq\f(x,15－x)＝eq\f(4,x)，解之得x1＝6，x2＝－10(舍去)．∴DE＝6cm，BE＝15－6＝9cm.10.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過梯形對角線的交點O，且EF∥AD.(1)求證：EO＝OF；(2)求eq\f(EO,AD)＋eq\f(EO,BC)的值；(3)求證：eq\f(1,AD)＋eq\f(1,BC)＝eq\f(2,EF).解：(1)證明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC，∴eq\f(EO,BC)＝eq\f(AE,AB)，eq\f(OF,BC)＝eq\f(DF,DC).∵EF∥AD∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(DF,DC).∴eq\f(EO,BC)＝eq\f(OF,BC).∴EO＝OF.(