專題1.2等差數列教學目標1、理解等差數列概念，能夠利用概念判斷、證明等差數列；能夠解等差中項問題；2、掌握等差數列的通項公式與前n項和公式及變形，理解等差數列的通項公式、前n項和公式與一次函數(二次函數)的關系，能熟練進行等差數列的基本量計算；3、掌握等差數列的常用性質及應用；4、能在實際應用問題中發(fā)掘出等差數列關系，從而解決實際應用題；教學重難點1、重點：(1)等差數列的有關概念；(2)等差數列通項公式及變形；(3)等差數列的前n項和公式；(4)等差數列的常用性質．2、難點：(1)片段和；(2)奇數項和與偶數項和；(3)等差數列前n項和的最值；(4)等差、等比數列綜合.知識點01等差數列的有關概念1、等差數列有關概念(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一常數，那么這個數列叫做等差數列．這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示，定義的表達式為an+1?an=d(n∈N*)或an－an－1＝d(常數)(n≥2，n(2)等差中項：如果a，A，b成等比數列，那么A叫做a與b的等比中項，此時，2A＝a+b.【即學即練】在等差數列中，若a3=10,a7=2，那么A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解】根據等差中項，可得2a5=知識點02等差數列的通項公式an=a變形：an=am+(n?m)d(m∈N?,與函數關系：an【即學即練1】(通項公式)在等差數列中，a1=3,a4=15，則A．19B．23C．27D．30【答案】C【解】由a4=a1【即學即練2】(通項公式變形)在等差數列中，a3=2,a5=4，則A．12B．13C．14D．15【答案】D【解】由a3=2,a5=4得知識點03等差數列前n項和公式Sn=na1【即學即練】若等差數列前項和為，a1=1,S4=5，則SA．192 B．10 C．212 【答案】A【解】由S4=5得4a1+4×知識點04等差數列的性質1.角標和：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am+an＝ap+aq＝2a2.若數列{an}，{bn}(項數相同)是等差數列，則{λan}，ka3.衍生等差數列(1)等間距等差：等差數列{an}中，an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…也是等差數列，公差為kd；(2)片段和(等長度等差)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差，公差為n2(3)算術平均值等差：Snn也是等差數列，公差為d2；若c6.常用結論(1)在等差數列{an}中，a1與d是最基本的兩個量，一般可列出關于a1和d的方程(組)求解．(2)等差數列涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，(知三求二)．(3)(i)若等差數列{an}的項數為偶數2n，則S偶－S奇＝nd，注意：若項數為n(偶數)，則S偶－S奇=(ii)若等差數列{an}的項數為奇數2n＋1，則(a)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(b)S奇(4)若兩個等差數列an,bn的前n項和分別為：(5)等差數列an中，若an=m,(6)等差數列an中，若Sn=m,(7)等差數列an中，若Sn=A． B．73 C．1 D．2【答案】D【解】S9=9(a【即學即練2】(片段和)已知等差數列{an}的前10項和為30，它的前30項和為210，則前20項和為()A．100B．120C．390D．540【答案】A【解】因為an等差，所以S10，S20－S10，S30－S20也等差，即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)即2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100．【即學即練3】(等間距等差)記等比數列，若a4=1,a13=81，則A．3 B．9 C．27 D．81【答案】D【解】由等比數列的性質，可得b1其公比滿足：(q')3=b4【即學即練4】(奇數項和與偶數項和)已知等差數列{an}的公差為4，其項數為偶數，所有奇數項的和為15，所有偶數項的和為55，則這個數列的項數為()A．10B．20C．30D．40【答案】B【解】因為d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝eq\f(n,2)d＝2n＝40，所以n＝20，故選B．【即學即練5】兩個等差數列an,bn的前n項和分別為：Sn,Tn，已知【答案】9316；154【解】(1)a7(2)因為SnT則a3=S3?S2=(7知識點05判斷、證明等差數列1.判斷、證明等比數列常用的方法：(1)定義法：an+1?an=d(n∈N*)或an－an－1＝d(常數)(n≥2，n∈N*)?【提醒】用定義證明等差數列時，容易漏掉對起始項的檢驗，從而產生錯解．比如，滿足an－an－1＝1(n≥3)的數列{an}并不能判定為等差數列，因為不能確定起始項a2－a1是否等于1．(2)等差中項法：2an+1=an(3)通項公式法：an=kn+t?數列a(4)前項和公式法：Sn=kn2+tn?其中前兩種方法是證明等比數列的常用方法，而后兩種方法一般用于選擇題、填空題中．2.判斷數列不是等差數列：只需判斷存在連續(xù)三項不成等差數列即可．【即學即練】已知數列an的前n項和為Sn，若anA．an為等差數列B．an為等比數列C．Sn為等差數列【答案】B【分析】AB選項，根據an=S1,n=1S【解】AB選項，當n=1得a1+2=2aan+2=2Snn∈N?式子①②得an?a所以an為2,?2,2,?2?，是公比為?1CD選項，由于S1=2,S2=0,由于S2=0，故知識點06等差數列與函數的關系1.等差數列與一次函數的關系an=a當d≠0時，an是關于n的一次函數；當d>02.等差數列前項和公式可變形為Sn=d2n2+(a13.求等差數列{an}的前n項和Sn的最值的方法【即學即練】已知Sn為等差數列an的前n項和，且S2=35，a3【答案】7【解】方法一：設an公差為d，由題意得則Sn=19n+n(n?1)2×(?3)=?3注：也可用對稱軸n=416=7?16，但n方法二：設an公差為d，由題意得2a1令?3n+22≥0,?3(n+1)+22≤0,?即數列an的前7項均所以n=7時，Sn取得最大值.題型01等差數列的基本量計算A.112 B.122 C.132 D.142A.21 B.19 C.12 D.42A.64 B.14 C.12 D.3【答案】3【分析】設出公差，根據求和公式建立方程組，求得首項與公差，利用通項，可得答案.題型02等差數列的角標和性質A．4 B． C． D．【答案】C【分析】利用下標和性質計算可得.A．14 B．12 C．28 D．36A．45 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】利用等差數列的性質求解.【答案】16【分析】利用等比數列通項的性質求解即可．【解】因為是等比數列，設其公比為，題型03等差數列的片段和性質【典例3】(2025屆湖南省寧遠縣三中等高三上入學聯考T4)等差數列中，a3+則a1+aA.20 B.30 C.40 D.50【答案】C【解】由題意5a7=100，所以a7=20A.34 B.39 C.42 D.45【答案】B【解】由S5則2(S10?S5)=SA.44 B.56 C.68 D.84【變式33】設等差數列an的前n項和為Sn，若S3=9，【答案】189【解】由等差數列性質知：S3，其公差為d所以S3所以a7故答案為：189.題型04奇數項和與偶數項和【典例4】已知等差數列的項數為奇數，且奇數項的和為40，偶數項的和為32，則______.【答案】B【分析】根據條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.【解】設等差數列的公差為，首項為，等差數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，等差數列的前30項中奇數項有15項，【答案】10【分析】根據等差數列的求和公式，結合等差數列的性質，即可求解.【解】(1)因為為等差數列，且與的等差中項為5，題型05兩個等差數列的關系【典例5】設等差數列an,bn的前n項和分別為：Sn【答案】3143【解】因為an,b所以.a5+a【變式51】兩個等差數列an,bn的前n項和分別為：Sn【答案】167【解】因為an,b所以a3b3=【變式52】兩個等差數列an,bn的前n項和分別為：Sn【答案】318【解】SnTn故答案為：318【變式53】已知數列an,bn都是公差為1的等差數列，其首項分別為a1,b1，且a1+b1【答案】n2+13n2所以cn所以cn為c1=7所以Mn=n×題型06判斷、證明等差數列【變式61】已知數列an各項為正數，bn滿足an2=A．bn是等差數列B．bn是等比數列C．bn是等差數列【答案】C【分析】可知數列bn的每一項都是正數，由已知條件可得出b【解】因為數列an各項為正數，bn滿足an故對任意的n∈N?，bn+1=a所以，bnbn+1由等差中項法可知，數列bn【變式62】(多選)(2023安徽蕪湖模擬)下面是關于公差d>0的等差數列an的四個命題，其中正確的有(

A．數列a2n?1是等差數列 B．數列2C．數列ann是遞增數列 D．數列【答案】ABD【分析】由題意寫出等差數列的通項公式，根據公差d>0，逐一寫出四個選項的通項公式，利用等差數列的定義以及函數單調性加以判斷即可.【解】設等差數列的首項為a1，所以a對于A，由an=dn+a1?d，則a2n?1=d(2n?1)+對于B，由an=dn+a則2a所以數列2an?1對于C，由an=dn+a當a1?d≥0時，數列對于D，由an=dn+a所以an+1+3d(n+1)?【變式63】(2024江蘇南通二模)設數列an的前n項和為Sn，若Sn(1)求a1，a2，并證明：數列an【答案】(1)a1=4，a2=2；(2)420【分析】(1)直接代入n=1可得a1=4，再代入n=2，結合a1的值求出a2=2；再由S【解】(1)當n=1時，由條件得a1?1當n=2時，由條件得a1+a因為Sn?1兩式相減得：an?1所以an+1(2)由(1)知an+a所以數列an+1+a所以S20所以S20題型07等差數列的最值問題【典例7】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時n的值為()A．5B．6C．7D．8【答案】D【解】法一：設數列{an}的公差為d，則由題意得，a1+5d+所以an＝－2n＋17，所以a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值時n的值是8，故選D．法二：設數列{an}的公差為d，則由題意得，a1+5d+則Sn＝15n＋n(n?1)2×(?2)＝－(n－8)2＋64，所以當n＝8時，Sn取得最大值A．2021 B．4039 C．2020 D．4040故選：C.A． B． C． D．所以為遞減數列，且前項為正值，從第項開始為負值，題型08含絕對值的等差數列求和問題【解】(1)設等差數列的公差為，【解】(1)設等差數列的首項和公差分別為、，【分析】(1)設出的公差為，利用等差數列通項公式和前項和公式求解即可；(2)由(1)判斷出前六項為正，后四項為負，進而利用前項和公式求解即可.【解】(1)設等差數列的公差為，【分析】(1)利用與的關系，結合累乘法即可求出數列的通項公式；題型09等差數列綜合問題A.14B.15C.16D.17【答案】C【分析】利用等差數列的通項公式求得，進而得到，再利用裂項相消法求，解對應的不等式即可得解.【答案】AD【解】該題可轉化為判斷選項所給函數與一次函數是否存在3個交點，且其中一個交點是另外兩個交點的中點，即可滿足題意，其中原點為兩個對稱交點的中點，滿足題意，故A正確；且原點是另外兩個交點的中點，故D正確；故選：AD.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件但數列an不一定是等差數列，如：1，1，2，2，3，3題型10等差數列的實際應用【典例10】從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為85.5尺，則谷雨這一天的日影長度為(

)A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【變式101】現有茶壺九只，容積從小到大成等差數列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為(

)A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【變式102】天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為(

)A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數列，地支可看作公差為12的等差數列，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.【變式103】《九章算術》中有如下問題：“今有蒲生一日，長四尺，莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是今有蒲第一天長高四尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍．若要使莞的長度是蒲的長度的2倍，則需要的時間為()A．4天B．5天C．6天D．7天【答案】A【解】由題意，蒲第一天長高四尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，∴蒲的生長構成首項為4，公比為eq\f(1,2)的等比數列，其前n項和為Sn＝41?(12)n又由莞第一天長高一尺，每天長高為前一天的兩倍，則莞的生長構成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為Tn