數(shù)列概念及等差數(shù)列目錄TOC\o"12"\h\u1.1.1數(shù)列的概念 INET【基礎(chǔ)】1．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a2＝4，a4＝6，則an等于()A．nB．2nC．2n－1D．n＋22．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7等于()A．10B．18C．20D．283．(多選)已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)，則公差d等于()B.eqB.eq\f(1,2)C．1D．24．一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，則eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4)B.eqB.\f(1,2)C.eqC.\f(1,3)D.eqD.\f(2,3)5．在數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，則a20為()A.eq\f(115,2)B.eqB.\f(8,115)C.eqC.\f(16,115)D.eqD.\f(2,115)6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，則該數(shù)列的公差為

．7．設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系是

．8．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車費(fèi)

元．9．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)問112是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)？(3)在80到110之間有多少項(xiàng)？10．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)．(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【綜合】11．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等差數(shù)列12．首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))13．如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，且公差d≠0，則()A．a(chǎn)3a6>a4a5 B．a(chǎn)3a6<a4a5C．a(chǎn)3＋a6>a4＋a5 D．a(chǎn)3a6＝a4a514．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，若點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直線x－y＋1＝0上，則an＝

.【拓展】15．已知數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，則an＝

.16．若數(shù)列{bn}對(duì)于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d為常數(shù))，則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．例如cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n－1，n為奇數(shù)，,4n＋9，n為偶數(shù)，))則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝a，對(duì)于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.(1)求證：數(shù)列{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．1.2.2等差數(shù)列與一次函數(shù)一、講授新知若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.例1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q例2已知2,?1,(4,?7)是等差數(shù)列{（1）求數(shù)列{a（2）畫出數(shù)列{a（3）判斷數(shù)列{a例3已知等差數(shù)列{an}滿足a【變式1】已知4,19,(7,10)為等差數(shù)列{（1）求數(shù)列{a（2）畫出數(shù)列{a（3）判斷數(shù)列an【變式2】已知等差數(shù)列{an}A.數(shù)列{aB.數(shù)列{|aC.數(shù)列{aD.數(shù)列{a1.2.3等差數(shù)列的性質(zhì)一、講授新知1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.③可用來由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．2、等差數(shù)列的性質(zhì)①若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為kd的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))②下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝2ap.③在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個(gè)等差數(shù)列．④等差數(shù)列{an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列．例1已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.【變式1】已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.例2(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于()A．7B．14C．21D．7(n－1)(2)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第37項(xiàng)為()A．0B．37C．100D．－37【變式2】(1)數(shù)列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)D.eq2D.eq\f(1,2)(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________.例3(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)；(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．【變式3】已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為eq\f(85,9)，求這5個(gè)數(shù)．典例在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.二、隨堂演練1．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d等于()A．3B．－6C．4D．－32．在等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于()C.eqB．－3C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)3．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則a1＋a13的值為()A．20B．30C．40D．504．由公差d≠0的等差數(shù)列a1，a2，…，an組成一個(gè)新的數(shù)列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是()A．新數(shù)列不是等差數(shù)列B．新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C．新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列D．新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列5．在等差數(shù)列{an}中，已知5是a3和a6的等差中項(xiàng)，則a1＋a8＝________.強(qiáng)化訓(xùn)練【基礎(chǔ)】1．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為()A．12B．8C．6D．42．已知數(shù)列{an}，{bn}為等差數(shù)列，且公差分別為d1＝2，d2＝1，則數(shù)列{2an－3bn}的公差為()A．7 B．5C．3 D．13．若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝5，am＝3，則am＋2等于()A．13 B．3－eq\f(4,m－1)C．3－eq\f(2,m－1) D．5－eq\f(2,m－1)4．(多選)若{an}是等差數(shù)列，下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是()A．{|an|} B．{an＋1－an}C．{pan＋q}(p，q為常數(shù)) D．{2an＋n}5．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關(guān)于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．無實(shí)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)根C．有兩個(gè)不等的實(shí)根D．不能確定有無實(shí)根6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，則a15＝________，若ak＝15，則k＝________.7．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個(gè)數(shù)的積為________．8．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．9．在等差數(shù)列{an}中．(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.10．四個(gè)數(shù)成遞減等差數(shù)列，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40.求這四個(gè)數(shù)．【綜合】A．d>0 B．d<0C．a(chǎn)1d>0 D．a(chǎn)1d<012．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為()A．14B．15C．16D．1713．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a101<0C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝5114．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給五個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq\f(1,7)等于較小的兩份之和，則最小的一份為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(10,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(11,6)【綜合】15．若關(guān)于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則數(shù)列的公差d＝________，m＋n的值為________．16．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5,8,11，…與{bk}：3,7,11，…，它們的項(xiàng)數(shù)均為100，則它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng)？1.2.4等差數(shù)列前n項(xiàng)和引入計(jì)算1+2+3+4+...+100=?講授新知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d例1在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.【變式1】在等差數(shù)列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；(2)a3＋a15＝40，求S17；(3)a1＝eq\f(5,6)，an＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求n和d.例2已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220，求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【變式2】已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S3=9,例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2【變式3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2例4已知Sn是等差數(shù)列an求數(shù)列an求Sn的最大值及對(duì)應(yīng)的n【變式4】已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a4=1,例5有兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}滿足eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5).【變式5】已知等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，eq\f(an,bn)＝eq\f(2n＋3,3n－1)，則eq\f(S11,T11)等于()A.eq\f(15,17)B.eqB.\f(25,32)C．1D．2隨堂演練1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－3n，n∈N*，則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于()A．－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2) B．－eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)C.eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2) D.eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)2．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝8，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9等于()A．18B．27C．36D．453．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d為()B.eqB.eq\f(5,3)C．2D．34．在等差數(shù)列{an}中，已知a10＝10，則S19＝________.5．已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，則n＝________，a12＝________.強(qiáng)化訓(xùn)練【基礎(chǔ)】1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a6＝a8＋6，則S7等于()A．49B．42C．35D．282．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，則n等于()A．10B．15C．20D．303．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和．若S10＝S11，則a1等于()A．18B．20C．22D．244．(多選)在等差數(shù)列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，則a1等于()A．－1B．3C．5D．75．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，則使得an>0的最小正整數(shù)n為()A．7 B．8C．9 D．106．已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項(xiàng)和S5＝10，則其首項(xiàng)a1＝________，公差d＝________.7．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝________.8．在