2.4抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性知識(shí)知識(shí)梳理一、函數(shù)的對(duì)稱性——和為常數(shù)有對(duì)稱函數(shù)圖象的對(duì)稱性主要有兩種，一種是軸對(duì)稱，另一種是中心對(duì)稱。函數(shù)圖象的對(duì)稱性主要包括函數(shù)圖象自身的對(duì)稱性(自對(duì)稱)及不同函數(shù)圖象之間的對(duì)稱性(互對(duì)稱).（一）一個(gè)函數(shù)的自身的對(duì)稱性1、軸對(duì)稱（1）定義：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.特別地，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝f(－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)；（2）推廣：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱.2、中心對(duì)稱（1）定義：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.特別地，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＋f(－x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為奇函數(shù)；（二）兩個(gè)函數(shù)的互對(duì)稱1、兩個(gè)函數(shù)成軸對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a成軸對(duì)稱.特別地，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；【推廣】?jī)蓚€(gè)函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對(duì)稱.2、兩個(gè)函數(shù)成中心對(duì)稱：函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對(duì)稱.特別地，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；【推廣】?jī)蓚€(gè)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.其他對(duì)稱性結(jié)論（三）函數(shù)的對(duì)稱性常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱；(3)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．典例剖析典例剖析【考點(diǎn)一函數(shù)對(duì)稱性】【方法一由平移前后關(guān)系得對(duì)稱】【歸納總結(jié)】由平移關(guān)系得對(duì)稱1．（25江蘇錫山高二下月考）定義在R上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)y=f(x?2)+1是奇函數(shù)，則函數(shù)y=g(x)圖象的對(duì)稱中心為．【答案】(2,?1)【分析】由函數(shù)y=f(x?2)+1是奇函數(shù)求出f(x)的對(duì)稱中心為(?2,?1)，求出該點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)即為y=g(x)圖象的對(duì)稱中心.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x?2)+1是奇函數(shù)，所以f(?x?2)+1=?f(x?2)?1，即f(x?2)+f(?x?2)=?2，所以f(x)的對(duì)稱中心為(?2,?1)，因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)y=g(x)圖象的對(duì)稱中心為(2,?1).故答案為：(2,?1)【變式】（25河北邯鄲高二下期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=fx+3+2是奇函數(shù)，則i=1A．?10 B．?5 C．5 D．10【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換以及奇函數(shù)性質(zhì)，可得函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于3,?2中心對(duì)稱，得到fx+f【詳解】由y=fx+3+2的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)y=fx+3即該函數(shù)圖象關(guān)于0,0中心對(duì)稱，所以函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于3,?2所以fx因此f1+f5=?4，所以i=15故選：A.2．（24安徽六安高一上期末）已知fx+1是偶函數(shù)，且fx在1,+∞上是增函數(shù)，若fkx+2≤fA．?2,0 B．?2,1 C．?3,0 D．?3,1【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得fx單調(diào)性，由此可將恒成立的不等式化為kx+1【詳解】∵fx+1為偶函數(shù)，∴fx+1=f1?x，又fx在1,+∞上是增函數(shù)，∴fx∵fkx+2≤f3?x在x∈12∴k2?1當(dāng)k=1時(shí)，k2當(dāng)k=?1時(shí)，k2當(dāng)k2?1≠0，即k≠±1時(shí)，k2?14綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為?2,0.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱性求解函數(shù)不等式的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題中，對(duì)稱性和單調(diào)性的作用如下：（1）對(duì)稱性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號(hào)，同時(shí)根據(jù)對(duì)稱性確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性；（2）單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.【變式】（25山東臨沂高二下月考）已知定義在R上的函數(shù)fx在區(qū)間?∞,1上單調(diào)遞增，若函數(shù)fx+1為偶函數(shù)，且f【答案】?【分析】根據(jù)已知及偶函數(shù)性質(zhì)得fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f【詳解】因?yàn)閒x定義域?yàn)镽，且fx+1為偶函數(shù)，則所以fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，因?yàn)閒3=0根據(jù)已知區(qū)間單調(diào)性和對(duì)稱性：x>0時(shí)，fx>0得0<x<3，x<0時(shí)，fx綜上，不等式xfx>0的解集為故答案為：?3．（25江蘇南京高二下月考）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx，滿足f2x是奇函數(shù)，f3x?1A．fx的圖象關(guān)于直線x=?1對(duì)稱 B．C．fx的一個(gè)周期為4 D．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)條件中的對(duì)稱性，變形判斷AD，再結(jié)合判斷C，根據(jù)對(duì)稱性，再判斷B.【詳解】由f3x?1是偶函數(shù)，可知f?3x?1=f3x?1，則因?yàn)閒2x是奇函數(shù)，所以fx也是奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)由AD可知，f?2?x=fx=?f?x則fx=?fx+2由fx=?fx+2可知，f?3=?f但f?1故選：B【練習(xí)】已知fx是定義在R上的函數(shù)，且滿足f3x?2為偶函數(shù)，f2x?1A．函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 B．函數(shù)fC．函數(shù)fx關(guān)于點(diǎn)2,0中心對(duì)稱 D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與周期性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】因?yàn)閒3x?2為偶函數(shù)，所以f所以fx?2=f?x?2所以函數(shù)fx關(guān)于直線x=?2對(duì)稱，不能確定fx是否關(guān)于直線因?yàn)閒2x?1為奇函數(shù)，所以f所以fx?1=?f?x?1所以函數(shù)fx關(guān)于點(diǎn)?1,0由fx=f?x?4與fx=?f故fx?4=fxf2023故選：D．【方法二由式子特點(diǎn)得對(duì)稱】【總結(jié)歸納】由式子特點(diǎn)得函數(shù)對(duì)稱性關(guān)鍵：一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，首先應(yīng)滿足自變量有對(duì)稱關(guān)系，即“自變量和為常數(shù)有對(duì)稱”，再滿足函數(shù)值的對(duì)稱關(guān)系判斷方法：類比中點(diǎn)坐標(biāo)理解軸對(duì)稱：自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值相等。如f(a＋x)＝f(a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a+中心對(duì)稱：自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值互為相反數(shù)（和為定值）。4．（24江蘇揚(yáng)州高三上開(kāi)學(xué)）已知函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減且對(duì)任意x∈R滿足fx=fA．?∞,53∪3,+∞ B．【答案】B【分析】由對(duì)任意x∈R滿足fx=f2?x得出f(x)的對(duì)稱軸為直線x=1，結(jié)合函數(shù)f(x)在[1,+∞【詳解】因?yàn)閷?duì)任意x∈R滿足fx=f2?x，所以又函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在所以f2x?3>fx故選：B．【變式】（25上海寶山高一下期末）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，滿足f1+x=f1?x，且y=fx在1,+【答案】(?1,1)【分析】根據(jù)題設(shè)有y=fx關(guān)于x=1對(duì)稱，在(?∞,1)【詳解】由f1+x=f1?x，即y=f又y=fx在1,+∞上為嚴(yán)格減函數(shù)，則在由f?x2>f?1所以不等式的解集為(?1,1).故答案為：(?1,1)5．（25河北高三下聯(lián)考）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)為偶函數(shù)，f(4+x)=?f(4?x)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．f(x)的圖象關(guān)于(4,0)中心對(duì)稱B．f(x)的周期為8C．f(2025)=f(1)D．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)=x2?2x，則【答案】D【分析】根據(jù)題意推理論證周期性、奇偶性、對(duì)稱性逐一求解判斷各項(xiàng)【詳解】因?yàn)閒(4+x)=?f(4?x)，所以f(x)的圖象關(guān)于(4,0)中心對(duì)稱，故A正確；因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，所以f(?x+2)=f(x+2)所以f(x)=f(4?x)，又因?yàn)閒(4+x)=?f(4?x)，所以f(x)=?f(4+x)，所以f(4+x)=?f(8+x)，所以f(x)=f(8+x)，所以f(x)的一個(gè)周期為8，故B正確；f(2025)=f(253×8+1)=f(1)，故C正確；由f(4+x)=?f(4?x)，得f(7)=f(4+3)=?f(1)，又當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)=x2?2x，所以f(1)=故選：D【變式】（24貴州六盤水高一上期末）（多選）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f2x+f6?2x=0，且fx的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱，A．f0=f2000 B．fC．fx?8=f?x【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由f2x+f6?2x=0可得fx關(guān)于3,0對(duì)稱，結(jié)合fx的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱，可得fx【詳解】對(duì)于A，因f2x+f6?2x得fx圖象關(guān)于3,0對(duì)稱，又fx圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱，則則?f6?x=f8?x則fx周期為4，則f對(duì)于B，因fx在2,3上單調(diào)遞減，又fx圖象關(guān)于則fx在3,4對(duì)于C，因fx圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱，則f又fx周期為4，則f對(duì)于D，注意到2<log26<3則flog由B分析可知，fx在2,4上單調(diào)遞減，結(jié)合2<可得flog故選：ACD【方法三換元轉(zhuǎn)化，回到根本定義】（利用定義，進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化）6．（25江西贛州高一下月考）已知fx是R上的連續(xù)函數(shù)，滿足?x,y∈R有fx+y+fx?y=fA．f0=0 B．C．fx的一個(gè)周期為8 D．32,0【答案】D【分析】對(duì)fx+y+fx?y=fx【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題，令x=1,y=0，則f∵f(1)=1≠0,∴f(0)=2，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令x=0，則f0+y+f0?y=f0對(duì)于C選項(xiàng)，令y=1，則fx+1故fx+2+fx=f故f(x+6)=?f(x+3)=?[?f(x)]=f(x)，故fx則f(9)=f(3)=f(2)?f(1)=?f(?1)?f(1)=?f(1)?f(1)=?2≠f(1)，故fx對(duì)于D選項(xiàng)，由fx+3=?fx,且所以32,0是故選：D.【變式】（25浙江金華高二下期末）（多選）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)fx滿足fx+y=fxfA．fB．x=1是fxC．fD．f【答案】BCD【分析】賦值y=0即可求解判斷A；賦值y=1即可判斷B；賦值y=1?x，可得f2x+f21?x=1【詳解】A選項(xiàng)，由fx+y=fx令y=0，得fx因?yàn)閒x不為常數(shù)函數(shù)，則fx不恒為0，故B選項(xiàng)，令y=1，得fx+1所以x=1是fxC選項(xiàng)，令y=1?x，得f1則fx當(dāng)且僅當(dāng)fxD選項(xiàng)，令y=?x，得f0因?yàn)閒x+1=f1?x則fx+f?x則fx+2=f?x所以函數(shù)fx由fx+2=?fx，f則f2=f0=0，則f1則f1故D正確.故選：BCD.7．（25福建福州高三下模擬）（多選）已知定義在R上的偶函數(shù)fx和奇函數(shù)gx滿足f2+xA．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2,2對(duì)稱 B．C．gx+8=gx【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達(dá)式f2+x+g?x=1，可得f2+x+f2?x=2，則fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2,1對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)【詳解】對(duì)于A，由題意f?x=fx，g又f2+x+g?x用?x替換f2+x+g?x=1中的由①+②得f2+x+f2?x=2，所以對(duì)于B，由f2+x+f2?x=2，可得所以f8+x所以fx對(duì)于C，由①可得gx=f2+x所以gx+8對(duì)于D，因?yàn)閒4+x+f?x=2，令x=2，則有f6令x=10，則有f14令x=18，則有f22??????，令x=8090，則有f8094所以k=1=2+2+2+???+2故選：BC.【變式】（25河南駐馬店高三下模擬）（多選）已知函數(shù)f(x)是R上奇函數(shù)，g(x)是R上偶函數(shù)，且f(x)?g(1?x)=2，則（

）A．g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,?2)對(duì)稱 B．f(x)是周期函數(shù)C．f(2026)=?1 D．i=1【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)f(x)和g(x)的奇偶性及f(x)?g(1?x)=2，結(jié)合賦值法得g(1?x)+g(1+x)=?4，得g(x)圖象的對(duì)稱點(diǎn)，即可判斷A；對(duì)于B，由A選項(xiàng)知?f(x)?g(1+x)=2，結(jié)合已知條件利用賦值法，得到函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，即可判斷B；由題意可求得f(2)=0，由函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)得f(2026)=f(2)，即可判斷選項(xiàng)C；由A選項(xiàng)知g(1?x)+g(1+x)=?4，由C選項(xiàng)知g(1)=?2，進(jìn)而計(jì)算求解即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是R上偶函數(shù)，所以g(x)=g(?x)，對(duì)于f(x)?g(1?x)=2，取x為?x得：f(?x)?g(1+x)=2，即?f(x)?g(1+x)=2，聯(lián)立f(x)?g(1?x)=2?f(x)?g(1+x)=2，可得g(1?x)+g(1+x)=?4所以函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(1,?2)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，對(duì)于f(x)?g(1?x)=2，取x為x+1，得f(x+1)?g(?x)=2，因?yàn)間(x)=g(?x)，所以f(x+1)?g(x)=2，由A選項(xiàng)知?f(x)?g(1+x)=2，取x為x?1，得?f(x?1)?g(x)=2，聯(lián)立f(x+1)?g(x)=2?f(x?1)?g(x)=2，得f(x+1)+f(x?1)=0取x為x+1，得f(x+2)+f(x)=0，取x為x+3，得f(x+4)+f(x+2)=0，所以f(x)=f(x+4)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)f(x)是R上奇函數(shù)可知f(0)=0，g(1)=f(0)?2=?2，因?yàn)間(x)是R上偶函數(shù)，所以g(?1)=g(1)=?2，所以f(2)=2+g(?1)=2?2=0，又因?yàn)閒(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2026)=f(2)=0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A選項(xiàng)知g(1?x)+g(1+x)=?4，所以g(110)+g(1910)=?4，由C選項(xiàng)知g(1)=?2,所以i=119故選：ABD.8．（25重慶名校聯(lián)盟高三下聯(lián)考）（多選）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，gx=x?2fx，若g4?xA．g5=?6 B．fxC．fx是周期為4的周期函數(shù) D．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性、周期性的定義探討函數(shù)性質(zhì)，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，gx=x?2f對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)間4?x=gx對(duì)于B選項(xiàng)，由g4?x=gx整理可得2?xf當(dāng)x≠2時(shí)，則有f4?x=?fx當(dāng)x=2時(shí)，f2=0，也滿足所以，函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閒x是定義域?yàn)镽且fx=?f4?x=fx?4對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義域?yàn)镽則f0=0，f1=?f?1f4=f0因?yàn)?025=4×506+1，則i=12025故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱，則函數(shù)fx的周期為（2）若函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)a,0和點(diǎn)b,0對(duì)稱，則函數(shù)fx的周期為（3）若函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)b,0對(duì)稱，則函數(shù)fx的周期為【變式】（25湖南岳陽(yáng)高二下期中）已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，且fx+g2?x=5，gx?fx?4=7．若A．22 B．?22 C．?24 D．24【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到f(x)+f(x?2)=?2，從而得到f3+f5+…+f21=?10，f4【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以g2?x因?yàn)間(x)?f(x?4)=7，所以g(x+2)?f(x?2)=7，即g(x+2)=7+f(x?2)，因?yàn)閒(x)+g(2?x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x?2)=5，即所以f3f4因?yàn)閒(x)+g(2?x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以因?yàn)間(x)?f(x?4)=7，所以g(x+4)?f(x)=7，又因?yàn)閒(x)+g(2?x)=5，聯(lián)立得，g2?x所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)3,6中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽，所以g因?yàn)閒(x)+g(x+2)=5，所以f1所以k=122故選：C（已知對(duì)稱，先得式子關(guān)系，再轉(zhuǎn)化）9．（24吉林長(zhǎng)春高三上開(kāi)學(xué)）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=f2x?1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的是（

A．y=f(?2x?1) B．y=f(?2x+1)C．y=f(?2x+3) D．y=2?f(2x?1)【答案】C【分析】根據(jù)直線對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)y=f2x?1的圖象為曲線C1，該曲線關(guān)于x=1對(duì)稱的曲線為設(shè)曲線C1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為x0,該點(diǎn)x0,y0關(guān)于直線因此有1=x0+x得y=f2故選：C【變式】（25河北衡水高二下期末）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足f2x+4關(guān)于x=?2對(duì)稱，fx+fx+2A．?2 B．2025 C．2 D．1【答案】C【分析】f2x+4的對(duì)稱性可得為偶函數(shù)，再由fx+fx+2=4可得f【詳解】∵定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足f2x+4關(guān)于∴f2x+4=f2∴fx又∵fx∴fx+4=4?fx+2=4?4?f又由f?x=fx∴f?x∴fx關(guān)于1,2∴f2025故選：C.10．（24內(nèi)蒙古高三上期末）（多選）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2?f2?x=4x．若fA．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱 B．fC．fx?1是奇函數(shù) D．f【答案】AB【分析】令kx=f2x?3【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)kx=f2x?3，因?yàn)楹瘮?shù)f即函數(shù)kx的的圖象關(guān)于點(diǎn)2,1對(duì)稱，則k所以f2x+1+f1?2x=2，令可得f1+x+f1?x=2，所以對(duì)于B選項(xiàng)，由已知得fx+2設(shè)gx=fx+2所以gx?g?x對(duì)于C選項(xiàng)，若函數(shù)fx?1是奇函數(shù)，則f?x即函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1但函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱，題中條件無(wú)法推出函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)于D選項(xiàng)，若函數(shù)fx的周期為T=4，則f事實(shí)上，在等式fx+2?f2?x=4x中，令x=2，則故選：AB.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判斷，可利用以下結(jié)論來(lái)轉(zhuǎn)化：①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)a,b對(duì)稱，則f②函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f【變式】（25河北保定高二下期末模擬）若定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1是偶函數(shù)，函數(shù)f2x+1的圖象關(guān)于點(diǎn)?12,0【答案】2【分析】根據(jù)已知推導(dǎo)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，且f(x)=f(2?x)，再利用周期性、奇函數(shù)性質(zhì)及對(duì)稱性求函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)f(x+1)=f(?x+1)，則fx由函數(shù)f2x+1的圖象關(guān)于點(diǎn)?12即f(2x+1)+f(?1?2x)=0，則有f(x+1)+f(?1?x)=0，即f(?x)=?f(x)，所以f(x)為R上的奇函數(shù)，則f?1由fx=f2?x可得f即4為f(x)的周期.又f2=f0=f4于是i=16故答案為：211．（24四川綿陽(yáng)高三上月考）已知函數(shù)y=f(x+1)與y=g(x)的定義域均為R，且它們的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，若奇函數(shù)g(x)滿足g(x)=g(2?x)，下列關(guān)于函數(shù)f(x)的性質(zhì)說(shuō)法不一定正確的有（

）A．f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱 B．f(x)關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱C．T=4是f(x)的一個(gè)周期 D．f(2027)=0【答案】B【來(lái)源】四川省綿陽(yáng)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷（一）數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合對(duì)稱性、奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，令(x,y)是函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)，則(2?x,y)在y=f(x+1)的圖象上，即y=g(x)y=f(3?x)，則g(x)=f(3?x)，由g(x)為奇函數(shù)，得g(?x)+g(x)=0則有f(3?x)+f(3+x)=0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，又g(x)=g(2?x)，則f(3?x)=f(1+x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，A正確；對(duì)于C，f(3+x)=?f(1+x)，即f(x+2)=?f(x)，則f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，f(x)的周期T=4，C正確；對(duì)于D，f(3)=f3?0=g0對(duì)于B，由f(4?x)=f(x)，得f(8?x)=f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=4對(duì)稱，若f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱，則f(8?x)+f(x)=0，即f(x)=0，而沒(méi)有條件確保f(x)=0恒成立，B錯(cuò)誤.故選：B知識(shí)知識(shí)梳理二、函數(shù)的周期性——差為常數(shù)有周期2.最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.3.求函數(shù)周期的通用方法：求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法。①遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.②換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．4.常見(jiàn)的確定函數(shù)周期的結(jié)論周期函數(shù)f(x)滿足的條件周期af(x＋a)＝f(x－a)2a2af(x＋a)＝－f(x－a)4af(x＋a)＝－f(x)2a2a2a4a三．函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性綜合周期函數(shù)f(x)滿足的條件周期周期性+對(duì)稱性綜合2|b－a|2|b－a|4|b－a|奇偶性+對(duì)稱性綜合2a4a4a典例剖析【考點(diǎn)二函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用】典例剖析【方法一由對(duì)稱性得周期】【總結(jié)歸納】由對(duì)稱性得周期性兩點(diǎn)：（a,0）,（b,0）→周期T=2兩軸：直線x=a,直線x=b→周期T=2一點(diǎn)一軸：（a,0）,直線x=b→周期T=4【注】結(jié)合sinx的圖象理解記憶12．（24廣西桂林高一上聯(lián)考）（多選）對(duì)于定義在R上的函數(shù)fx，若fx?1?1是奇函數(shù)，fx+1是偶函數(shù)，且fxA．fB．fC．fD．fx在4,5【答案】BCD【來(lái)源】廣西桂林市20242025學(xué)年高一上學(xué)期聯(lián)合調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【分析】結(jié)合函數(shù)圖象變換，利用奇函數(shù)得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,1)對(duì)稱，利用偶函數(shù)得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，從而有f(?2?x)+f(x)=2，f(?1)=1，f(2?x)=f(x)，f(0)=f(2)，兩者結(jié)合可得f(x)+f(x+4)=2，這樣可計(jì)算選項(xiàng)C中的和，再由對(duì)稱性可判斷單調(diào)性．【詳解】若fx?1把f(x?1)?1的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得f(x)的圖象，因此f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,1)對(duì)稱，所以f(?2?x)+f(x)=2，f(?1)=1，fx+1是偶函數(shù)，即它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x+1)的圖象向右平移一個(gè)單位得f(x)因此f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，從而f(2?x)=f(x)，f(0)=f(2)，B正確；所以f(4+x)=f(1?(3+x))=f(?2?x)=2?f(x)，即f(x)+f(x+4)=2，f(?1)+f(3)=2，所以f(3)=2?f(?1)=1，A錯(cuò)；f(1)+f(2)+?+f(2024)=1012×2=2024，C正確；f(x)在[1,2]上遞減，它關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f(x)在[0,1]上遞增，又它的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,1)對(duì)稱，則在[?3,?2]上遞增，再由它關(guān)于直線x=1對(duì)稱得它在[4,5]上遞減，D正確，故選：BCD．【變式】已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(3x?2)為偶函數(shù)，f(2x?1)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

②函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,0)中心對(duì)稱③函數(shù)f(x)的周期為4

④f(2023)=0A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)題中抽象函數(shù)滿足的條件，分別求出周期性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算和逐一判斷，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閒(3x?2)為偶函數(shù)，所以f(3x?2)=f(?3x?2)，所以f(x?2)=f(?x?2)，f(x)=f(?x?4)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=?2對(duì)稱，不能確定f(x)是否關(guān)于直線x=1對(duì)稱，①錯(cuò)誤；因?yàn)閒(2x?1)為奇函數(shù)，所以f(2x?1)=?f(?2x?1)，所以f(x?1)=?f(?x?1)，所以f(x)=?f(?x?2)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(?1,0)中心對(duì)稱，故②正確，由①可知，f(x)=f(?x?4)，由②可知，f(x)=?f(?x?2)，故有f(?x?4)=?f(?x?2)，令x=?x，則有f(x?4)=?f(x?2)，所以T2=?4?所以函數(shù)f(x)的周期為4，故③正確；f(2023)=f(506×4?1)=f(?1)=0，故④正確．故選：C．13．（24黑龍江哈爾濱高一上期中）在R上定義的函數(shù)fx是奇函數(shù)，且fx=f2?x，若fx在區(qū)間1,2A．在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)B．在區(qū)間0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)C．在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)D．在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)【答案】A【分析】由題得到fx【詳解】由題可知fx關(guān)于0,0點(diǎn)對(duì)稱；關(guān)于x=1所以fx也關(guān)于2,0點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于x=3因?yàn)閒x在區(qū)間1,2所以在區(qū)間0,1上是增函數(shù),在2,3是減函數(shù)，在3,4是增函數(shù)；故選：A【變式】（25四川達(dá)州高一下期中）（多選）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+3)=f(1?x)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱B．函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱C．函數(shù)f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)D．若函數(shù)g(x)滿足g(x)+f(x+3)=2，則g(1)+g(2)+g(3)+?+g(2023)+g(2024)=4048【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù)得fx+2=?f?x故f?x=fx，即fx為偶函數(shù)；對(duì)于B，由f?x+1對(duì)于C，由fx+2=?fx可知周期為2×2=4且由fx的對(duì)稱性可知f【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù)，則f?x+1=?fx+1，用x+1得fx+2=?f?x，又因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+3)=f(1?x)也即fx+2=?fx，故f?x=f對(duì)于B，由上述分析知f?x+1=?fx+1也即函數(shù)fx的圖像關(guān)于1,0對(duì)于C，由上述分析知fx+2=?fx，用x+2得fx+4=?fx+2對(duì)于D，由題意知gx=2?fx+3故gx也是周期為4的周期函數(shù)，而f但此函數(shù)的周期為任意非零實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤.則g1由上述分析知fx+2=?fx所以g1故g1故選：ABD.【方法二由式子特點(diǎn)確定周期】【總結(jié)歸納】由式子特點(diǎn)確定周期1.根本：一個(gè)函數(shù)具有周期性，可以理解為左右平移之后與原來(lái)一致，所以首先應(yīng)滿足自變量是不變的，即“自變量不變（差為常數(shù)）有周期”，但存在“錯(cuò)位關(guān)系”2.常見(jiàn)結(jié)論：f(x)＝f(x+a)→周期T=af(x+a)＝f(x+b)→周期T=a?bf(x+a)+f(x+b)=c→周期T=2f(x+a)=1±f(x)【注】①類比圖象平移進(jìn)行理解②根本推導(dǎo)方法：遞推法、換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化14．（24四川遂寧高一上期末）已知函數(shù)fx的正周期為T且滿足fx+6=fx，又函數(shù)gx【答案】8（答案不唯一）【分析】利用周期函數(shù)的定義求得T，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求得a，從而得解.【詳解】因?yàn)閒x+6=fx，所以6又fx的正周期為T，所以T可以為6n,n∈因?yàn)楹瘮?shù)gx所以g?x=gx則2a?2x=0，由x的任意性得a?2=0，即所以a+T可以為2+6n,n∈N?，則a+T的一個(gè)值可以為故答案為：8（答案不唯一）.【變式】（25河南高一下聯(lián)考）已知函數(shù)fx滿足fx=fx+4，當(dāng)x∈?1,3時(shí)，fx=2x【答案】?7,?5【分析】首先確定函數(shù)的周期，再利用周期，求x∈?7,?5和x∈【詳解】由fx=fx+4f2023=f?1所以當(dāng)x∈?1,3時(shí)，f設(shè)x∈?7,?5，x+8∈則fx=fx+8=2當(dāng)x∈?5,?3，x+4∈則fx=fx+4=2綜上可知不等式fx>9故答案為：?7,?515．（24四川高三上聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+3)=f(x?1)，若當(dāng)x∈[?2,0]時(shí)，f(x)=5?x+2，則【答案】7【分析】求出f(x)的周期，結(jié)合周期性與偶函數(shù)性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒(x+3)=f(x?1)，所以f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(109)=f(27×4+1)=f(1)，又f(x)是偶函數(shù)，所以f(1)=f(?1)=5所以f(109)=7.故答案為：7.16．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x+2)=?f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(x)≥12的解集為（A．12,+∞C．4k+12,4k+【答案】C【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，且圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，進(jìn)而畫出函數(shù)的圖象，得到當(dāng)x∈[?1,3]時(shí)，求得f(x)=1【詳解】由題意，函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=?f(x)，可得f(x)=f(x+4)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù).又由f(x)為R上的奇函數(shù)，可得f(?x)=?f(x)，所以f(x+2)=f(?x)，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.因?yàn)楫?dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，當(dāng)?1≤x<0時(shí)，f?x所以?1≤x≤1,fx=x，所以當(dāng)1<x≤3,∴?1<x?2≤1,∴fx?2所以fx可得函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，當(dāng)x∈[?1,3]時(shí)，f(x)=12，解得x=1所以不等式f(x)≥12的解集為

故選：C【變式】已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2=4?fx，且fx+3?2為奇函數(shù)，f4A．4047 B．4048 C．4049 D．4050【答案】C【分析】首先判斷抽象函數(shù)的周期，再根據(jù)條件求函數(shù)值，再根據(jù)周期求函數(shù)值的和.【詳解】由fx+2=4?fx故fx由fx+3?2為奇函數(shù)可得f0+3對(duì)于fx+2=4?fx，令x=1，得f令x=2，得f2+f4=4，又則f1故k=1=506×f故選：C.17．（24安徽高一上期末）若偶函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x+3)=?1f(x)，且當(dāng)x∈[?3,?2]時(shí)，f(x)=4x，則f(2024)=【答案】?8【分析】先求出函數(shù)fx的周期，利用周期性將f(2024)化為f2，再利用函數(shù)的奇偶性，有【詳解】因?yàn)閒(x+3)=?1f(x)，所以所以f(x)的周期為6，且fx為偶函數(shù)，即f當(dāng)x∈[?3,?2]時(shí)，f(x)=4x，f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(?2)=?8.故答案為：?8【變式】（24四川雅安高一上月考）（多選）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=?1fx+1，且當(dāng)A．fxB．當(dāng)4≤x<5時(shí)，fC．fx的圖象與gD．fx在2022,2024【答案】ACD【分析】根據(jù)已知可得fx+2=?1fx+1=fx，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)已知求出x∈0,1時(shí)的解析式，進(jìn)而根據(jù)周期性，得出函數(shù)在【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得fx+1所以fx+2=?1對(duì)于B項(xiàng)，?x∈0,1，則x?1∈由已知可得，fx?1又fx所以fx?1=?1又fx的周期為2，所以f?x∈4,5，則x?4∈0,1，所以，fx對(duì)于C項(xiàng)，由A、B可知，當(dāng)?1≤x<0時(shí)，fx當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=?作出函數(shù)y=fx以及y=g顯然，當(dāng)x<2時(shí)，fx的圖象與g又f4=f2=f0由圖象可知，fx的圖象與g對(duì)于D項(xiàng)，?x∈1,2，則x?2∈?1,0，又fx的周期為2，所以fx=f當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=?21?x且f1所以，fx在0,2根據(jù)函數(shù)的周期性可知，fx在2022,2024故選：ACD.18．（25西南名校聯(lián)盟高考診斷性測(cè)試）（多選）函數(shù)y=fx滿足fx+1=1+fx1?fxA．T=4為fx的一個(gè)周期 B．fC．f1=1 【答案】ABC【分析】由fx+1=1+fx1?f【詳解】對(duì)于A，當(dāng)f(x)有意義，且f(x)≠1，f(x)≠0時(shí)，則fx+1則fx+2f(x+4)=?1當(dāng)f(x)=1時(shí)，f(x+1)=1+f(x)可得f(x+2)=1+f(x+1)所以f(x+3)=1+f(x+2)所以f(x+4)=1+f(x+3)當(dāng)f(x)=0時(shí)，f(x+1)=1+f(0)可得f(x+4)=f[(x+1)+3]=0,綜上，總有f(x+4)=f(x).故T=4為fx對(duì)于B，f4?x=?fx，即f又由T=4為fx的一個(gè)周期，所以f(4?x)=f(?x)所以f?x+fx對(duì)于C，fx為奇函數(shù)，但無(wú)法直接判定f(0)但已知f(1)>0，可得f(1)有意義，故f(?1)=?f(1)有意義，f(?1)=?f(1)<0,所以f(0)=1+f(?1)1?f(?1)分母不為零，有意義，從而f(?0)+f(0)=0,即所以f1對(duì)于D，f(x)=tan因?yàn)閒(x+1)=tanf(4?x)=tanπ4滿足題設(shè)所有條件，但是f(2)=tanπ2故選：ABC.【方法三根本：遞推法、換元法轉(zhuǎn)化】【歸納總結(jié)】求函數(shù)周期的根本方法：遞推法和換元法①遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.②換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．19．（24山東高三上期中）若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=f(4)，f(2x+1)是奇函數(shù)，f12=1，則k=1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷抽象函數(shù)的周期，對(duì)稱性，根據(jù)周期性和對(duì)稱性求函數(shù)值，再代入求和.【詳解】根據(jù)f(x+2)+f(x)=f(4)，以x+2代換x得：f(x+4)+f(x+2)=f(4)，所以f(x+4)=f(x)，可知函數(shù)f(x)的周期為4，因?yàn)閒(2x+1)是R上的奇函數(shù)，所以f(?2x+1)+f(2x+1)=0，即f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，于是f12+f由f(x+4)+f(x+2)=f(4)，取x=0得f(4)+f(2)=f(4)，即f(2)=0，則f(4)=f(0)=?f(2)=0，因此f(x+2)+f(x)=0，取x=32，得于是f12+2f因此，k=15故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值，賦變量，轉(zhuǎn)化抽象關(guān)系式，判斷函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.【變式】（24江蘇無(wú)錫高一上期末）（多選）已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，且滿足fx+6+fx=f3，?A．f(x)的一個(gè)周期為6B．f(x)在區(qū)間12,18上單調(diào)遞減C．f12?xD．f(x)在區(qū)間?2024,2024上共672個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)求出函數(shù)f(x)的周期，利用單調(diào)性定義確定函數(shù)在[?6,0]上的單調(diào)性，再逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x+6)+f(x)=f(3)，得f(x+6)=?f(x)+f(3)，則f(x+12)=?f(x+6)+f(3)=?[?f(x)+f(3)]+f(3)=f(x)，因此