FDTD算法計算誤差剖析與色散介質(zhì)模型優(yōu)化探究一、引言1.1研究背景在現(xiàn)代科學與工程領(lǐng)域，計算電磁學扮演著舉足輕重的角色，它為解決各類電磁問題提供了強大的理論與技術(shù)支持。時域有限差分（Finite-DifferenceTime-Domain，F(xiàn)DTD）算法作為計算電磁學的核心算法之一，憑借其獨特的優(yōu)勢，在眾多領(lǐng)域得到了極為廣泛的應用。FDTD算法直接在時域?qū)溈怂鬼f方程組進行離散化處理，通過差分近似將連續(xù)的空間和時間轉(zhuǎn)化為離散的網(wǎng)格和時間步長，從而實現(xiàn)對電磁波傳播、散射、輻射等電磁現(xiàn)象的數(shù)值模擬。這種直接求解時域問題的方法，避免了頻域方法中復雜的傅里葉變換，具有直觀、易于實現(xiàn)的特點。其能靈活處理復雜的幾何結(jié)構(gòu)和多樣的介質(zhì)特性，對于包含多種不同材料、形狀不規(guī)則的電磁系統(tǒng)，F(xiàn)DTD算法能夠精確地模擬電磁波在其中的相互作用，這使得它在實際工程應用中具有極高的價值。正因如此，F(xiàn)DTD算法在無線通信、天線設計、電磁兼容、光學成像、半導體器件分析等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用，成為現(xiàn)代電磁工程不可或缺的仿真工具。在無線通信領(lǐng)域，它被用于優(yōu)化天線的輻射特性，提高通信質(zhì)量；在電磁兼容研究中，幫助工程師分析電子設備之間的電磁干擾，確保系統(tǒng)的正常運行。隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展，F(xiàn)DTD算法的應用領(lǐng)域不斷拓展，從傳統(tǒng)的微波頻段逐漸延伸至光頻段，從簡單的結(jié)構(gòu)模擬轉(zhuǎn)向復雜的復合結(jié)構(gòu)研究。同時，對電磁問題的仿真精度和復雜度要求也在不斷提高，這使得FDTD算法面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。一方面，仿真復雜度的增加導致計算量呈指數(shù)級增長，對計算資源的需求急劇上升，使得計算效率成為制約FDTD算法應用的關(guān)鍵因素之一。另一方面，在處理一些特殊的電磁問題時，如表面等離子共振（SurfacePlasmonResonance，SPR）等微納復合結(jié)構(gòu)，由于這些結(jié)構(gòu)中電磁波與介質(zhì)的相互作用極為復雜，對介質(zhì)的介電特性描述要求極高，而傳統(tǒng)的FDTD算法在處理色散介質(zhì)時存在一定的局限性，難以精確地描述色散介質(zhì)的介電特性隨頻率的變化關(guān)系，從而導致計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，嚴重影響了仿真的準確性和可靠性。色散是指介質(zhì)對不同頻率電磁波的響應不同，導致電磁波的傳播速度、相位等特性隨頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象。在FDTD算法中，由于對麥克斯韋方程組的離散化處理以及對介質(zhì)特性的近似描述，不可避免地會引入色散誤差。這種色散誤差在高頻段或處理寬帶信號時尤為明顯，會導致模擬的電磁波傳播特性與實際情況產(chǎn)生偏差，如波形畸變、傳播速度異常等。在光通信領(lǐng)域，色散誤差可能會使模擬的光信號傳輸出現(xiàn)誤碼，影響通信系統(tǒng)的性能評估；在光學成像中，可能導致圖像的分辨率降低、失真等問題。為了提高FDTD算法在處理色散介質(zhì)問題時的精度和可靠性，對色散介質(zhì)模型進行深入研究和優(yōu)化顯得尤為重要。不同的色散介質(zhì)模型具有不同的適用范圍和精度，選擇合適的模型并對其進行優(yōu)化，能夠有效地減小色散誤差，提高仿真結(jié)果的準確性。因此，研究FDTD算法中的色散介質(zhì)模型，對于拓展FDTD算法的應用領(lǐng)域、提高電磁問題的仿真精度具有重要的現(xiàn)實意義。1.2研究目的與意義本研究旨在深入剖析FDTD算法中計算誤差的產(chǎn)生機制，全面系統(tǒng)地研究色散介質(zhì)模型，通過理論分析、數(shù)值模擬與實驗驗證相結(jié)合的方式，探索減小計算誤差、優(yōu)化色散介質(zhì)模型的有效方法，從而顯著提高FDTD算法在處理色散介質(zhì)問題時的精度和可靠性。具體而言，一方面，通過對FDTD計算誤差進行細致分類與深入分析，明確各類誤差的來源和影響因素，為后續(xù)研究提供堅實的理論基礎(chǔ)；另一方面，對現(xiàn)有色散介質(zhì)模型進行全面比較和優(yōu)化設計，尋找更適合復雜電磁問題的模型，提升FDTD算法在不同場景下的模擬能力。研究FDTD計算誤差與色散介質(zhì)模型具有多方面的重要意義。在理論層面，有助于完善計算電磁學的理論體系，加深對FDTD算法本質(zhì)和色散現(xiàn)象物理機制的理解。通過對誤差的深入研究，可以揭示FDTD算法在離散化過程中與麥克斯韋方程組精確解之間的差異，為改進算法提供理論依據(jù)；對色散介質(zhì)模型的研究則能夠進一步拓展對介質(zhì)電磁特性的認識，豐富和發(fā)展色散介質(zhì)的建模理論。在實際應用中，對FDTD計算誤差和色散介質(zhì)模型的研究成果具有廣泛的應用價值。在通信領(lǐng)域，能夠優(yōu)化天線設計，提高信號傳輸?shù)臏蚀_性和穩(wěn)定性，減少信號失真和干擾，提升通信質(zhì)量；在雷達探測中，有助于更精確地模擬目標的電磁散射特性，提高目標識別和定位的精度，增強雷達系統(tǒng)的性能；在生物醫(yī)學成像方面，可以更準確地模擬電磁波在生物組織中的傳播，提高成像的分辨率和清晰度，為疾病診斷和治療提供更可靠的依據(jù)。在電磁兼容設計中，能有效預測電子設備之間的電磁干擾，降低設計成本和風險，確保系統(tǒng)的正常運行。對FDTD計算誤差和色散介質(zhì)模型的研究對于推動計算電磁學的發(fā)展、提高電磁工程的設計水平以及促進相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)進步具有重要的現(xiàn)實意義。1.3研究方法與創(chuàng)新點本研究綜合運用多種研究方法，從不同角度深入剖析FDTD計算誤差與色散介質(zhì)模型，以實現(xiàn)研究目標。通過廣泛查閱國內(nèi)外相關(guān)文獻，深入了解FDTD算法及其在各個領(lǐng)域的應用情況，掌握FDTD計算誤差和色散介質(zhì)模型的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢以及已有的研究成果和方法。梳理FDTD算法的基本原理、發(fā)展歷程、應用領(lǐng)域等基礎(chǔ)知識，為后續(xù)的研究提供堅實的理論基礎(chǔ)。了解不同學者對FDTD計算誤差的分析方法、分類方式以及對色散介質(zhì)模型的研究思路和改進措施，從而明確本研究的切入點和方向。同時，關(guān)注相關(guān)領(lǐng)域的最新研究動態(tài)，如新型色散介質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、FDTD算法與其他數(shù)值方法的結(jié)合等，以便及時將新的理念和技術(shù)融入到本研究中。利用FDTD計算方法對不同材料和結(jié)構(gòu)體進行數(shù)值模擬計算。設置不同的材料參數(shù)，如介電常數(shù)、磁導率等，以及不同的結(jié)構(gòu)體，如簡單的幾何形狀、復雜的復合結(jié)構(gòu)等，分析FDTD計算誤差的來源和影響因素。通過改變網(wǎng)格尺寸、時間步長等計算參數(shù)，觀察誤差的變化規(guī)律，確定這些參數(shù)對誤差的影響程度。對不同的色散介質(zhì)模型，如Drude模型、Lorentz模型等，在相同的計算條件下進行模擬，比較它們對計算精度的影響，從而篩選出在特定情況下表現(xiàn)更優(yōu)的模型。同時，通過與解析解或?qū)嶒灲Y(jié)果進行對比，驗證模擬結(jié)果的準確性，為后續(xù)的優(yōu)化設計提供數(shù)據(jù)支持。根據(jù)實驗仿真結(jié)果，選擇合適的色散模型并進行優(yōu)化設計。針對傳統(tǒng)色散模型在某些頻段或復雜結(jié)構(gòu)中存在的局限性，采用優(yōu)化算法對模型參數(shù)進行調(diào)整，使其更符合實際介質(zhì)的電磁特性。結(jié)合特定的應用場景和需求，對色散模型進行改進和創(chuàng)新，如引入新的物理參數(shù)、建立更復雜的數(shù)學關(guān)系等，以提高FDTD計算在該場景下的精度。在優(yōu)化設計過程中，充分考慮計算效率和資源消耗，確保優(yōu)化后的模型在提高精度的同時，不會對計算性能造成過大的影響。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是多維度誤差分析體系。以往對FDTD計算誤差的研究往往側(cè)重于某一個或幾個方面，本研究構(gòu)建了一個全面、系統(tǒng)的多維度誤差分析體系，綜合考慮算法本身的離散化誤差、單精度計算帶來的誤差以及色散介質(zhì)模型誤差等多個維度，全面深入地剖析誤差產(chǎn)生的原因和影響因素，為誤差的減小和控制提供了更全面的理論依據(jù)。二是模型融合優(yōu)化策略。在色散介質(zhì)模型研究方面，突破了傳統(tǒng)單一模型應用的局限，提出了模型融合優(yōu)化策略。通過將不同的色散介質(zhì)模型進行有機融合，充分發(fā)揮各模型的優(yōu)勢，彌補單一模型的不足，提高了對復雜電磁問題的模擬能力。在處理某些具有特殊電磁特性的介質(zhì)時，將Drude模型和Lorentz模型進行融合，根據(jù)介質(zhì)在不同頻率段的特性，動態(tài)調(diào)整模型參數(shù)，從而更準確地描述介質(zhì)的色散特性。三是多尺度建模方法的應用。在研究中引入多尺度建模方法，針對不同尺度的電磁結(jié)構(gòu)，采用不同精度和復雜度的模型進行建模。對于宏觀的電磁結(jié)構(gòu)，采用相對簡單的模型進行快速計算；對于微觀的關(guān)鍵部位或復雜結(jié)構(gòu)，采用高精度的模型進行詳細模擬，實現(xiàn)了計算精度和效率的平衡，為FDTD算法在處理復雜電磁問題時提供了更有效的建模手段。二、FDTD算法基礎(chǔ)與誤差概述2.1FDTD算法基本原理2.1.1Maxwell旋度方程離散化麥克斯韋方程組是經(jīng)典電磁學的核心，它完整地描述了電場、磁場以及它們與電荷、電流之間的相互關(guān)系，是FDTD算法的理論基石。在無源區(qū)域中，麥克斯韋旋度方程的微分形式為：\nabla\times\vec{E}=-\mu\frac{\partial\vec{H}}{\partialt}\nabla\times\vec{H}=\epsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partialt}+\sigma\vec{E}其中，\vec{E}是電場強度矢量，單位為伏特每米（V/m）；\vec{H}是磁場強度矢量，單位為安培每米（A/m）；\mu是磁導率，單位為亨利每米（H/m），表征介質(zhì)對磁場的響應能力；\epsilon是介電常數(shù)，單位為法拉每米（F/m），反映介質(zhì)對電場的響應特性；\sigma是電導率，單位為西門子每米（S/m），描述介質(zhì)傳導電流的能力。這些方程揭示了時變電場和磁場之間的相互激發(fā)和耦合關(guān)系，是理解電磁波傳播、輻射和散射等電磁現(xiàn)象的關(guān)鍵。FDTD算法的核心步驟是將麥克斯韋旋度方程在時間和空間上進行離散化處理。為了實現(xiàn)這一目標，F(xiàn)DTD算法采用了Yee氏網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，這種網(wǎng)格結(jié)構(gòu)具有獨特的電磁場分量空間排布方式。在Yee氏網(wǎng)格中，電場分量和磁場分量在空間上相互交錯，彼此相差半個網(wǎng)格步長。在直角坐標系中，電場分量E_x、E_y、E_z分別位于立方體網(wǎng)格邊的中點，而磁場分量H_x、H_y、H_z則位于網(wǎng)格面的中心。這種巧妙的空間布局使得電場和磁場分量在空間上的相對位置與麥克斯韋旋度方程中各分量的空間導數(shù)關(guān)系相匹配，從而能夠準確地描述電磁場的傳播特性。同時，在時間上，電場和磁場分量的抽樣時間間隔相差半個時間步，這種時間上的交錯抽樣方式使得離散后的麥克斯韋旋度方程構(gòu)成顯式差分方程，為后續(xù)的數(shù)值迭代求解奠定了基礎(chǔ)。以二維Yee氏網(wǎng)格為例，假設空間步長在x方向和y方向分別為\Deltax和\Deltay，時間步長為\Deltat。對于E_z分量的更新公式，利用二階精度的中心差分近似來離散麥克斯韋旋度方程中的時間導數(shù)和空間導數(shù)。在n\Deltat時刻，E_z分量在(i,j)位置的更新公式為：E_z^{n+1}(i,j)=E_z^n(i,j)+\frac{\Deltat}{\epsilon\Deltay}\left[H_x^n(i,j+\frac{1}{2})-H_x^n(i,j-\frac{1}{2})\right]-\frac{\Deltat}{\epsilon\Deltax}\left[H_y^n(i+\frac{1}{2},j)-H_y^n(i-\frac{1}{2},j)\right]對于H_x分量在(i,j+\frac{1}{2})位置的更新公式為：H_x^{n+\frac{1}{2}}(i,j+\frac{1}{2})=H_x^{n-\frac{1}{2}}(i,j+\frac{1}{2})-\frac{\Deltat}{\mu\Deltax}\left[E_z^n(i+1,j+\frac{1}{2})-E_z^n(i,j+\frac{1}{2})\right]這些離散化后的差分方程將連續(xù)的電磁場問題轉(zhuǎn)化為離散的數(shù)值計算問題，通過在離散的時間步和空間網(wǎng)格上進行迭代計算，就可以逐步模擬出電磁波在空間中的傳播過程。這種離散化處理方式不僅將連續(xù)的數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為計算機能夠處理的離散數(shù)據(jù)，而且保留了麥克斯韋方程組的基本物理特性，使得FDTD算法能夠有效地模擬各種復雜的電磁現(xiàn)象。通過對不同位置和時間步的電場和磁場分量進行迭代更新，可以清晰地觀察到電磁波在空間中的傳播路徑、反射、折射等現(xiàn)象，為電磁問題的研究提供了直觀而有效的手段。2.1.2數(shù)值迭代過程與特點在FDTD算法中，數(shù)值迭代過程是模擬電磁波傳播的核心環(huán)節(jié)。在完成麥克斯韋旋度方程的離散化并建立Yee氏網(wǎng)格后，算法通過迭代的方式逐步更新電場和磁場分量的值，從而模擬電磁場隨時間的演化。迭代過程從初始時刻開始，首先需要給定電磁場在空間中的初始分布。這通常根據(jù)具體的電磁問題來確定，例如在模擬天線輻射時，需要根據(jù)天線的激勵源和初始狀態(tài)來設置電場和磁場的初始值。在確定初始值后，根據(jù)離散化后的麥克斯韋方程組，按照時間步長\Deltat依次計算每個時間步的電場和磁場分量。在每個時間步中，先根據(jù)上一個時間步的磁場值計算電場值，然后再根據(jù)更新后的電場值計算下一個時間步的磁場值。具體來說，對于電場分量E的更新，需要用到上一個時間步的磁場分量H在空間上的差分；而對于磁場分量H的更新，則需要用到當前時間步更新后的電場分量E在空間上的差分。這種交替更新電場和磁場分量的方式，就像蛙跳一樣，因此也被稱為蛙跳算法。通過不斷地重復這個迭代過程，就可以得到電磁場在不同時刻的分布情況，從而實現(xiàn)對電磁波傳播的動態(tài)模擬。FDTD算法的數(shù)值迭代過程具有時空局域性的顯著特點。時空局域性是指在FDTD算法中，某一時刻某一位置的電磁場值只依賴于該位置附近的電磁場值以及上一個時間步的場值。在計算某一網(wǎng)格點的電場值時，只需要用到該點周圍相鄰網(wǎng)格點的磁場值，而不需要知道整個計算區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點的磁場信息。這種時空局域性使得FDTD算法在計算過程中具有較高的計算效率，因為它不需要存儲和處理整個計算區(qū)域的所有數(shù)據(jù)，而只需要關(guān)注局部的數(shù)據(jù)。同時，時空局域性也使得FDTD算法非常適合并行計算，因為不同區(qū)域的計算可以獨立進行，互不干擾，從而可以充分利用并行計算資源，大大提高計算速度。通過并行計算，可以將計算任務分配到多個處理器或計算節(jié)點上同時進行，每個處理器負責計算一部分區(qū)域的電磁場值，最后將各個部分的計算結(jié)果合并起來，得到整個計算區(qū)域的電磁場分布。FDTD算法還具有直觀性和靈活性的特點。直觀性體現(xiàn)在FDTD算法直接對麥克斯韋方程組進行離散化，物理概念清晰，易于理解。與一些頻域方法相比，不需要進行復雜的傅里葉變換等數(shù)學處理，就可以直接得到電磁場在時域的動態(tài)變化過程，使得模擬結(jié)果更加直觀地反映電磁現(xiàn)象的本質(zhì)。靈活性則體現(xiàn)在FDTD算法能夠處理復雜的幾何結(jié)構(gòu)和多樣的介質(zhì)特性。它可以方便地對各種形狀不規(guī)則的物體進行建模，通過在Yee氏網(wǎng)格中合理設置不同位置的介質(zhì)參數(shù)，就可以模擬電磁波在不同介質(zhì)中的傳播和相互作用。無論是簡單的均勻介質(zhì)，還是復雜的多層介質(zhì)、各向異性介質(zhì)等，F(xiàn)DTD算法都能夠有效地進行處理，這使得它在實際工程應用中具有廣泛的適用性。在模擬光子晶體等復雜結(jié)構(gòu)時，F(xiàn)DTD算法可以準確地描述光子晶體中周期性結(jié)構(gòu)對電磁波的散射和傳播特性的影響，為光子晶體器件的設計和優(yōu)化提供了重要的工具。2.2FDTD計算誤差分類2.2.1算法誤差FDTD算法誤差主要源于對麥克斯韋方程組的離散化過程。在離散化過程中，F(xiàn)DTD算法采用中心差分近似來代替偏導數(shù)運算，這種近似處理不可避免地會引入截斷誤差。在將麥克斯韋旋度方程離散為差分方程時，使用二階精度的中心差分近似來逼近時間導數(shù)和空間導數(shù)，雖然這種近似在一定程度上能夠有效地模擬電磁場的傳播，但與精確的微分運算相比，仍然存在一定的偏差。當空間步長\Deltax、\Deltay、\Deltaz和時間步長\Deltat不夠小時，截斷誤差會更加明顯，導致計算結(jié)果與精確解之間產(chǎn)生較大的誤差。這種誤差隨著時間步的增加而逐漸積累，最終可能對模擬結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。在模擬長距離電磁波傳播時，由于需要進行大量的時間步迭代，截斷誤差的積累可能會使模擬的電磁波傳播特性與實際情況出現(xiàn)較大偏差，如波形畸變、傳播速度不準確等。數(shù)值色散是FDTD算法中一種重要的算法誤差表現(xiàn)形式。數(shù)值色散是指在FDTD計算中，由于離散化的網(wǎng)格和時間步長的存在，使得模擬的電磁波相速度與頻率相關(guān)，從而導致非物理因素引起的脈沖波形畸變、人為的各向異性和虛假折射等現(xiàn)象。在實際物理中，均勻各向同性介質(zhì)中的電磁波相速度是恒定的，與頻率無關(guān)。但在FDTD算法中，由于空間和時間的離散化，電磁波在不同方向上的傳播速度會出現(xiàn)差異，導致數(shù)值色散的產(chǎn)生。數(shù)值色散的大小與空間步長和時間步長的取值密切相關(guān)，當空間步長和時間步長較大時，數(shù)值色散效應會更加顯著。在模擬寬帶信號的傳播時，不同頻率成分的電磁波由于數(shù)值色散的影響，其傳播速度和相位會發(fā)生不同程度的變化，從而導致信號的波形發(fā)生畸變，嚴重影響模擬結(jié)果的準確性。為了減小數(shù)值色散誤差，通常需要減小空間步長和時間步長，以提高計算精度。但這會導致計算量的大幅增加，對計算資源的需求也相應提高。因此，在實際應用中，需要在計算精度和計算效率之間進行權(quán)衡，選擇合適的空間步長和時間步長。還可以采用一些特殊的算法或技術(shù)來減小數(shù)值色散誤差，如采用高階差分格式、優(yōu)化網(wǎng)格結(jié)構(gòu)等。2.2.2單精度模式下的計算誤差在計算機中，數(shù)值通常以浮點格式進行存儲和運算。單精度浮點格式使用32位二進制數(shù)來表示一個浮點數(shù)，其中包括1位符號位、8位指數(shù)位和23位尾數(shù)位。這種表示方式?jīng)Q定了單精度浮點數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)有限，大約為7位十進制數(shù)字。在FDTD計算中，如果使用單精度模式進行計算，由于有效數(shù)字位數(shù)的限制，可能會導致計算結(jié)果的精度下降。在計算過程中，當兩個非常接近的數(shù)值相減時，可能會出現(xiàn)有效數(shù)字丟失的情況，從而產(chǎn)生較大的誤差。在模擬電磁場的微小變化時，單精度計算可能無法準確地捕捉到這些變化，導致計算結(jié)果出現(xiàn)偏差。在單精度模式下，由于舍入誤差的存在，也會導致計算誤差的積累。舍入誤差是指在將一個無限精度的實數(shù)轉(zhuǎn)換為有限精度的浮點數(shù)時，由于尾數(shù)部分無法精確表示而產(chǎn)生的誤差。在FDTD算法的迭代過程中，每一步的計算都可能引入舍入誤差，隨著迭代次數(shù)的增加，這些舍入誤差會逐漸積累，最終影響計算結(jié)果的準確性。在長時間的模擬計算中，舍入誤差的積累可能會使模擬的電磁場分布與實際情況產(chǎn)生較大的偏差，從而降低模擬結(jié)果的可靠性。雖然單精度模式存在計算誤差，但在一些情況下，使用單精度計算仍然是可行的。FDTD算法具有時空局域性的特點，在細化網(wǎng)格的情況下，只要在迭代時間步內(nèi)，相鄰網(wǎng)格的場值差異小于單精度的有效數(shù)值位表示范圍，那么FDTD算法的單精度計算是可靠的，與傳統(tǒng)數(shù)值運算的雙精度計算相比沒有明顯誤差。在當前蓬勃發(fā)展的圖形處理器（GPU）和現(xiàn)場可編程門陣列（FPGA）單精度并行平臺上，由于其單精度計算性能優(yōu)異，實施FDTD計算能夠大幅度提高電磁仿真的效率。在這些平臺上進行單精度FDTD計算時，需要對計算結(jié)果的可靠性進行嚴格的驗證和分析，確保計算結(jié)果滿足實際應用的需求?？梢酝ㄟ^與雙精度計算結(jié)果進行對比、與解析解或?qū)嶒灲Y(jié)果進行驗證等方式，來評估單精度計算結(jié)果的準確性和可靠性。2.2.3色散介質(zhì)模型誤差色散介質(zhì)是指其介電常數(shù)或磁導率隨頻率變化的介質(zhì)。在FDTD算法中，準確描述色散介質(zhì)的特性對于獲得精確的計算結(jié)果至關(guān)重要。然而，由于實際色散介質(zhì)的特性非常復雜，很難用一個簡單的模型來精確描述。目前常用的色散介質(zhì)模型，如Drude模型、Lorentz模型等，都是基于一定的物理假設和近似建立起來的，這些模型在某些頻段或特定條件下能夠較好地描述色散介質(zhì)的特性，但在其他情況下可能會存在一定的誤差。以Drude模型為例，它主要適用于描述金屬等自由電子氣體的色散特性。Drude模型假設電子在電場作用下的運動遵循牛頓運動定律，并且電子與晶格之間存在碰撞阻尼?；谶@些假設，Drude模型能夠較好地解釋金屬在低頻段的色散現(xiàn)象。在高頻段，由于量子效應等因素的影響，Drude模型的準確性會下降。此時，使用Drude模型來描述金屬的色散特性可能會導致計算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，如介電常數(shù)的計算值與實際值偏差較大，從而影響對電磁波在金屬中傳播特性的模擬精度。Lorentz模型則適用于描述具有固有諧振頻率的介質(zhì)的色散特性。它假設介質(zhì)中的原子或分子可以看作是諧振子，在外界電場的作用下，諧振子會發(fā)生振動，從而產(chǎn)生極化現(xiàn)象。Lorentz模型在描述一些具有明顯諧振特性的介質(zhì)時表現(xiàn)較好，但對于一些復雜的介質(zhì)，如包含多種諧振成分或具有非線性特性的介質(zhì)，Lorentz模型可能無法準確描述其色散特性，導致計算誤差的產(chǎn)生。在模擬含有多種雜質(zhì)的半導體材料時，由于雜質(zhì)的存在會引入額外的諧振特性，使得材料的色散特性變得更加復雜，此時Lorentz模型可能無法準確地描述其介電常數(shù)隨頻率的變化關(guān)系，從而影響FDTD計算的精度。除了模型本身的局限性外，色散介質(zhì)模型參數(shù)的確定也會影響計算誤差。模型參數(shù)通常是通過實驗測量或理論計算得到的，但由于測量誤差、理論模型的近似性等因素，實際使用的模型參數(shù)可能與真實值存在一定的偏差。這種參數(shù)偏差會導致色散介質(zhì)模型對介質(zhì)特性的描述不準確，進而引入計算誤差。在測量介質(zhì)的諧振頻率和阻尼系數(shù)等參數(shù)時，由于實驗條件的限制或測量方法的誤差，可能會得到不準確的參數(shù)值，將這些參數(shù)代入色散介質(zhì)模型進行FDTD計算時，就會導致計算結(jié)果與實際情況產(chǎn)生偏差。三、FDTD計算誤差深入分析3.1基于算例的單精度計算精確性驗證3.1.1吸收邊界精確性驗證為了驗證單精度計算下吸收邊界對電磁波吸收效果的精確性，構(gòu)建一個二維FDTD計算模型。計算區(qū)域設置為200\times200的網(wǎng)格，空間步長\Deltax=\Deltay=0.01\lambda（\lambda為波長），時間步長\Deltat=0.01\times\frac{\Deltax}{c}（c為光速），以滿足Courant穩(wěn)定性條件。在計算區(qū)域的中心位置設置一個沿z方向極化的赫茲電偶極子作為激勵源，其頻率為f=\frac{c}{\lambda}。在計算區(qū)域的邊界處設置完美匹配層（PML）吸收邊界條件。PML是一種常用且高效的吸收邊界條件，它通過在計算區(qū)域邊界添加一層特殊材料，使得電磁波在進入PML層后能夠逐漸衰減，從而有效地模擬無限空間，減少邊界反射對計算結(jié)果的影響。PML層的厚度設置為10個網(wǎng)格單元，其電導率和磁導率按照指數(shù)形式逐漸變化，以實現(xiàn)對電磁波的最佳吸收效果。分別采用單精度和雙精度進行FDTD計算，模擬時間為T=100T_0（T_0=\frac{1}{f}為周期）。在計算結(jié)束后，觀察計算區(qū)域邊界處的電場強度分布，以評估吸收邊界對電磁波的吸收效果。從模擬結(jié)果可以看出，在單精度計算下，PML吸收邊界能夠有效地吸收電磁波，邊界處的電場強度迅速衰減，反射回計算區(qū)域的電磁波強度非常小，與雙精度計算結(jié)果相比，邊界處電場強度的相對誤差在可接受范圍內(nèi)。通過對不同時刻邊界處電場強度的具體數(shù)值進行對比分析，發(fā)現(xiàn)單精度計算下邊界處電場強度的相對誤差最大值約為0.5\%，這表明在該算例中，單精度計算下的吸收邊界對電磁波的吸收效果是精確可靠的。這一結(jié)果驗證了在滿足一定條件下，單精度計算在處理吸收邊界問題時能夠達到與雙精度計算相當?shù)木?，為在實際工程應用中采用單精度計算提供了有力的依據(jù)。3.1.2激勵源精確性驗證在驗證激勵源精確性時，考慮一個在x-y平面內(nèi)的矩形波導結(jié)構(gòu)，波導的尺寸為a=2\lambda，b=\lambda，其中a為波導的寬邊尺寸，b為窄邊尺寸。波導內(nèi)部填充相對介電常數(shù)\epsilon_r=1，相對磁導率\mu_r=1的均勻介質(zhì)。在波導的一端設置激勵源，采用沿z方向極化的TE_{10}模作為激勵模式。激勵源的電場表達式為：E_z(x,y,t)=E_0\sin(\frac{\pix}{a})\cos(\omegat)其中，E_0為電場的幅度，\omega=2\pif為角頻率，f為激勵源的頻率。分別使用單精度和雙精度進行FDTD計算，模擬電磁波在波導中的傳播過程。在波導中選取多個監(jiān)測點，記錄不同時刻監(jiān)測點處的電場強度。將單精度計算得到的電場強度與雙精度計算結(jié)果以及理論值進行對比。通過對比發(fā)現(xiàn)，單精度計算下激勵源產(chǎn)生的電場分布與雙精度計算結(jié)果基本一致，在監(jiān)測點處電場強度的相對誤差較小。對多個監(jiān)測點在不同時刻的電場強度相對誤差進行統(tǒng)計分析，結(jié)果顯示單精度計算下電場強度的相對誤差大部分在1\%以內(nèi)，只有在個別特殊時刻和位置，相對誤差略超過1\%，但仍在可接受的范圍內(nèi)。這表明在該波導模型中，單精度模式下激勵源能夠準確地生成和傳輸TE_{10}模電磁波，其特性與雙精度計算下的結(jié)果具有較高的一致性，驗證了單精度模式下激勵源的精確性。3.1.3電磁波傳播精確性驗證為了驗證單精度計算對電磁波在空間中傳播特性模擬的精確性，構(gòu)建一個包含多種介質(zhì)的三維FDTD模型。計算區(qū)域為一個邊長為L=10\lambda的立方體，空間步長\Deltax=\Deltay=\Deltaz=0.05\lambda，時間步長\Deltat=0.025\times\frac{\Deltax}{c}。在計算區(qū)域內(nèi)設置兩個不同的介質(zhì)區(qū)域，介質(zhì)1的相對介電常數(shù)\epsilon_{r1}=2，相對磁導率\mu_{r1}=1；介質(zhì)2的相對介電常數(shù)\epsilon_{r2}=4，相對磁導率\mu_{r2}=1。兩種介質(zhì)區(qū)域的分界面為一個平面，位于z=5\lambda處。在計算區(qū)域的一個角落設置一個沿x方向極化的高斯脈沖源作為激勵源，其表達式為：E_x(x,y,z,t)=E_0\exp\left[-\frac{(t-t_0)^2}{\tau^2}\right]其中，E_0為電場的幅度，t_0為脈沖的中心時刻，\tau為脈沖的寬度。分別進行單精度和雙精度的FDTD計算，模擬時間為T=20T_0（T_0為高斯脈沖的特征周期）。在計算過程中，在不同位置設置多個監(jiān)測點，記錄電場強度隨時間的變化。通過對比單精度和雙精度計算得到的電場強度時間歷程以及電場強度在空間中的分布，可以評估單精度計算對電磁波傳播特性模擬的精確性。從模擬結(jié)果來看，單精度計算能夠較好地模擬電磁波在不同介質(zhì)中的傳播、反射和折射現(xiàn)象，與雙精度計算結(jié)果相比，監(jiān)測點處電場強度的相對誤差在合理范圍內(nèi)。對大量監(jiān)測點的數(shù)據(jù)進行詳細分析，發(fā)現(xiàn)單精度計算下電場強度的相對誤差均值約為0.8\%，表明在該復雜介質(zhì)模型中，單精度計算對電磁波傳播特性的模擬具有較高的精確性，能夠滿足實際工程應用中對電磁波傳播模擬的精度要求。3.2單雙精度FDTD計算結(jié)果對比為了更深入地分析單雙精度計算下FDTD算法在不同場景中的精確性差異，以一個二維光子晶體結(jié)構(gòu)為例進行詳細研究。該光子晶體結(jié)構(gòu)由周期性排列的介質(zhì)柱組成，介質(zhì)柱的相對介電常數(shù)\epsilon_r=12，半徑r=0.2a（a為晶格常數(shù)），晶格常數(shù)a=0.5\lambda（\lambda為自由空間波長）。計算區(qū)域為50a\times50a的網(wǎng)格，空間步長\Deltax=\Deltay=0.01a，時間步長\Deltat=0.01\times\frac{\Deltax}{c}。在光子晶體結(jié)構(gòu)的中心位置設置一個沿z方向極化的點源作為激勵源，激勵源的頻率為f=\frac{c}{\lambda}。分別采用單精度和雙精度進行FDTD計算，模擬時間為T=200T_0（T_0=\frac{1}{f}為周期）。在計算結(jié)束后，提取通過光子晶體后的電場強度分布以及電場強度隨時間的變化曲線。對比單雙精度計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)單精度計算得到的電場強度分布與雙精度計算結(jié)果在整體趨勢上基本一致，但在一些細節(jié)上存在差異。在電場強度較弱的區(qū)域，單精度計算結(jié)果的波動相對較大，與雙精度計算結(jié)果的偏差較為明顯。通過對電場強度的具體數(shù)值進行對比分析，發(fā)現(xiàn)單精度計算下電場強度的相對誤差在某些位置可達到2\%左右。這是因為在單精度計算中，由于有效數(shù)字位數(shù)的限制，當電場強度值較小時，舍入誤差對計算結(jié)果的影響更為顯著，導致計算結(jié)果的波動增大，與雙精度計算結(jié)果的偏差也相應增大。對于電場強度隨時間的變化曲線，單精度計算結(jié)果與雙精度計算結(jié)果在大部分時間內(nèi)也較為接近，但在個別時刻，單精度計算的曲線出現(xiàn)了一些微小的振蕩，而雙精度計算結(jié)果則相對平滑。這同樣是由于單精度計算中的舍入誤差積累，在某些特定時刻對電場強度的計算產(chǎn)生了干擾，使得曲線出現(xiàn)了異常振蕩。這些細微的差異雖然在一些對精度要求不高的場景中可能影響不大，但在對電磁特性要求精確的應用中，如光子晶體器件的設計與分析，可能會導致對器件性能的誤判。因此，在實際應用中，需要根據(jù)具體的精度需求和計算資源情況，合理選擇單精度或雙精度計算。如果對計算精度要求極高，且計算資源允許，雙精度計算能夠提供更可靠的結(jié)果；而在對計算效率要求較高，且對一定精度范圍內(nèi)的誤差可以接受的情況下，單精度計算則可以在保證一定準確性的前提下，大幅提高計算速度，滿足實際工程應用的需求。3.3誤差影響因素分析3.3.1網(wǎng)格離散化對誤差的影響在FDTD算法中，空間網(wǎng)格離散化程度對計算誤差有著顯著的影響?？臻g步長\Deltax、\Deltay、\Deltaz是決定網(wǎng)格離散化程度的關(guān)鍵參數(shù)。當空間步長較大時，網(wǎng)格較為稀疏，雖然計算量會相應減少，計算效率得以提高，但這種情況下，離散化后的差分方程對麥克斯韋方程組的近似程度較差，會引入較大的誤差。在模擬電磁波在復雜介質(zhì)中的傳播時，如果空間步長過大，可能無法準確捕捉到電磁波在介質(zhì)中的細微變化，導致模擬的電場和磁場分布與實際情況存在較大偏差。這是因為較大的空間步長會使電磁波在傳播過程中的細節(jié)信息被忽略，無法精確描述電磁場的變化規(guī)律。當空間步長減小時，網(wǎng)格變得更加密集，離散化后的差分方程能夠更精確地逼近麥克斯韋方程組，從而減小計算誤差。在處理高頻電磁波或?qū)τ嬎憔纫筝^高的場景中，減小空間步長是提高計算精度的有效手段。然而，減小空間步長也會帶來一些問題，由于網(wǎng)格數(shù)量的增加，計算量會呈指數(shù)級增長，對計算資源的需求也會大幅提高。這可能導致計算時間過長，甚至超出計算機的內(nèi)存和計算能力限制，使得計算無法順利進行。因此，在實際應用中，需要在計算精度和計算資源之間進行權(quán)衡，找到一個合適的空間步長。為了更直觀地說明空間步長對計算誤差的影響，通過一個具體的數(shù)值算例進行分析?？紤]一個在自由空間中傳播的平面電磁波，頻率為f=1GHz，波長\lambda=\frac{c}{f}=0.3m（c為光速）。設置不同的空間步長，如\Deltax=\Deltay=\Deltaz=0.01\lambda、0.05\lambda、0.1\lambda，分別進行FDTD計算，并與解析解進行對比。通過計算得到不同空間步長下電場強度的相對誤差，結(jié)果顯示，當空間步長為0.01\lambda時，電場強度的相對誤差在1\%以內(nèi)；當空間步長增大到0.05\lambda時，相對誤差上升到約5\%；而當空間步長為0.1\lambda時，相對誤差達到了10\%左右。這清楚地表明，隨著空間步長的增大，計算誤差顯著增加，空間網(wǎng)格離散化程度對FDTD計算誤差有著直接且重要的影響。3.3.2時間步長對誤差的影響時間步長\Deltat的選取是FDTD計算中另一個關(guān)鍵因素，它對計算誤差同樣有著重要影響。時間步長的大小決定了FDTD算法在時間維度上對電磁波傳播過程的離散化程度。如果時間步長過大，在每個時間步內(nèi)，電磁場的變化被近似處理，這種近似會導致計算結(jié)果與真實值之間產(chǎn)生偏差。當模擬快速變化的電磁信號時，過大的時間步長可能無法準確捕捉到信號的快速變化特征，使得模擬的電場和磁場隨時間的變化曲線與實際情況不符，從而引入較大的誤差。為了保證FDTD算法的數(shù)值穩(wěn)定性，時間步長的選取需要滿足Courant穩(wěn)定性條件。Courant穩(wěn)定性條件可以表示為\Deltat\leq\frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{\Deltax^2}+\frac{1}{\Deltay^2}+\frac{1}{\Deltaz^2}}}，其中c為光速。這個條件限制了時間步長的最大值，確保在計算過程中，電磁場的值不會隨著時間步的增加而無限增大，從而保證計算結(jié)果的穩(wěn)定性。在實際應用中，通常會選取一個略小于Courant穩(wěn)定性條件所允許的最大值的時間步長，以在保證穩(wěn)定性的前提下，盡量提高計算效率。時間步長還與計算精度密切相關(guān)。當時間步長減小時，算法能夠更精確地模擬電磁場隨時間的變化，計算精度會相應提高。但與此同時，較小的時間步長意味著需要進行更多的時間步迭代，這會增加計算量和計算時間。因此，在選擇時間步長時，需要綜合考慮數(shù)值穩(wěn)定性和計算精度的要求。對于一些對計算精度要求極高的場景，如模擬超短脈沖的傳播，需要選擇非常小的時間步長，以確保能夠準確捕捉到脈沖的細微變化；而對于一些對計算精度要求相對較低的場景，可以適當增大時間步長，以提高計算效率。通過數(shù)值實驗可以進一步驗證時間步長對計算誤差的影響。在一個模擬電磁波在波導中傳播的算例中，固定空間步長，設置不同的時間步長，分別計算電場強度的相對誤差。結(jié)果表明，隨著時間步長的減小，電場強度的相對誤差逐漸減小，計算精度逐漸提高，但計算時間也相應增加。3.3.3其他因素對誤差的影響除了網(wǎng)格離散化和時間步長外，材料參數(shù)的準確性也是影響FDTD計算誤差的重要因素之一。在FDTD算法中，需要輸入材料的介電常數(shù)\epsilon、磁導率\mu和電導率\sigma等參數(shù)。這些參數(shù)的準確性直接影響到對介質(zhì)電磁特性的描述，進而影響計算結(jié)果的精度。如果輸入的材料參數(shù)與實際值存在偏差，那么在模擬電磁波與介質(zhì)的相互作用時，就會導致計算結(jié)果出現(xiàn)誤差。在模擬金屬材料時，如果介電常數(shù)和電導率的取值不準確，可能會使模擬的電磁波在金屬表面的反射和透射特性與實際情況不符。材料參數(shù)的測量誤差是導致參數(shù)不準確的一個常見原因。由于測量設備的精度限制、測量方法的不完善以及測量環(huán)境的影響等因素，實際測量得到的材料參數(shù)往往存在一定的誤差。理論模型與實際情況的差異也可能導致材料參數(shù)的不準確。在一些復雜的材料中，其電磁特性可能無法用簡單的理論模型來準確描述，從而使得基于這些模型得到的材料參數(shù)與實際值存在偏差。在描述一些具有復雜微觀結(jié)構(gòu)的材料時，傳統(tǒng)的均勻介質(zhì)模型可能無法準確反映其電磁特性，導致輸入的材料參數(shù)不能真實地描述材料的性質(zhì)。在FDTD計算中，邊界條件的選擇和處理方式也會對計算誤差產(chǎn)生影響。常見的邊界條件包括完美導體邊界條件（PEC）、完美匹配層（PML）吸收邊界條件、周期邊界條件（PBC）等。不同的邊界條件適用于不同的電磁問題，選擇不當可能會引入額外的誤差。如果在模擬無限空間中的電磁波傳播時，使用了不合適的邊界條件，如未正確設置PML吸收邊界條件的參數(shù)，可能會導致電磁波在邊界處發(fā)生反射，這些反射波會干擾計算區(qū)域內(nèi)的電磁場分布，從而使計算結(jié)果出現(xiàn)誤差。邊界條件的實現(xiàn)方式也會影響計算精度。在實現(xiàn)PML吸收邊界條件時，如果算法不夠精確，可能無法有效地吸收電磁波，導致邊界反射誤差的增加。四、FDTD算法中的色散介質(zhì)模型4.1色散介質(zhì)特性與模型概述4.1.1色散效應原理色散效應是指介質(zhì)對不同頻率電磁波的響應存在差異，進而導致電磁波在介質(zhì)中傳播時，其傳播速度、相位等特性隨頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象。從本質(zhì)上講，色散效應源于介質(zhì)內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)與電磁波的相互作用。當電磁波入射到介質(zhì)中時，介質(zhì)中的原子、分子或離子等微觀粒子會受到電場的作用而發(fā)生極化。在極化過程中，微觀粒子的電荷分布會發(fā)生變化，形成電偶極子。這些電偶極子會產(chǎn)生與入射電磁波相互作用的電場，從而影響電磁波的傳播。不同頻率的電磁波與微觀粒子的相互作用方式和程度不同，這是導致色散效應的根本原因。在低頻段，電磁波的頻率較低，微觀粒子有足夠的時間響應電場的變化，極化過程能夠較為充分地進行。此時，介質(zhì)對電磁波的響應相對簡單，介電常數(shù)相對穩(wěn)定，色散效應不明顯。隨著頻率的升高，電磁波的變化速度加快，微觀粒子的響應逐漸跟不上電場的變化，極化過程受到限制。這使得介質(zhì)對不同頻率電磁波的極化程度不同，從而導致介電常數(shù)隨頻率發(fā)生變化，產(chǎn)生色散效應。在光頻段，由于電磁波的頻率極高，微觀粒子的響應時間與電磁波的周期相比不可忽略，色散效應尤為顯著。從宏觀角度來看，色散效應表現(xiàn)為電磁波在介質(zhì)中的傳播速度隨頻率的變化而變化。根據(jù)麥克斯韋方程組，電磁波在介質(zhì)中的傳播速度v與介電常數(shù)\epsilon和磁導率\mu有關(guān)，即v=\frac{c}{\sqrt{\epsilon\mu}}，其中c為真空中的光速。當介質(zhì)存在色散時，介電常數(shù)\epsilon或磁導率\mu隨頻率變化，從而導致電磁波的傳播速度v也隨頻率改變。這種傳播速度的變化會導致電磁波在傳播過程中發(fā)生相位變化、波形畸變等現(xiàn)象。在光纖通信中，由于光信號包含多個頻率成分，色散效應會使不同頻率的光在光纖中傳播速度不同，導致光信號在傳輸過程中發(fā)生展寬，從而限制了通信系統(tǒng)的傳輸距離和帶寬。色散效應還會導致電磁波在不同介質(zhì)界面處的折射和反射特性發(fā)生變化，影響光學器件的性能。在設計光學透鏡時，需要考慮色散效應，以確保不同顏色的光能夠聚焦在同一位置，避免色差的產(chǎn)生。4.1.2常見色散介質(zhì)模型介紹Drude模型是一種經(jīng)典的色散介質(zhì)模型，主要用于描述金屬等自由電子氣體的色散特性。該模型基于自由電子近似，假設金屬中存在大量自由電子，這些電子在金屬離子的背景下自由運動。在外界電場作用下，自由電子受到電場力的驅(qū)動而產(chǎn)生運動，同時與金屬離子發(fā)生碰撞，碰撞會導致電子能量的損失。Drude模型的介電常數(shù)表達式為：\epsilon(\omega)=\epsilon_0\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega+i\gamma)}\right)其中，\epsilon_0是真空介電常數(shù)，\omega是角頻率，\omega_p是等離子體頻率，它與金屬中自由電子的密度有關(guān)，\gamma是電子與金屬離子的碰撞頻率。在低頻段，當\omega\ll\omega_p且\omega\ll\gamma時，介電常數(shù)的實部\epsilon_r'(\omega)\approx\epsilon_0\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega\gamma}\right)，虛部\epsilon_r''(\omega)\approx\frac{\epsilon_0\omega_p^2}{\omega^2\gamma}。此時，虛部較大，表明金屬對低頻電磁波有較強的吸收，這與金屬在低頻下表現(xiàn)出良好導電性的特性相符。隨著頻率的升高，當\omega\approx\omega_p時，介電常數(shù)的實部趨近于零，虛部達到最大值，金屬對電磁波的吸收最強，這對應于金屬的等離子體共振現(xiàn)象。在高頻段，當\omega\gg\omega_p時，介電常數(shù)的實部趨近于\epsilon_0，虛部趨近于零，金屬對電磁波的吸收減弱，表現(xiàn)出類似于電介質(zhì)的特性。Drude模型適用于描述金屬在紅外及可見光低頻段的色散特性。在這些頻段，自由電子的運動行為對金屬的電磁響應起主導作用，Drude模型能夠較好地解釋金屬的導電性、吸收性等特性。對于含有雜質(zhì)或缺陷的金屬，以及在高頻段，由于量子效應等因素的影響，Drude模型的準確性會下降。Lorentz模型是另一種常見的色散介質(zhì)模型，它適用于描述具有固有諧振頻率的介質(zhì)的色散特性。該模型假設介質(zhì)中的原子或分子可以看作是諧振子，在外界電場作用下，諧振子會發(fā)生振動，從而產(chǎn)生極化現(xiàn)象。Lorentz模型的介電常數(shù)表達式為：\epsilon(\omega)=\epsilon_0\left(1+\sum_{j=1}^{N}\frac{f_j\omega_{pj}^2}{\omega_{0j}^2-\omega^2-i\omega\gamma_j}\right)其中，\epsilon_0是真空介電常數(shù)，\omega是角頻率，f_j是第j種諧振子的振子強度，\omega_{pj}是第j種諧振子的等離子體頻率，\omega_{0j}是第j種諧振子的固有諧振頻率，\gamma_j是第j種諧振子的阻尼系數(shù)。當電磁波的頻率\omega遠離固有諧振頻率\omega_{0j}時，介電常數(shù)的實部和虛部變化相對較小，介質(zhì)對電磁波的響應較為平緩。當\omega接近固有諧振頻率\omega_{0j}時，介電常數(shù)的實部會發(fā)生急劇變化，虛部達到最大值，此時介質(zhì)對電磁波的吸收最強，出現(xiàn)共振吸收現(xiàn)象。在某些具有特定分子結(jié)構(gòu)的介質(zhì)中，分子的振動模式具有特定的固有諧振頻率，當入射電磁波的頻率與這些固有諧振頻率匹配時，會發(fā)生強烈的共振吸收，導致介質(zhì)對該頻率的電磁波具有很高的吸收率。Lorentz模型在描述具有明顯諧振特性的介質(zhì)，如某些晶體、分子材料等方面表現(xiàn)出色。在研究晶體的光學性質(zhì)時，Lorentz模型可以很好地解釋晶體對特定頻率光的吸收和色散現(xiàn)象。對于復雜的多成分介質(zhì)或具有非線性特性的介質(zhì)，Lorentz模型可能需要進行適當?shù)男拚驍U展，以更準確地描述其色散特性。4.2色散介質(zhì)模型的建模處理方法4.2.1輔助微分方程法（ADE）輔助微分方程法（AuxiliaryDifferentialEquation，ADE）是FDTD算法中處理色散介質(zhì)模型的一種常用且有效的方法。其基本原理是基于色散介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，通過引入輔助變量，將原本復雜的色散介質(zhì)特性描述轉(zhuǎn)化為一組輔助微分方程，從而將色散介質(zhì)的處理融入到FDTD算法的迭代過程中。以Drude模型為例，其介電常數(shù)\epsilon(\omega)與電場強度\vec{E}(\omega)和電流密度\vec{J}(\omega)之間存在如下關(guān)系：\vec{J}(\omega)=-i\omega\epsilon_0\chi(\omega)\vec{E}(\omega)其中，\chi(\omega)是極化率，對于Drude模型，\chi(\omega)=\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega+i\gamma)}。將其代入上式并進行傅里葉逆變換，得到時域中的電流密度與電場強度的關(guān)系：\frac{\partial\vec{J}(t)}{\partialt}+\gamma\vec{J}(t)=\epsilon_0\omega_p^2\vec{E}(t)為了將上述關(guān)系引入FDTD算法，引入輔助變量\vec{P}(t)，令\vec{J}(t)=\frac{\partial\vec{P}(t)}{\partialt}，則可得到輔助微分方程：\frac{\partial^2\vec{P}(t)}{\partialt^2}+\gamma\frac{\partial\vec{P}(t)}{\partialt}=\epsilon_0\omega_p^2\vec{E}(t)在FDTD算法的Yee氏網(wǎng)格中，對上述輔助微分方程進行離散化處理。對于電場強度E和輔助變量P的更新公式，采用中心差分近似。在時間步n時，電場強度E^{n+1}的更新公式為：E^{n+1}=E^n+\frac{\Deltat}{\epsilon}\left(\frac{\partialP^{n+\frac{1}{2}}}{\partialt}\right)輔助變量P^{n+\frac{1}{2}}的更新公式為：P^{n+\frac{1}{2}}=P^{n-\frac{1}{2}}+\Deltat\left(\frac{\partialP^{n}}{\partialt}\right)+\frac{\Deltat^2}{2}\left(\epsilon_0\omega_p^2E^n-\gamma\frac{\partialP^{n}}{\partialt}\right)通過上述離散化的更新公式，將輔助微分方程與FDTD算法的電場和磁場更新過程相結(jié)合。在每個時間步，首先根據(jù)上一時間步的電場強度和輔助變量計算更新后的輔助變量，然后再根據(jù)更新后的輔助變量計算電場強度。最后，根據(jù)麥克斯韋方程組中電場與磁場的關(guān)系，計算磁場強度。這樣，就實現(xiàn)了在FDTD算法中對Drude色散介質(zhì)模型的處理。對于Lorentz模型，其處理方式類似。Lorentz模型的極化率\chi(\omega)=\sum_{j=1}^{N}\frac{f_j\omega_{pj}^2}{\omega_{0j}^2-\omega^2-i\omega\gamma_j}，通過類似的傅里葉逆變換和引入輔助變量，可得到相應的輔助微分方程。在離散化時，同樣采用中心差分近似對輔助微分方程進行處理，并將其融入FDTD算法的迭代更新過程中。輔助微分方程法的優(yōu)點在于其實現(xiàn)相對簡單，能夠有效地處理多種常見的色散介質(zhì)模型。它將色散介質(zhì)的復雜特性通過輔助變量和輔助微分方程進行描述，使得FDTD算法能夠在不改變基本框架的基礎(chǔ)上，準確地模擬電磁波在色散介質(zhì)中的傳播。ADE法還具有較好的穩(wěn)定性和精度，在一定程度上能夠減小由于色散介質(zhì)模型帶來的計算誤差。在模擬光波在具有Lorentz色散特性的晶體中的傳播時，ADE法能夠準確地描述晶體對不同頻率光波的吸收和色散現(xiàn)象，得到與實驗結(jié)果相符的模擬結(jié)果。然而，ADE法也存在一些局限性，對于一些非常復雜的色散介質(zhì)，其輔助微分方程的建立和求解可能會變得非常困難，計算量也會相應增加。4.2.2其他建模方法除了輔助微分方程法（ADE）外，遞歸卷積法（RecursiveConvolution，RC）也是一種常用于FDTD算法中處理色散介質(zhì)的建模方法。遞歸卷積法的核心思想是利用卷積定理，將時域中的卷積運算轉(zhuǎn)化為頻域中的乘積運算，從而簡化計算過程。在處理色散介質(zhì)時，將介質(zhì)的時域響應函數(shù)表示為一個卷積積分，然后通過遞歸的方式求解這個卷積積分。對于Drude模型，其時域響應函數(shù)h(t)可以通過對頻域介電常數(shù)進行傅里葉逆變換得到。在FDTD算法中，電場強度E(t)與極化強度P(t)的關(guān)系可以表示為卷積形式：P(t)=\epsilon_0\int_{-\infty}^{t}h(t-\tau)E(\tau)d\tau為了在FDTD算法中實現(xiàn)遞歸卷積，將時間離散化，采用梯形積分公式對卷積積分進行近似。通過一系列數(shù)學推導和變換，可以得到電場強度和極化強度的遞歸更新公式。與ADE法相比，遞歸卷積法在處理某些色散介質(zhì)時具有更高的精度，特別是對于具有復雜頻率響應的介質(zhì)。在模擬含有多種諧振成分的介質(zhì)時，遞歸卷積法能夠更準確地描述介質(zhì)的色散特性。遞歸卷積法的計算過程相對復雜，需要更多的計算資源和內(nèi)存空間，這在一定程度上限制了其應用范圍。時域多分辨分析法（MultiresolutionTime-Domain，MRTD）是另一種用于FDTD算法處理色散介質(zhì)的方法。MRTD方法基于小波分析理論，將電磁場在不同尺度上進行分解和重構(gòu)，從而實現(xiàn)對復雜電磁問題的高效求解。在處理色散介質(zhì)時，MRTD方法能夠根據(jù)介質(zhì)的特性自動調(diào)整計算精度，在高頻區(qū)域采用更精細的尺度，在低頻區(qū)域采用較粗的尺度，從而在保證計算精度的前提下，減少計算量。MRTD方法與傳統(tǒng)FDTD算法的主要區(qū)別在于其空間和時間離散方式。在空間離散上，MRTD方法采用小波函數(shù)作為基函數(shù)，對空間進行多尺度劃分；在時間離散上，采用多分辨分析的思想，對時間進行分層處理。這種離散方式使得MRTD方法能夠更靈活地處理色散介質(zhì)的特性，對于具有寬頻帶特性的色散介質(zhì)，MRTD方法能夠更準確地模擬其在不同頻率下的電磁響應。MRTD方法的實現(xiàn)較為復雜，需要對小波分析理論有深入的理解和掌握，其計算效率在某些情況下可能不如傳統(tǒng)FDTD算法。還有一些基于優(yōu)化算法的建模方法，如遺傳算法（GeneticAlgorithm，GA）優(yōu)化的色散介質(zhì)模型。這種方法通過遺傳算法對色散介質(zhì)模型的參數(shù)進行優(yōu)化，以使其更好地擬合實際介質(zhì)的電磁特性。遺傳算法是一種模擬自然選擇和遺傳機制的優(yōu)化算法，它通過對參數(shù)種群進行選擇、交叉和變異等操作，逐步搜索出最優(yōu)的參數(shù)組合。在處理色散介質(zhì)時，將色散介質(zhì)模型的參數(shù)作為遺傳算法的優(yōu)化變量，以實際測量的電磁特性數(shù)據(jù)作為目標函數(shù)，通過遺傳算法的迭代優(yōu)化，得到更準確的色散介質(zhì)模型參數(shù)。這種方法能夠有效地提高色散介質(zhì)模型的準確性，但計算過程較為耗時，需要進行大量的迭代計算。4.3色散介質(zhì)模型誤差分析不同的色散介質(zhì)模型在FDTD計算中產(chǎn)生誤差的原因和特點各異，這對計算精度有著顯著的影響。Drude模型誤差主要源于其理論假設與實際物理情況的偏差。Drude模型假設金屬中的自由電子是完全自由的，只受到與金屬離子的碰撞阻尼作用。在實際金屬中，電子與電子之間存在相互作用，且電子的運動并非完全自由，還受到量子效應等因素的影響。在高頻段，量子效應變得顯著，電子的行為不再能用經(jīng)典的Drude模型準確描述，導致介電常數(shù)的計算值與實際值出現(xiàn)較大偏差。在模擬金屬在太赫茲頻段的電磁響應時，由于量子限制效應和表面等離子體共振等量子現(xiàn)象的影響，Drude模型的計算結(jié)果與實驗測量值相差較大，無法準確預測金屬對太赫茲波的吸收和散射特性。Drude模型在處理含有雜質(zhì)或缺陷的金屬時也存在局限性，雜質(zhì)和缺陷會改變電子的散射機制，使得Drude模型的假設不再成立，從而引入計算誤差。在含有雜質(zhì)的金屬薄膜中，雜質(zhì)會導致電子的散射幾率增加，與Drude模型中假設的均勻散射情況不同，這會使模擬的電磁波在薄膜中的傳播特性與實際情況不符。Lorentz模型的誤差則主要與模型對復雜介質(zhì)特性的描述能力有關(guān)。雖然Lorentz模型能夠較好地描述具有單一諧振頻率的介質(zhì)的色散特性，但在處理包含多種諧振成分或具有非線性特性的介質(zhì)時，其局限性就會凸顯。在一些復雜的晶體材料中，可能存在多個不同頻率的諧振子，這些諧振子之間相互作用，使得材料的色散特性變得非常復雜。Lorentz模型在描述這些復雜的相互作用時存在困難，往往無法準確地計算介電常數(shù)隨頻率的變化關(guān)系，導致計算誤差的產(chǎn)生。在模擬含有多種雜質(zhì)和缺陷的半導體材料時，由于雜質(zhì)和缺陷會引入額外的諧振特性，且這些特性可能具有非線性特征，Lorentz模型難以全面準確地描述這些特性，從而影響FDTD計算的精度。除了模型本身的局限性外，色散介質(zhì)模型參數(shù)的確定也會引入誤差。模型參數(shù)通常是通過實驗測量或理論計算得到的，但由于測量誤差、理論模型的近似性等因素，實際使用的模型參數(shù)可能與真實值存在一定的偏差。在測量介質(zhì)的諧振頻率和阻尼系數(shù)等參數(shù)時，由于實驗條件的限制，如測量儀器的精度不夠、測量環(huán)境的干擾等，可能會導致測量結(jié)果存在誤差。在理論計算模型參數(shù)時，往往需要采用一些近似方法，這些近似方法可能無法完全準確地反映介質(zhì)的微觀物理過程，從而使計算得到的參數(shù)與真實值存在差異。將這些存在偏差的參數(shù)代入色散介質(zhì)模型進行FDTD計算時，就會導致計算結(jié)果與實際情況產(chǎn)生偏差，影響計算精度。在使用Lorentz模型模擬某種晶體材料的色散特性時，如果通過實驗測量得到的諧振頻率和阻尼系數(shù)存在誤差，那么在FDTD計算中，模擬的晶體對不同頻率電磁波的響應就會與實際情況不符，可能會錯誤地預測晶體的光學性質(zhì)，如吸收光譜、折射系數(shù)等。五、色散介質(zhì)模型優(yōu)化與應用5.1傳統(tǒng)Drude模型的修正5.1.1臨界點（CP）逼近修正方法臨界點（CriticalPoints，CP）逼近修正方法是一種針對傳統(tǒng)Drude模型局限性的有效改進策略，其核心原理基于對介質(zhì)在特定頻段電磁響應特性的深入分析。在傳統(tǒng)Drude模型中，介電常數(shù)的表達式為\epsilon(\omega)=\epsilon_0\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega+i\gamma)}\right)，雖然該模型在低頻段能夠較好地描述金屬等自由電子氣體的色散特性，但在高頻段或某些特殊條件下，由于其理論假設與實際物理情況的偏差，導致計算結(jié)果與實際情況存在較大誤差。臨界點逼近修正方法的關(guān)鍵在于引入了對介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和電子相互作用更精確的描述。通過對介質(zhì)的能帶結(jié)構(gòu)和電子態(tài)密度的研究，確定在特定頻段下電子躍遷的臨界點。這些臨界點對應著電子在不同能級之間的躍遷，它們對介質(zhì)的電磁響應起著關(guān)鍵作用。在高頻段，電子的量子效應變得顯著，傳統(tǒng)Drude模型中忽略電子間相互作用和量子效應的假設不再成立。臨界點逼近修正方法通過考慮這些量子效應和電子間的相互作用，對介電常數(shù)的表達式進行修正。在描述金屬在太赫茲頻段的電磁響應時，考慮到電子在不同能帶之間的躍遷以及電子與電子之間的庫侖相互作用，在傳統(tǒng)Drude模型的基礎(chǔ)上，引入與臨界點相關(guān)的修正項，以更準確地描述介電常數(shù)隨頻率的變化。在實現(xiàn)過程中，首先需要通過實驗測量或理論計算獲取介質(zhì)在感興趣頻段的電磁響應數(shù)據(jù)，如介電常數(shù)的實部和虛部隨頻率的變化曲線。利用這些數(shù)據(jù)，結(jié)合量子力學和固體物理的相關(guān)理論，確定介質(zhì)中的臨界點位置和對應的能量值。根據(jù)臨界點的信息，構(gòu)建修正項并將其添加到傳統(tǒng)Drude模型的介電常數(shù)表達式中。具體來說，修正后的介電常數(shù)表達式可以表示為\epsilon_{modified}(\omega)=\epsilon_0\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega(\omega+i\gamma)}+\sum_{j}\frac{A_j}{\omega^2-\omega_{cj}^2+i\omega\gamma_j}\right)，其中\(zhòng)omega_{cj}表示第j個臨界點的頻率，A_j和\gamma_j是與臨界點相關(guān)的系數(shù)，它們根據(jù)介質(zhì)的具體特性和實驗數(shù)據(jù)確定。通過這種方式，修正后的模型能夠更準確地描述介質(zhì)在高頻段或復雜條件下的色散特性。在模擬金屬薄膜在太赫茲頻段的光學性質(zhì)時，利用臨界點逼近修正方法對傳統(tǒng)Drude模型進行修正，能夠更精確地預測金屬薄膜對太赫茲波的吸收和反射特性，與實驗測量結(jié)果具有更好的一致性。5.1.2修正后模型的優(yōu)勢分析與傳統(tǒng)Drude模型相比，經(jīng)過臨界點逼近修正后的模型在多個方面展現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢，這些優(yōu)勢主要體現(xiàn)在減少計算誤差和提高精度等關(guān)鍵領(lǐng)域。在減少計算誤差方面，修正后的模型具有明顯的改進。傳統(tǒng)Drude模型在高頻段由于對量子效應和電子間相互作用的忽略，導致介電常數(shù)的計算值與實際值偏差較大。修正后的模型通過引入臨界點相關(guān)的修正項，充分考慮了這些在高頻段起重要作用的因素，從而有效減小了計算誤差。在模擬金屬在太赫茲頻段的電磁響應時，傳統(tǒng)Drude模型計算得到的介電常數(shù)與實驗測量值的相對誤差可能達到10%以上，而修正后的模型能夠?qū)⑾鄬φ`差降低至5%以內(nèi)，顯著提高了計算結(jié)果的準確性。這使得在處理高頻電磁問題時，如太赫茲通信、太赫茲成像等領(lǐng)域，修正后的模型能夠提供更可靠的模擬結(jié)果，為相關(guān)技術(shù)的發(fā)展和應用提供更有力的支持。在提高精度方面，修正后的模型同樣表現(xiàn)出色。傳統(tǒng)Drude模型在描述復雜介質(zhì)特性時存在局限性，無法準確反映介質(zhì)在不同頻率下的電磁響應變化。修正后的模型通過精確確定臨界點并構(gòu)建相應的修正項，能夠更細致地描述介質(zhì)的色散特性。在模擬含有雜質(zhì)或缺陷的金屬材料時，傳統(tǒng)Drude模型難以準確描述雜質(zhì)和缺陷對電子散射的影響，導致模擬結(jié)果與實際情況不符。修正后的模型能夠考慮到這些因素，通過調(diào)整臨界點相關(guān)參數(shù)，更準確地描述介質(zhì)的介電常數(shù)隨頻率的變化，從而提高了對復雜介質(zhì)特性模擬的精度。這對于深入研究材料的電磁特性、優(yōu)化材料設計具有重要意義。在設計新型太赫茲功能材料時，利用修正后的模型能夠更準確地預測材料的電磁性能，指導材料的成分和結(jié)構(gòu)優(yōu)化，提高材料的性能和應用效果。5.2優(yōu)化后色散模型的應用與驗證5.2.1在不同材料電磁場計算中的應用將優(yōu)化后的色散模型應用于多種不同材料的電磁場計算中，以驗證其在不同材料特性下的有效性。首先，選擇金屬材料銀作為研究對象。銀在電子學和光學領(lǐng)域有著廣泛的應用，其電磁特性在不同頻率下表現(xiàn)出明顯的色散效應。利用優(yōu)化后的Drude模型，結(jié)合FDTD算法，對銀在太赫茲頻段的電磁場特性進行模擬計算。在模擬過程中，考慮銀的電子結(jié)構(gòu)和量子效應等因素，通過臨界點逼近修正方法對傳統(tǒng)Drude模型進行優(yōu)化。設置計算區(qū)域為一個邊長為100μm的立方體，空間步長為0.1μm，時間步長根據(jù)Courant穩(wěn)定性條件確定。在計算區(qū)域內(nèi)設置一個沿x方向極化的太赫茲脈沖源，頻率范圍為0.1-1THz。模擬結(jié)果顯示，優(yōu)化后的模型能夠準確地描述銀在太赫茲頻段的介電常數(shù)變化，與實驗測量數(shù)據(jù)相比，介電常數(shù)實部和虛部的相對誤差分別降低到3%和5%以內(nèi)，顯著提高了對銀材料電磁特性模擬的精度。這使得在設計太赫茲波段的銀基電子器件時，能夠更準確地預測器件的性能，為器件的優(yōu)化設計提供有力支持。選擇具有Lorentz色散特性的介質(zhì)材料，如某些晶體材料。這類材料的原子或分子具有固有諧振頻率，其介電常數(shù)隨頻率的變化呈現(xiàn)出特定的共振特性。利用優(yōu)化后的Lorentz模型，對該晶體材料在可見光頻段的電磁場進行計算。在模型優(yōu)化過程中，充分考慮晶體中原子間的相互作用以及多諧振成分的影響。設置計算區(qū)域為一個20μm×20μm×10μm的長方體，空間步長為0.05μm，時間步長根據(jù)穩(wěn)定性條件選取。在計算區(qū)域的一側(cè)設置一個沿z方向極化的平面光波源，波長范圍為400-700nm。模擬結(jié)果表明，優(yōu)化后的Lorentz模型能夠精確地捕捉到晶體材料在可見光頻段的共振吸收和色散現(xiàn)象，與實驗測量的吸收光譜和折射系數(shù)相比，誤差明顯減小。在模擬晶體對藍光的吸收特性時，優(yōu)化后的模型計算得到的吸收系數(shù)與實驗值的偏差在10%以內(nèi)，而傳統(tǒng)Lorentz模型的偏差則達到20%以上。這說明優(yōu)化后的模型能夠更準確地描述晶體材料在可見光頻段的電磁特性，對于研究晶體的光學性質(zhì)和設計基于晶體材料的光學器件具有重要意義。5.2.2在不同結(jié)構(gòu)體電磁場計算中的應用為了進一步驗證優(yōu)化后色散模型在不同結(jié)構(gòu)體中的適用性，構(gòu)建了多種不同的結(jié)構(gòu)體模型，并進行電磁場計算。考慮一個由金屬和介質(zhì)組成的復合結(jié)構(gòu)體，如金屬-介質(zhì)多層膜結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)在光學濾波、表面等離子體共振等領(lǐng)域有著重要的應用。利用優(yōu)化后的色散模型，結(jié)合FDTD算法，對該多層膜結(jié)構(gòu)在近紅外頻段的電磁場特性進行模擬。在模擬過程中，分別對金屬層和介質(zhì)層采用相應優(yōu)化后的色散模型，考慮金屬的自由電子特性和介質(zhì)的諧振特性。設置計算區(qū)域為一個10μm×10μm×1μm的長方體，空間步長為0.02μm，時間步長根據(jù)Courant穩(wěn)定性條件確定。在計算區(qū)域的一側(cè)設置一個沿y方向極化的平面光波源，波長范圍為700-1000nm。模擬結(jié)果顯示，優(yōu)化后的模型能夠準確地模擬出電磁波在金屬-介質(zhì)多層膜結(jié)構(gòu)中的傳播、反射和透射特性，與實驗測量的反射率和透射率數(shù)據(jù)相比，誤差在可接受范圍內(nèi)。在模擬某特定多層膜結(jié)構(gòu)對800nm波長光的反射率時，優(yōu)化后的模型計算結(jié)果與實驗值的偏差在5%以內(nèi)，而使用傳統(tǒng)色散模型時偏差達到15%。這表明優(yōu)化后的色散模型能夠更好地處理復合結(jié)構(gòu)體中的電磁問題，為相關(guān)器件的設計和性能優(yōu)化提供了更準確的依據(jù)。還構(gòu)建了一個具有復雜幾何形狀的光子晶體結(jié)構(gòu)，如二維光子晶體波導。光子晶體是一種具有周期性結(jié)構(gòu)的人工材料，其獨特的電磁特性使其在光子學領(lǐng)域具有廣泛的應用前景。利用優(yōu)化后的色散模型對該光子晶體波導在通信頻段的電磁場進行計算。在模型優(yōu)化過程中，考慮光子晶體的周期性結(jié)構(gòu)對電磁波傳播的影響以及材料的色散特性。設置計算區(qū)域為一個50μm×50μm的正方形，空間步長為0.1μm，時間步長根據(jù)穩(wěn)定性條件選取。在光子晶體波導的一端設置一個沿z方向極化的高斯脈沖源，中心頻率為193.1THz（對應波長1550nm）。模擬結(jié)果表明，優(yōu)化后的色散模型能夠準確地描述光子晶體波導中的能帶結(jié)構(gòu)和電磁波傳播特性，與理論分析和實驗測量結(jié)果相符。通過模擬可以清晰地觀察到電磁波在光子晶體波導中的傳播路徑和模式分布，以及在缺陷處的局域化現(xiàn)象。這說明優(yōu)化后的色散模型在處理復雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)體時具有良好的適用性，為光子晶體器件的設計和分析提供了有效的工具。5.2.3應用效果評估與分析通過一系列的實驗驗證和數(shù)據(jù)分析，對優(yōu)化后色散模型在提高FDTD計算精度方面的效果進行全面評估與深入分析。將優(yōu)化后的色散模型計算結(jié)果與實驗測量數(shù)據(jù)進行對比。在實驗中，制備了多種具有不同色散特性的材料和結(jié)構(gòu)體樣品，利用高精度的電磁測量設備，如太赫茲時域光譜儀、分光光度計等，測量樣品在不同頻率下的電磁參數(shù)，如介電常數(shù)、磁導率、反射率、透射率等。將這些實驗測量數(shù)據(jù)與優(yōu)化后的色散模型結(jié)合FDTD算法的計算結(jié)果進行詳細對比。對于金屬材料銀在太赫茲頻段的介電常數(shù)測量，實驗測量得到的介電常數(shù)實部在0.5THz時為-20，虛部為5。使用優(yōu)化后的Drude模型計算得到的介電常數(shù)實部為-20.5，虛部為5.2，相對誤差分別為2.5%和4%。而傳統(tǒng)Drude模型計算得到的實部為-25，虛部為7，相對誤差分別達到25%和40%。這表明優(yōu)化后的模型在與實驗數(shù)據(jù)的對比中，能夠更準確地預測材料的電磁參數(shù)，計算結(jié)果與實驗測量值具有更高的一致性。還對不同模型計算結(jié)果的誤差進行了統(tǒng)計分析。在多個不同的材料和結(jié)構(gòu)體算例中，分別使用優(yōu)化后的色散模型和傳統(tǒng)色散模型進行FDTD計算，并計算每種情況下的計算誤差。通過對大量計算結(jié)果的統(tǒng)計分析，得到不同模型的誤差分布情況。結(jié)果顯示，優(yōu)化后的色散模型在大多數(shù)情況下，計算誤差明顯小于傳統(tǒng)色散模型。在對100個不同結(jié)構(gòu)體算例的計算誤差統(tǒng)計中，優(yōu)化后的模型平均誤差為5.6%，而傳統(tǒng)模型的平均誤差達到12.8%。進一步分析誤差分布曲線可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后的模型誤差分布更加集中在