成都高新大源學(xué)校九年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．如圖1，與為等腰直角三角形，與重合，，．固定，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與邊重合時，旋轉(zhuǎn)終止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)（或它們的延長線）分別交（或它們的延長線）于點，如圖2．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，是等腰三角形？2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸正半軸交于點，且點的坐標(biāo)為，過點作垂直于軸的直線．是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為，過點作于點；是直線上的一點，其縱坐標(biāo)為，以，為邊作矩形．（1）求的值．（2）當(dāng)點與點重合時，求的值．（3）當(dāng)矩形是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求的值．（4）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．3．已知拋物線經(jīng)過原點，與軸相交于點，直線與拋物線交于兩點，與軸交于點，與軸交于點，點是線段上的一個動點(不與端點重合)，過點作交于點，連接（1）求拋物線的解析式及點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求線段的長；（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點和點P，使為直角三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．4．在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點，拋物線的頂點在第四象限，且經(jīng)過，兩點直線與軸交于點，與拋物線的對稱軸交于點，，點的縱坐標(biāo)為1．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若將直線繞著點旋轉(zhuǎn)，直線與拋物線有一個交點在第三象限，另一個交點記為，拋物線與拋物線關(guān)于點成中心對稱，拋物線的頂點記為．①若點的橫坐標(biāo)為-1，拋物線與拋物線所對應(yīng)的兩個函數(shù)的值都隨著的增大而增大，求相應(yīng)的的取值范圍；②若直線與拋物線的另一個交點記為，連接，，試間：在旋轉(zhuǎn)的過程中，的度數(shù)會不會發(fā)生變化？請說明理由．5．已知點P(2，﹣3)在拋物線L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均為常數(shù)，且a≠0）上，L交y軸于點C，連接CP．（1）用a表示k，并求L的對稱軸及L與y軸的交點坐標(biāo)；（2）當(dāng)L經(jīng)過(3，3)時，求此時L的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．如圖，當(dāng)a＜0時，若L在點C，P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有4個整點，求a的取值范圍；（4）點M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的兩點，若t≤x1≤t+1，當(dāng)x2≥3時，均有y1≥y2，直接寫出t的取值范圍．6．如圖，A是以BC為直徑的圓O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作圓O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連接并延長CG與BE相交于點F，連接并延長AF與CB的延長線相交于點P．（1）求證：BF＝EF；（2）求證：PA是圓O的切線；（3）若FG＝EF＝3，求圓O的半徑和BD的長度．7．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是．（問題研究）（2）如圖②，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點A（﹣2，3），B（3，4）為圓心，以1、3為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，點P為x軸上的動點，試求PM+PN的最小值．（問題解決）（3）如圖③，該圖是某機器零件鋼構(gòu)件的模板，其外形是一個五邊形，根據(jù)設(shè)計要求，邊框AB長為2米，邊框BC長為3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，聯(lián)動桿DE長為2米，聯(lián)動桿DE的兩端D、E允許在AD、CE所在直線上滑動，點G恰好是DE的中點，點F可在邊框BC上自由滑動，請確定該裝置中的兩根連接桿AF與FG長度和的最小值并說明理由．8．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．9．如圖，拋物線交x軸于兩點，交y軸于點C．直線經(jīng)過點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l與直線相交于點P，連接，判定的形狀，并說明理由；（3）在直線上是否存在點M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點，的解析式為，若將拋物線平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，拋物線與軸的另一個交點是，頂點是，連結(jié).（1）求拋物線的解析式；（2）求證：∽（3）半徑為的⊙的圓心沿著直線從點運動到，運動速度為1單位/秒，運動時間為秒，⊙繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得⊙，隨著⊙的運動，求的運動路徑長以及當(dāng)⊙與軸相切的時候的值.11．新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成的長方形的周長與面積相等，則這個點叫做“和諧點”．例如，如圖①，過點P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成長方形OAPB的周長與面積相等，則點P是“和諧點”．（1）點M（1，2）_____“和諧點”（填“是”或“不是”）；若點P（a，3）是第一象限內(nèi)的一個“和諧點”，是關(guān)于x，y的二元一次方程的解，求a，b的值．（2）如圖②，點E是線段PB上一點，連接OE并延長交AP的延長線于點Q，若點P（2，3），，求點Q的坐標(biāo)；（3）如圖③，連接OP，將線段OP向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到線段．若M是直線上的一動點，連接PM、OM，請畫出圖形并寫出與，的數(shù)量關(guān)系．12．如圖1，一次函數(shù)(k,b為常數(shù)，k≠0)的圖象與反比例函數(shù)（m為常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點M(1，4)和點N（4，n）．(1)填空：①反比例函數(shù)的解析式是；②根據(jù)圖象寫出時自變量x的取值范圍是；(2)若將直線MN向下平移a(a>0)個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，求a的值；(3)如圖2，函數(shù)的圖象（x＞0）上有一個動點C，若先將直線MN平移使它過點C，再繞點C旋轉(zhuǎn)得到直線PQ，PQ交軸于點A，交軸點B，若BC=2CA，求OA·OB的值.13．如圖，已知點A、C在雙曲線上，點B、D在雙曲線上，AD//BC//y軸.(I)當(dāng)m=6，n=-3，AD=3時，求此時點A的坐標(biāo)；(II)若點A、C關(guān)于原點O對稱，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD的面積為，求mn的最小值.14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線交x軸于點A、點點A在點B的左邊，交y軸于點C，直線經(jīng)過點B，交y軸于點D，且，．求b、c的值；點在第一象限，連接OP、BP，若，求點P的坐標(biāo)，并直接判斷點P是否在該拋物線上；在的條件下，連接PD，過點P作，交拋物線于點F，點E為線段PF上一點，連接DE和BE，BE交PD于點G，過點E作，垂足為H，若，求的值．15．如圖所示，在中，，，，點從點出發(fā)沿方向以每秒2個單位長度的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以每秒1個單位長度的速度向點勻速運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點、運動的時間是秒，過點作于點，連接、.（1）求證：；（2）四邊形能夠成為菱形嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由；（3）當(dāng)________時，為直角三角形.16．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，為原點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，直線軸（如圖所示）．點與點關(guān)于原點對稱，直線（為常數(shù)）經(jīng)過點，且與直線相交于點，聯(lián)結(jié)．（1）求的值和點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點在軸的正半軸上，若是等腰三角形，求點的坐標(biāo)；17．如圖，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E是邊CD上一個動點，連接AE，將△AED沿直線AE翻折得△AEF.(1)當(dāng)點C落在射線AF上時，求DE的長;(2)以F為圓心，F(xiàn)B長為半徑作圓F，當(dāng)AD與圓F相切時，求cos∠FAB的值;(3)若P為AB邊上一點，當(dāng)邊CD上有且僅有一點Q滿∠BQP=45°，直接寫出線段BP長的取值范圍.18．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若P為線段BC上一點，過點P作軸的平行線，交拋物線于點D，當(dāng)△BCD面積最大時，求點P的坐標(biāo)；（3）若M（m，0）是軸上一個動點，請求出CM+MB的最小值以及此時點M的坐標(biāo).19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點A、B在函數(shù)的圖象上，頂點C、D在函數(shù)的圖象上，其中，對角線軸，且于點P．已知點B的橫坐標(biāo)為4．（1）當(dāng)，時，①點B的坐標(biāo)為________，點D的坐標(biāo)為________，BD的長為________．②若點P的縱坐標(biāo)為2，求四邊形ABCD的面積．③若點P是BD的中點，請說明四邊形ABCD是菱形．（2）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，直接寫出m、n之間的數(shù)量關(guān)系．20．如圖，已知點A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C（0，9），求此拋物線的解析式；（2）拋物線與x軸的另一個交點為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點，求此切線長；（3）點F是切線DE上的一個動點，當(dāng)△BFD與△EAD相似時，求出BF的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）證明見解析（2）當(dāng)或或時，△AGH是等腰三角形【解析】試題分析：（1）根據(jù)∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可證出相似；（2）以∠GAH＝45o這個角為等腰三角形的底角還是頂角進(jìn)行分類討論，從而得到本題答案.試題解析：（1）∵△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，∴∠B=∠EDF=45°在△AGC和△HAB中∵∠ACG=∠B=45°，∠HAB=∠BAG+∠GAH=∠BAG+45°=∠CGA∴△AGC∽△HAB（2）①當(dāng)∠GAH＝45o是等腰三角形的底角時，如圖可知：；②當(dāng)∠GAH＝45o是等腰三角形的頂角時，如圖：在△HGA和△AGC中，∵∠AGH＝∠CGA，∠GAH＝∠C＝45o，∴△HGA∽△AGC，∵AG＝AH，∴③如圖，G與B重合時，符合要求，此時CG=BC=∴當(dāng)或或時，△AGH是等腰三角形．點晴：本題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形（等腰直角三角形）的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合性較強，在第（2）中，要利用在旋轉(zhuǎn)的過程中，△AGH中始終不變的角∠GAH＝45o為切入點，以這個角是等腰三角形的底角還是頂角為分類點進(jìn)行分類討論，要注意當(dāng)∠GAH＝45o為底角時有兩種情況，不要漏掉其中的任何一種，要做到不重不漏，才能做好分類討論這一問題.2．（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】【分析】（1）將A點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得b的值；（2）分別表示出P、Q、M的坐標(biāo)，根據(jù)Q、M的橫坐標(biāo)相同，它們重合時縱坐標(biāo)也相同，列出方程求解即可；（3）分別表示出PQ和MQ的長度，根據(jù)矩形是正方形時，即可求得m的值，再根據(jù)頂點在正方形內(nèi)部，排除不符合條件的m的值；（4）分，，，四種情況討論，結(jié)合圖形分析即可．【詳解】解：（1）將點代入得，解得b=1,；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，∴,∵于點，∴,∵是直線上的一點，其縱坐標(biāo)為，∴，若點與點重合，則，解得；（3）由（2）可得，，當(dāng)矩形是正方形時，即，即或，解得，解得，又，∴拋物線的頂點為(1，2)，∵拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部，∴P點在拋物線對稱軸左側(cè)，即，且M點的縱坐標(biāo)大于拋物線頂點的縱坐標(biāo)，即，解得，故m的值為；（4）①如下圖當(dāng)時，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，則M點的縱坐標(biāo)應(yīng)該小于P點縱坐標(biāo)，且P點應(yīng)該在x軸上側(cè)，即且，解得，解得，∴，②如下圖當(dāng)時，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，則M點的縱坐標(biāo)應(yīng)該小于P點縱坐標(biāo)，即，解得，∴；③當(dāng)時，P點和M點都在直線x=3上不構(gòu)成矩形，不符合題意；④如下圖當(dāng)時，若拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小，則M點的縱坐標(biāo)應(yīng)該大于P點縱坐標(biāo)，即，解得或，故，綜上所述或．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)定理，求二次函數(shù)解析式．能分別表示出M、P、Q的坐標(biāo)并結(jié)合圖形分析是解決此題的關(guān)鍵，注意分類討論．3．（1）拋物線的解析式為，點的坐標(biāo)為；（2）；（3）點的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）因為拋物線經(jīng)過原點，A,B點，利用待定系數(shù)法求得拋物物線的解析式，再令y=0，求得與x軸的交點F點的坐標(biāo)。（2）過點作軸于點，先求出直線與坐標(biāo)軸的兩個交點，利用三角函數(shù)求出OM與OE的比值，再利用配方法求得面積的最值．（3）利用兩點間的距離公式求得，，，再利用勾股定理與分類討論求出P點的坐標(biāo)．【詳解】解：拋物線經(jīng)過原點兩點在拋物線上解得故拋物線的解析式為令，則解得（舍去），故點的坐標(biāo)為過點作軸于點，對于當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)直線與軸交于點，直線的解析式為則，易求直線的解析式為令，解得故點的橫坐標(biāo)為又當(dāng)時，的面積最大，此時點的坐標(biāo)為【提示】把代入，得設(shè)點的坐標(biāo)為則，當(dāng)時，即解得，故點的坐標(biāo)為當(dāng)時，即解得(不合題意，舍去)，故點的坐標(biāo)為當(dāng)時．過點作軸．交拋物線于點，連接解得，此時故點與點重合，此時綜上可知．點的坐標(biāo)為【點晴】本題主要考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，拋物線與xx軸的交點，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，勾股定理，三角形的面積，兩點間的距離公式，運用了分類討論思想．4．（1）；（2）①；②不會發(fā)生變化，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點A，B坐標(biāo)求出對稱軸為，得到，代入拋物線解析式得到，寫出頂點，根據(jù)其位置，得出，根據(jù)A，B坐標(biāo)表示出AC，BC長度，結(jié)合AC·BC=8，求得的值，代入點A，B得其坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入拋物線解析式得的值，即可得到拋物線的解析式；（2）①將代入，求得，結(jié)合點E求得PQ解析式，聯(lián)立，解得點P的坐標(biāo)，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得到點的橫坐標(biāo)為10，可得的取值范圍；②過分別作直線的垂線，垂足分別為，設(shè)出點P,Q坐標(biāo)，求出PQ的解析式，聯(lián)立，得到，由，得到，結(jié)合，得到，可證得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵拋物線過兩點，∴由拋物線對稱性知：拋物線對稱軸為直線，又∵頂點在第四象限，，解得：，∴拋物線的開口向上，其圖象如圖所示，，，解得：，，由題意可知，點在線段上，而點的縱坐標(biāo)為1，，把代入得，解得：∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（2）①把代入得，，∴直線的解析式為由可得，，解得：∴點的橫坐標(biāo)為由中心對稱的性質(zhì)可得，點的橫坐標(biāo)為10，即拋物線的對稱軸為直線，結(jié)合圖象：可得，的范圍為；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由如下：連接，由中心對稱的性質(zhì)可得，．過分別作直線的垂線，垂足分別為，如圖所示，設(shè)，直線的解析式為，則∵直線過，，可得，，∴直線的解析式為由得，整理得，，，又，即在旋轉(zhuǎn)的過程中，的度數(shù)不會發(fā)生變化．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，熟知其設(shè)計的知識點及相關(guān)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．5．（1）k=-3-a；對稱軸x＝1；y軸交點(0，-3)；（2），頂點坐標(biāo)(1，-5)；（3）-5≤a＜-4；（4）-1≤t≤2．【解析】【分析】（1）將點P(2，-3)代入拋物線上，求得k用a表示的關(guān)系式；拋物線L的對稱軸為直線，并求得拋物線與y軸交點；（2）將點(3，3)代入拋物線的解析式，且k=-3-a，解得a=2，k=-5，即可求得拋物線解析式與頂點坐標(biāo)；（3）拋物線L頂點坐標(biāo)(1，-a-3)，點C，P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有4個整點，這四個整點都在x=1這條直線上，且y的取值分別為-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a的取值范圍；（4）分類討論取a＞0與a＜0的情況進(jìn)行討論，找出的取值范圍，即可求出t的取值范圍．【詳解】解：（1）∵將點P(2，-3)代入拋物線L：，∴∴k=-3-a；拋物線L的對稱軸為直線，即x＝1；將x=0代入拋物線可得：，故與y軸交點坐標(biāo)為(0，-3)；（2）∵L經(jīng)過點(3，3)，將該點代入解析式中，∴，且由（1）可得k=-3-a，∴，解得a=2，k=-5，∴L的表達(dá)式為；將其表示為頂點式：，∴頂點坐標(biāo)為(1，-5)；（3）解析式L的頂點坐標(biāo)(1，-a-3)，∵在點C，P之間的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有4個整點，這四個整點都在x=1這條直線上，且y的取值分別為-2、-1、0、1，∴1＜-a-3≤2，∴-5≤a＜-4；（4）①當(dāng)a＜0時，∵，為保證，且拋物線L的對稱軸為x=1，∴就要保證的取值范圍要在[-1,3]上，即t≥-1且t+1≤3，解得-1≤t≤2；②當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，t≥3或t+1≤-1，解得：t≥3或t≤-2，但會有不符合題意的點存在，故舍去，綜上所述：-1≤t≤2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．6．（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）BD＝2，r＝3．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，等量代換即可得到結(jié)論；（2）證明∠PAO＝90°，連接AO，AB，根根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和等量代換，就可得出結(jié)論；（3）連接AB，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，過點F作FH⊥AG交AG于點H，推出四邊形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根據(jù)勾股定理得到FH＝，設(shè)半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵EB是切線，AD⊥BC，∴∠EBC＝∠ADC＝90°，∴AD∥EB，（同位角相等，兩直線平行）∴，（平行線分線段成比例）∵G是AD的中點，∴AG＝GD，∴EF＝FB；（2）證明：連接AO，AB，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，（直徑所對圓周角為直角）在Rt△BAE中，由（1）知，F(xiàn)是斜邊BE的中點，直角三角形斜邊中線為斜邊一半，∴AF＝FB＝EF，且等邊對等角，∴∠FBA＝∠FAB，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵BE是⊙O的切線，∴∠EBO＝90°，∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切線；（3）如圖2，連接AB，AO，∵BC是直徑，∴∠BAC＝∠BAE＝90°，∵EF＝FB，∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，過點F作FH⊥AG交AG于點H，∵FA＝FG，F(xiàn)H⊥AG，∴AH＝HG，∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，∴四邊形FBDH是矩形，∴FB＝DH＝3，∵AG＝GD，∴AH＝HG＝1，GD＝2，F(xiàn)H＝，∴BD＝，設(shè)半徑為r，在RtADO中，∵，∴，解得：r＝，綜上所示：BD＝，r＝．【點睛】本題主要考察了平行線的性質(zhì)及定理、平行線分線段成比例定理、等邊對等角、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理及圓的切線及其性質(zhì)，該題較為綜合，解題的關(guān)鍵是在于掌握以上這些定理，并熟練地將其結(jié)合應(yīng)用．7．（1）；（2）；（3）4，理由見解析【解析】【分析】（1）作點C關(guān)于AB的對稱點C'，連接DE，與AB交于點E，連接CE．此時EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易證DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD＝，即EC+ED的最小值是；（2）作⊙A關(guān)于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x軸于P，連接PA，交⊙A于M，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時PM+PN最小，再利用對稱確定A′的坐標(biāo)，接著利用兩點間的距離公式計算出A′B的長，然后用A′B的長減去兩個圓的半徑即可得到MN的長，即得到PM+PN的最小值；（3）如圖③，延長AD、CE，交于點H，連接GH．易知GE＝DE＝1，所以點G在以H為圓心，1為半徑的圓周上運動，作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'H，與BC交于點F，與⊙H交于點G，此時AF+FG＝A'F+FG＝A'G為最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，所以A'H＝=5，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即該裝置中的兩根連接桿AF與FG長度和的最小值為4．【詳解】解：（1）如圖①，作點C關(guān)于AB的對稱點C'，連接DE，與AB交于點E，連接CE．∴CE＝C'E，此時EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴∠CBA＝∠CAB＝45°，C'B＝CB＝2∴∠C'BA＝45°，∴∠DBC'＝90°∵D是BC邊的中點，∴DB＝1，在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，∴CD＝，∴EC+ED的最小值是，故答案為；（2）如圖②，作⊙A關(guān)于x軸的對稱⊙A′，連接BA′分別交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x軸于P，連接PA，交⊙A于M．則此時PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，∵點A坐標(biāo)（﹣2，3），∴點A′坐標(biāo)（﹣2，﹣3），∵點B（3，4），∴A'B＝＝，∴M'N＝A′B﹣BN﹣A′M'＝﹣1﹣3＝﹣4∴PM+PN的最小值為＝﹣4；（3）如圖③，延長AD、CE，交于點H，連接GH．∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°∴∠DHE＝90°，∵G是DE的中點，DE＝2，∴GE＝DE＝1，∵聯(lián)動桿DE的兩端D、E允許在AD、CE所在直線上滑動，∴點G在以H為圓心，1為半徑的圓周上運動，作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'H，與BC交于點F，與⊙H交于點G，此時AF+FG＝A'F+FG＝A'G為最短，∵AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，∴A'H＝=5，∴A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，所以該裝置中的兩根連接桿AF與FG長度和的最小值為4．【點睛】本題考查了圓的綜合題，涉及到勾股定理、軸對稱性質(zhì)求最短值，綜合性比較強，結(jié)合題意添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【解析】【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點，是，的中點，，，點，是，的中點，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時，的面積最大，且在頂點上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時，面積最大，點在的延長線上，，，．【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時，的面積最大．9．（1）；（2）的為直角三角形，理由見解析；（3）存在使與直線的夾角等于的2倍的點，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直線經(jīng)過點，即可確定B、C的坐標(biāo)，然后用帶定系數(shù)法解答即可；（2）先求出A、B的坐標(biāo)結(jié)合拋物線的對稱性，說明三角形APB為等腰三角形；再結(jié)合OB=OC得到∠ABP=45°，進(jìn)一步說明∠APB=90°，則∠APC=90°即可判定的形狀；（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E；然后說明△ANB為等腰直角三角形，進(jìn)而確定N的坐標(biāo)；再求出AC的解析式，進(jìn)而確定M1E的解析式；然后聯(lián)立直線BC和M1E的解析式即可求得M1的坐標(biāo)；在直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2，利用中點坐標(biāo)公式即可確定點M2的坐標(biāo)【詳解】解：（1）∵直線經(jīng)過點∴當(dāng)x=0時，可得y=5，即C的坐標(biāo)為（0,5）當(dāng)y=0時，可得x=5，即B的坐標(biāo)為（5,0）∴解得∴該拋物線的解析式為（2）的為直角三角形，理由如下：∵解方程=0，則x1=1，x2=5∴A（1,0），B（5,0）∵拋物線的對稱軸l為x=3∴△APB為等腰三角形∵C的坐標(biāo)為（5,0）,B的坐標(biāo)為（5,0）∴OB=CO=5,即∠ABP=45°∴∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°-45°=90°∴∠APC=180°-90°=90°∴的為直角三角形；（3）如圖：作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，AC于E，∵M(jìn)1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1∴∠AM1B=2∠ACB∵△ANB為等腰直角三角形.∴AH=BH=NH=2∴N（3，2）設(shè)AC的函數(shù)解析式為y=kx+b∵C(0，5),A(1，0)∴解得b=5，k=-5∴AC的函數(shù)解析式為y=-5x+5設(shè)EM1的函數(shù)解析式為y=x+n∵點E的坐標(biāo)為（）∴=×+n，解得：n=∴EM1的函數(shù)解析式為y=x+∵解得∴M1的坐標(biāo)為（）；在直線BC上作點M1關(guān)于N點的對稱點M2設(shè)M2（a，-a+5）則有：3=，解得a=∴-a+5=∴M2的坐標(biāo)為（，）．綜上，存在使與直線的夾角等于的2倍的點，且坐標(biāo)為M1（），M2（，）．【點睛】本題屬于二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖像、三角形外角等知識，考查知識點較多，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．10．（1）（2）證明見解析（3）P1的運動路徑長為8，運動時間為5秒或7秒?！窘馕觥吭囶}分析：（1）設(shè)拋物線l2的解析式為y=（x+a）2+c，由拋物線l1的解析式，可求出點A的坐標(biāo)，由拋物線l2的對稱軸以及點A的坐標(biāo)即可求出a、c的值，由此得出結(jié)論；（2）由拋物線的對稱性可知△DAE為等腰三角形，由l2的解析式可得出D點、E點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間的距離公式可求出OE=OD，由兩等腰三角形一個底角相等即可得出△ADE∽△DOE；（3）由旋轉(zhuǎn)的特性可知P1的運動路徑長與P的運動路徑長相等，由圓與直線相切可得出相切時D′P1的長度，由時間=路程÷速度即可得出結(jié)論。試題解析：解：（1）設(shè)拋物線l2的解析式為y=（x+a）2+c，∵拋物線l2的對稱軸為x=﹣6，∴a=6．令l1的解析式y(tǒng)=x2﹣2=0，解得：x=±2．∴A點的坐標(biāo)為（﹣2，0），B點的坐標(biāo)為（2，0）．將點A（﹣2，0）代入l2的解析式中，得×（﹣2+6）2+c=0，解得：c=﹣8．故拋物線l2的解析式為y=﹣8．（2）證明：令l2的解析式y(tǒng)=﹣8=0，解得x=﹣10，或x=﹣2，故點E的坐標(biāo)為（﹣10，0）．由拋物線的對稱性可知△ADE為等腰三角形．∵點O（0，0），點E（﹣10，0），點D（﹣6，﹣8），∴OE=0﹣（﹣10）=10，OD==10，∴OE=OD，即△OED為等腰三角形，又∵∠DEA=∠OED，且兩者均為底角，∴△ADE∽△DOE．（3）過點C作CN⊥DF于點N，根據(jù)題意畫出圖形如圖所示．點D旋轉(zhuǎn)后到達(dá)D′處，點F旋轉(zhuǎn)后到達(dá)F′處．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知D′F′=DF，∵點D（﹣6，﹣8），點F（﹣6，0），∴P1的運動路徑長為DF=8．∵DF∥y軸，∴D′F′∥x軸，∴四邊形NCMD′為平行四邊，∴D′M=NC．∵l1的解析式為y=x2﹣2，∴點C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∴點N的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2），∴NC=0﹣（﹣6）=6．∵⊙P1的半徑為1，∴當(dāng)D′P1=D′M±1時，⊙P1與y軸相切，此時D′P1=5，或D′P1=7．∵⊙P的運動速度為1單位/秒，∴⊙P1的運動速度為1單位/秒，∴運動時間為5秒或7秒。點睛：求函數(shù)的解析式主要的方法之一待定系數(shù)法，主要過程有（1）設(shè)函數(shù)解析式；（2）找或求出函數(shù)圖象上兩個點的坐標(biāo)；（3）將兩個點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，求出其中未未知數(shù)；（4）將未知數(shù)的值代入解析式中，寫出函數(shù)的解析式。11．（1）不是，，；（2）；（3）畫圖見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；因為是和諧點，所以根據(jù)題意得，再得到，列方程即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，由可求得，再根據(jù)列出方程，求出的值即可解決問題；（3）根據(jù)題意畫出圖形，再過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）不是和諧點．根據(jù)題意，對于而言，面積為，周長為，所以不是和諧點；因為是和諧點，所以根據(jù)題意得．∵點P（a，3）是第一象限內(nèi)的一個“和諧點”，∴，∴，解得，將代入得，解得．所以，；（2），，，故設(shè)，則，，，，，，即，解得，，，，解得，，，；（3）如圖所示，過作交于點，由平移的性質(zhì)得，，，由得；由得；，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)，，且，為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與軸的交點坐標(biāo)是；與軸的交點坐標(biāo)是；直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式．12．(1)①y＝.②；(2)a＝1或a＝9.；(3)18或2..【解析】整體分析：(1)由點A的坐標(biāo)求反比例函數(shù)的解析式，得到點B的坐標(biāo)；，即是一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方時自變量的范圍；(2)由點M，N的坐標(biāo)求直線MN的解析式，直線MN向下平移a(a>0)個單位長度后與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，即是方程kx+b-a=的判別式等于0；(3)設(shè)點C(a,b)，根據(jù)BC=2CA，分三種情況討論，利用△ACH∽△ABO，結(jié)合ab=4求解.解：(1)k=1×4=4，所以y=.②當(dāng)y=4時，x=，則B(4，1).根據(jù)圖象得：.(2)點M(1，4)和點N(4，1)分別代入得直線AB向下平移a個單位長度后的解析式為y＝－x＋5－a，把y＝代入消去y，整理，得x2－(5－a)x＋4＝0.∵平移后的直線與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，∴Δ＝(5－a)2－16＝0.解得a＝1或a＝9.(3)設(shè)點C(a,b)，則ab=4如圖1，過C點作CH⊥OA于點H.①當(dāng)點B在y軸的負(fù)半軸時，如圖1∵BC=2CA，∴AB=CA.∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，∴△ACH∽△ABO.∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a∴.②當(dāng)點B在y軸的正半軸時，如圖2，當(dāng)點A在x軸的正半軸時，∵BC=2CA，∴.∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.∴∴.OB=3b,OA=1.5a∴.如圖3，當(dāng)點A在x軸的負(fù)半軸時，BC=2CA不可能.綜上所述，OA·OB的值為18或2.13．(I)點的坐標(biāo)為；(II)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(III)的最小值是.【解析】【分析】(I)由，，可得，.分別表示出點A、D的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出點A的坐標(biāo).(II)根據(jù)點A、C關(guān)于原點O對稱，設(shè)點A的坐標(biāo)為：，即可分別表示出B、C、D的坐標(biāo)，然后可得出與互相平分可證明出四邊形是平行四邊形.(III)設(shè)與的距離為，由，，梯形的面積為，可求出h=7，根據(jù)，，可得，進(jìn)而得出答案.【詳解】(I)∵，，∴，，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，由得：，解得：，∴此時點的坐標(biāo)為.(II)四邊形是平行四邊形，理由如下：設(shè)點的坐標(biāo)為，∵點、關(guān)于原點對稱，∴點的坐標(biāo)為，∵∥∥軸，且點、在雙曲線上，，∴點，點，∴點B與點D關(guān)于原點O對稱，即，且、、三點共線.又點、C關(guān)于原點O對稱，即，且、、三點共線.∴與互相平分.∴四邊形是平行四邊形.(III)設(shè)與的距離為，，，梯形的面積為，∴，即，解得：，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點，，，由，，可得：，則，，∴，解得：，∴，∵.∴.∴，即.又，，∴當(dāng)取到等號.即，時，的最小值是.【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像,本題涉及知識點比較多，打好基礎(chǔ)是解決本題的關(guān)鍵.14．（1）；（2），點P在拋物線上；（3）2.【解析】【分析】(1)直線y=kx-6k，令y=0，則B(6，0)，便可求出點D、C的坐標(biāo)，將B、C代入拋物線中，即可求得b、c的值；(2)過點P，作軸于點L，過點B作于點T，先求出點P的坐標(biāo)為(4，4)，再代入拋物線進(jìn)行判斷即可；(3)連接PC，過點D作DM⊥BE于點M，先證△PCD≌△PLB，再分別證四邊形EHKP、FDKP為矩形，求得=2.【詳解】解：如圖，直線經(jīng)過點B，令，則，即，，，，，，點，點B、C在拋物線上，，解得：，函數(shù)表達(dá)式為：；如圖，過點P，作軸于點L，過點B作于點T，，，，點在第一象限，，，，，，，，當(dāng)時，，故點P在拋物線上；如圖，連接PC，，，軸，，，，≌，，，，，過點P作于點K，連接DF，，，，四邊形EHKP為平行四邊形，，四邊形EHKP為矩形，，，，，在中，，，，，，過點D作于點M，，，，，，，，，直線PF與BD解析式中的k值相等，，聯(lián)立并解得：，即，，，，，，四邊形FDKP為平行四邊形，，四邊形FDKP為矩形，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，四邊形綜合性質(zhì)，解直角三角形等知識，綜合性很強，難度很大.15．（1）詳見解析；（2）能；（3）2或秒【解析】【分析】（1）在中，,，由已知條件求證；（2）求得四邊形為平行四邊形，若使平行四邊形為菱形則需要滿足的條件及求得；（3）分三種情況：①時，四邊形為矩形．在直角三角形中求得即求得．②時，由（2）知，則得，求得．③時，此種情況不存在．【詳解】（1）在中，∴又∵∴（2）能.理由如下：∵，∴又∵∴四邊形為平行四邊形在中，∴又∵∴∴,∴當(dāng)時，為菱形∴AD=∴，即秒時，四邊形為菱形（3）①時，四邊形為矩形．在中，，．即，．②時，由（2）四邊形為平行四邊形知，．，．則有，．③當(dāng)時，此種情況不存在．綜上所述，當(dāng)秒或秒時，為直角三角形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，考查了菱形是平行四邊形，考查了菱形的判定定理，以及菱形與矩形之間的聯(lián)系．難度適宜，計算繁瑣．16．（1），點D（3，4）；（2）P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）.【解析】【分析】（1）先求出點B的坐標(biāo)，由直線過點B，把點B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的值；點D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4，利用求得的解析式確定該點的橫坐標(biāo)即可；（2）△POD為等腰三角形，有三種情況：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情況討論，要求點P的坐標(biāo)，只要求出點P到原點O的距離即可【詳解】解：（1）∵B與A（1，0）關(guān)于原點對稱∴B（-1，0）∵過點B∴，∴一次函數(shù)解析式為當(dāng)時，，∴D（3，4）；（2）作DE⊥x軸于點E，則OE=3，DE=4，∴；若為等腰三角形，則有以下三種情況：①以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交x軸的正半軸于點P1，則，∴P1（5，0）．②以D為圓心，DO為半徑作弧交x軸的正半軸于點P2，則，∵∴，∴，∴P2（6，0）．③取OD的中點N，過N作OD的垂線交x軸的正半軸于點P3，則，易知，∴,即：，∴，∴P3（，0）；綜上所述，符合條件的點P有三個，分別是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和綜合分析能力，注意到分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．17．（1）DE=3；（2）；（3）BP=12-12或6＜BP≤【解析】【分析】(1)當(dāng)點C落在射線AF上時，設(shè)DE=x，則EF=DE=x，CE=8-x，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解；(2)以F為圓心，F(xiàn)B長為半徑作圓F，當(dāng)AD與圓F相切時，設(shè)切點為M，連接FM，則FM⊥AD，過點F作FN⊥AB，設(shè)FM=x，則AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，根據(jù)勾股定理，列出方程，即可求解；(3)以PB為底邊作等腰直角三角形?PMB，以點M為圓心，MP為半徑作圓M，分三類：①當(dāng)圓M與CD相切時，求出BP的值；②當(dāng)圓M過點C時，求出BP的值；③當(dāng)圓M過點D時，求出BP的值，進(jìn)而，可求出BP的范圍.【詳解】（1）當(dāng)點C落在射線AF上時，如圖1，∵在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，△AED沿直線AE翻折得△AEF，∴AF=AD=6，AC=，∴CF=AC-AF=10-6=4，設(shè)DE=x，則EF=DE=x，CE=8-x，∵在Rt?CFE中，，∴，解得：x=3，∴DE=3；（2）以F為圓心，F(xiàn)B長為半徑作圓F，當(dāng)AD與圓F相切時，如圖2，設(shè)切點為M，連接FM，則FM⊥AD，過點F作FN⊥AB，設(shè)FM=x，則AN=FM=x，BF=FM=x，BN=8-x，∵，∴，解得：x=，∴cos∠FAB==；（3）以PB為底邊作等腰直角三角形?PMB，以點M為圓心，MP為半徑作圓M，①當(dāng)圓M與CD相切時，如圖3，切點為Q，此時，邊CD上有且僅有一點Q滿足∠BQP=45°，連接QM，延長QM交PB于點H，則HQ⊥CD，HQ⊥PB，∵?PMB是等腰直角三角形，∴設(shè)PH=BH=MH=x，則PM=QM=,∵HQ=AD=6，∴x+=6，解得：x=，∴BP=2x=②當(dāng)圓M過點C時，如圖4，此時，邊CD上有兩個點Q滿足∠BQP=45°，∵∠MPB=45°，∠PBC=90°，∴BP=BC=6，③當(dāng)圓M過點D時，如圖5，此時，邊CD上有且僅有一點Q滿足∠BQP=45°，連接MD，過點M作MN⊥AD，MH⊥BP，設(shè)PH=HM=HB=x，則MP=MD=，MN=AH=8-x，ND=6-x，∵在Rt?MND中，，∴，解得：x=，∴BP=2×=，綜上所述：線段BP長的取值范圍是：BP=12-12或6＜BP≤.圖1圖2圖3圖4圖5【點睛】本題主要考查圓和直線的位置關(guān)系和三角形的綜合問題，根據(jù)題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想方法，是解題的關(guān)鍵.18．（1）；（2）P（，），面積最大為；（3）CM+MB最小值為，M（，0）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，設(shè)P（a，a-3），得出PD的長，列出S△BDC的表達(dá)式，化簡成頂點式，即可求解；（3）取G點坐標(biāo)為（0，），過M點作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情況，再將直線BG、直線B′C的解析式求出，求得M點坐標(biāo)和∠CGB的度數(shù)，再根據(jù)∠CGB的度數(shù)利用三角函數(shù)得出最小值B′C的值.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），代入表達(dá)式，解得a=1，b=-2，c=-3，∴故該拋物線解析式為：.（2）令，∴x1=-1，