第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省漳州市華安一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某物體沿直線運動，位移y(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系為y(t)=1?2t+t2，則該物體在t=3s時的瞬時速度是(

)A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s2.已知A(2,1,1)，B(4,?1,m)，C(6,n,2)，若A，B，C三點共線，則m+n的值為(

)A.32 B.?32 C.?33.已知a=(?1,2,2)，b=(1,1,1)，則a在b上的投影向量為(

)A.(33,33,4.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=90090,x>390?x3A.150 B.200 C.250 D.3005.如圖，在三棱錐M?ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，MA=23，F(xiàn)是MC的中點，則異面直線MB與AF所成角的余弦值是(

)A.33

B.34

C.6.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，滿足f(x)+f′(x)>0(f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù))，設(shè)a=ef(1)，b=e3f(3)，c=eA.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b7.函數(shù)f(x)=2+lnx與函數(shù)g(x)=ex公切線的斜率為(

)A.1 B.±e C.1或e D.1或e8.已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2，在其圖象上任取兩個不同的點P(x1,y1)A.[4,+∞) B.[1,+∞) C.(4,+∞) D.(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題，以下正確的命題(

)A.?3是函數(shù)y=f(x)的極值

B.函數(shù)y=f(x)有最小值無最大值

C.y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調(diào)遞增

D.y=f(x)在x=1處切線的斜率小于零10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是(

)A.若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底，則a+b，a+b+c，c必共面

B.若空間中任意一點O，有OP=13OA+16OB+12OC，則P，A，B11.已知函數(shù)f(x)=x3?|3xA.f(x)只有1個極小值點

B.曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線斜率為9

C.當(dāng)f(x)有3個零點時，m的取值范圍為(?3,1)

D.當(dāng)f(x)只有1個零點時，m的取值范圍為(?∞,?3)∪(1,+∞)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(?1,1,1)，b=(m,0,1)，若(a+b13.若函數(shù)f(x)=x3?ax2?bx+a2在14.已知x>0，e2x?2lnx+(4?a)x≥2lna恒成立，則正數(shù)a的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1在x=?1及x=3處取得極值．

(1)求a，b的值；

(2)求函數(shù)16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于點E，D為CC1的中點．

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?12x2，a∈R．

(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的極值點；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)f(x)在[1,e]上恒小于018.(本小題17分)

圖1是邊長為2的正方形ABCD，將△ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐P?ABC，且PB=2．

(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)棱PA上是否存在一點M，使得平面ABC與平面MBC的夾角的余弦值為53919.(本小題17分)

函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題，即函數(shù)的凹凸性，函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點的弦的中點與曲線上相應(yīng)點(即具有相同橫坐標的點)的位置關(guān)系來描述定義如下：

設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，如果對D上任意兩點x1，x2恒有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，則稱f(x)在區(qū)間D上的圖形是凹的(圖1)，區(qū)間D為f(x)凹的區(qū)間；

設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，如果對D上任意兩點x1，x2恒有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，則稱f(x)在區(qū)間D上的圖形是凸的(圖2)，區(qū)間D為f(x)凸的區(qū)間；

關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：

設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，在區(qū)間D上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

①如果f(x)在D上恒有f″(x)>0，則f(x)在區(qū)間D上的圖象是凹的；如果f(x)在區(qū)間D上的圖象是凹的，則f(x)在D上恒有f″(x)>0；

②如果f(x)在D上恒有f″(x)<0，則f(x)在區(qū)間D上的圖象是凸的；如果f(x)在區(qū)間D上的圖象是凸的，則f(x)在D上恒有f″(x)<0；

其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，為f(x)的一階導(dǎo)數(shù)；f″(x)答案解析1.【答案】C

【解析】解：∵y(t)=1?2t+t2，∴y′(t)=?2+2t，

∴當(dāng)t=3時，y′(3)=2×3?2=4，

即該物體在t=3s時的瞬時速度是4m/s．

故選：C．

根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的物理意義即可求解．2.【答案】B

【解析】解：已知A(2,1,1)，B(4,?1,m)，C(6,n,2)，

可得AB=(2,?2,m?1)，AC=(4,n?1,1)，

因為A，B，C三點共線，所以AB=λAC，

即(2,?2,m?1)=λ(4,n?1,1)，

解得λ=12，n=?3，m=32，所以m+n=?32．

故選：3.【答案】C

【解析】解：由a=(?1,2,2)，b=(1,1,1)，得a?b=3，|b|=3，

所以a在b上的投影向量為a4.【答案】D

【解析】解：由題意當(dāng)年產(chǎn)量為x時，總成本為20000+100x，

又總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=90090,x>390?x3900+400x,0≤x≤390，

∴總利潤Q(x)=90090?20000?100x,???x>390?x3900+400x?20000?100x,?0≤x≤390，即Q(x)=?100x+70090,????x>390?x3900+300x?20000,0≤x≤390

①當(dāng)0≤x≤390時，Q′(x)=?x2300+300，令Q′(x)=0得x=300，

由Q′(x)<0得300<x≤390，此時Q(x)是減函數(shù)，

由Q′(x)>0得0<x<300，此時Q(x)是增函數(shù)，

∴當(dāng)0≤x≤390時，Q(x)max=Q(300)=40000(元)；

②當(dāng)x>390時，Q(x)=?100x+70090是減函數(shù)，∴Q(x)<Q(390)=31090(元)；

∴當(dāng)x=300時，5.【答案】D

【解析】解：設(shè)E為BC的中點，連接FE，如圖，

∵E是BC的中點，

∴FE//BM,MB=4,FE=2,AF=2,AE=3，

在△AFE中，由余弦定理可知cos∠AFE=22+22?32×2×2=58，

∴異面直線BE與6.【答案】B

【解析】解：因為f(x)的定義域為(0,+∞)，滿足f(x)+f′(x)>0，

令g(x)=exf(x)(x>0)

則g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0，

所以函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

因為3>2>1，所以b>c>a．7.【答案】C

【解析】解：因為f(x)=2+lnx，g(x)=ex，所以f′(x)=1x,g′(x)=ex，

設(shè)切點分別為(x1,2+lnx1)，(x2,ex2)，x1>0，x2>0，

則切線斜率為k=1x1=ex2=2+lnx1?ex2x1?x8.【答案】A

【解析】解：由已知得x1>x2>0，則f(x1)?f(x2)x1?x2>4化為f(x1)?f(x2)>4x1?4x2，

即f(x1)?4x1>f(x2)?4x2，

令函數(shù)g(x)=f(x)?4x=alnx+12x2?4x，9.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈(?∞,?3)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(?3,+∞)時，f′(x)≥0，

所以函數(shù)y=f(x)在(?∞,?3)上單調(diào)遞減，在(?3,+∞)上單調(diào)遞增，

則?3是函數(shù)y=f(x)的極小值點，不是極值，故A錯；

f(x)在x=?3處取得最小值，但無最大值，故B正確；

由以上分析可是y=f(x)在區(qū)間(?3,1)上單調(diào)遞增，故C正確；

由y=f′(x)圖象可知函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0，所以切線的斜率大于零，故D不正確．

故選：BC．

由極值的定義可判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可判斷B，C，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點處的導(dǎo)數(shù)即為在該點處的切線斜率可判斷D．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABD

【解析】解：對于選項A，若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c不共面，

因為(a+b)+c=a+b+c，則a+b，a+b+c，c必共面，故A選項正確；

對于選項B，在OP=13OA+16OB+12OC中，16+13+12=1，所以P，A，B，C四點共面，故B選項正確；

對于選項C，當(dāng)a?b11.【答案】BCD

【解析】解：對于A：∵f(x)=x3?|3x2?3|?m，

當(dāng)x≥1或x≤?1時，f(x)=x3?3x2+3?m，

則f′(x)=3x2?6x=3x(x?2)，

∴當(dāng)x>2或x≤?1時，f′(x)>0，當(dāng)1≤x<2時，f′(x)<0，

∴f(x)在(?∞,?1]，(2,+∞)上單調(diào)遞增，在[1,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)?1<x<1時，f(x)=x3+3x2?3?m，

則f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，

∴當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，當(dāng)?1<x<0時，f′(x)<0，

∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(?1,0)上單調(diào)遞減，

則f(x)在x=0，x=2處取得極小值，

故f(x)有2個極小值點，故A錯誤；

對于選項B：因為f′(3)=3×32?6×3=9，

∴曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線斜率為9，故B正確；

對于選項C：令g(x)=x3?|3x2?3|，

則g(x)的圖象如下所示：

其中f(x)的圖象是由g(x)的圖象向下(m>0)或向上(m<0)平移|m|個單位得到，

∵f(?1)=?1?m，f(0)=?3?m，f(1)=1?m，f(2)=?1?m，

要使f(x)有3個零點，

則f(0)<0f(?1)>0或f(2)<0f(1)>0或f(?1)=f(2)=0，

則?3?m<0?1?m>0或?1?m<01?m>0或?1?m=0，

解得?1<m<1或?3<m<?1或m=?1，

綜上可得m的取值范圍為(?3,1)，故C正確；12.【答案】4

【解析】解：a=(?1,1,1)，b=(m,0,1)，

則a+b=(?1+m,1+0,1+1)=(m?1,1,2)，

(a+b)?a=(m?1)×(?1)+1×1+2×1=?m+1+1+2=?m+4=013.【答案】15

【解析】解：因為f(x)=x3?ax2?bx+a2，因此f′(x)=3x2?2ax?b，由題意得f′(1)=3?2a?b=0f(1)=1?a?b+a2=10，解得a=3或?4，

當(dāng)a=3時，b=3?2a=?3，f′(x)=3x2?6x+3=3(x?1)2≥0，

故f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，舍去，

當(dāng)a=?4時，b=3?2a=11，f′(x)=3x2+8x?11=(x?1)(3x+11)，

當(dāng)x<?113或x>1時，f′(x)>0，當(dāng)?113<x<1時，f′(x)<014.【答案】(0,2e]

【解析】解：由e2x?2lnx+(4?a)x≥2lna，

可得e2x?2lnx+4x?ax≥2lna，

即e2x+4x≥2(lna+lnx)+ax，

可得e2x+4x≥2ln(ax)+ax．

令f(x)=ex+2x，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，

由e2x+4x≥2ln(ax)+ax=eln(ax)+2ln(ax)，可得f(2x)≥f(ln(ax))，

故2x≥ln(ax)，即lna≤2x?lnx．

令?(x)=2x?lnx(x>0)，則?′(x)=2?1x=2x?1x，

當(dāng)0<x<12時，?′(x)<0，當(dāng)x>12時，?′(x)>0，

所以?(x)在(0,12)上單調(diào)遞減，在(1215.【答案】a=?3，b=?9；

12x+y?2=0．

【解析】(1)由題意可得f′(x)=3x2+2ax+b，

由f(x)在x=?1及x=3處取得極值，可得f′(x)=0的兩根為x=?1，x=3，

所以3?2a+b3?2a+b=027+6a+b=0，解得a=?3b=?9，

此時f′(x)=3x2?6x?9=3(x+1)(x?3)，

所以f(x)在區(qū)間(?∞,?1)，(3,+∞)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

在區(qū)間(?1,3)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以x=?1及x=3是極值點，符合題意．

所以a=?3，b=?9．

(2)由(1)得f(x)=x3?3x2?9x+1，f′(x)=3x2?6x?9，

f′(1)=?12，f(1)=?10，則切線方程為y?(?10)=?12(x?1)，

化簡得，函數(shù)16.【答案】解：(1)證明：因為三棱柱ABC?A1B1C1為直三棱柱，

所以AA1⊥平面ABC，又AC?平面ABC，

所以AA1⊥AC，

又AC⊥AB，AB∩AA1=1，AB?平面AA1B1B，AA1?平面AA1B1B，

所以AC⊥平面AA1B1B，

因為BE?平面AA1B1B，

所以AC⊥BE，

又因為BE⊥AB1，AC∩AB1=A，AC?平面AB1C，AB1?平面AB1C，

所以BE⊥平面AB1C；

(2)由(1)知AB，AC，AA1兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0)，B1(2,0,4)，C(0,2,0)，B(2,0,0)【解析】(1)先證明AA1⊥AC，從而可得AC⊥平面AA1B1B17.【答案】極大值點x=1，無極小值點；

當(dāng)a≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，函數(shù)在(0,a)上單調(diào)遞增，在[a,+∞)【解析】解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=lnx?12x2，定義域為(0,+∞)．

f′(x)=1x?x=1?x2x=(1?x)(1+x)x，

令f′(x)=0，得x=1，

當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

f(x)在x=1時取得極大值，無極小值．

所以f(x)的極大值點是x=1，無極小值點．

(2)f(x)=alnx?12x2，則f′(x)=ax?x=?x2+ax，x>0，

當(dāng)a>0時，f′(x)=?(x+a)(x?a)x，

x∈(0,a)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

x∈[a,+∞),f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

當(dāng)a≤0時，f′(x)=?x2+ax<0恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減．

綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時，函數(shù)在(0,a)上單調(diào)遞增，在[a,+∞)上單調(diào)遞減．

(3)函數(shù)f(x)在[1,e]上恒小于0，等價于f(x)max≤0．

由(2)知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減，故f(x)max=f(1)=?12<0恒成立，故a≤0符合題意；

當(dāng)a>0時，若a≤1，即0<a≤1，函數(shù)在[1,e]上單調(diào)遞減，

故f(x)max=f(1)=?12<0，成立，故0<a≤118.【答案】解：(1)證明：取AC的中點O，連接OB，OP，

在正方形ABCD中，OB=OD=OP=1，并且OB⊥AC，

在△OBP中，PB2=OP2+OB2，所以O(shè)B⊥OP，

因為OP∩AC=O，OP，AC?平面PAC，

所以O(shè)B⊥平面PAC，而OB?平面ABC，

所以平面PAC⊥平面ABC；

(2)存在點M，當(dāng)AM=13AP時，滿足題意，理由如下：

因為OB，OA，OP兩兩垂直，

所以以O(shè)為原點，OB，OA，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz，

則A(0,1,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,?1,0)，

因為OP⊥平面ABC，

所以平面ABC的法向量為OP=(0,0,1)，

假設(shè)存在滿足題意的點M，且AM=λAP(0≤λ≤1)，則M(0,1?λ,λ)，

CB=(1,1,0)，CM=(0,2?λ,λ)，

設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z)，

則有n?CB=x+y=0n?CM=(