第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市濟(jì)鋼高級(jí)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若C20x=C203x?4A.2 B.4 C.6 D.2或62.已知事件A，B，若P(B)=47，P(AB)=37，則A.34 B.328 C.4213.已知y=f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，其圖象如圖所示，則以下選項(xiàng)中正確的是(

)A.x=0和x=2是函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,1)

C.函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極小值，在x=2處取得極大值

D.函數(shù)y=f(x)的最大值為f(2)，最小值為f(0)4.已知隨機(jī)變量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，則P(40<X<80)=A.0.21 B.0.29 C.0.71 D.0.795.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在A.0或?7 B.?7 C.0 D.76.某次團(tuán)員公益志愿活動(dòng)中，需安排6名志愿者去甲、乙、丙3個(gè)活動(dòng)場(chǎng)地配合工作，每個(gè)活動(dòng)場(chǎng)地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活動(dòng)場(chǎng)地，志愿者B不去乙活動(dòng)場(chǎng)地，則不同的安排方法共有(

)A.18種 B.12種 C.9種 D.6種7.已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，且P(X≥1)=23，P(X=3)=16，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)=5A.19 B.16 C.194 D.8.將(6x?13xA.24 B.36 C.144 D.576二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若(2x?1)10=a0+A.a1+a2+?+a10=1 10.已知函數(shù)f(x)=e2x?2ax?1，則下列說法正確的是A.若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x，則a=1

B.若a=1，則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

C.若a>e2，則函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值為a?alna?1

D.若f(x)≥011.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(

)A.第2次投籃的人是乙的概率為0.6．

B.前2次投籃的人都是甲的概率為0.3．

C.第2次投籃的人是甲的概率為0.6．

D.第i次投籃的人是甲的概率為13三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，用四種不同顏色給矩形A、B、C、D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有______．13.(x2+2)(114.如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角α，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，恒有∠AOB≤α成立，則稱角α為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：y=xex?1+1,x>0,116x2+1,x≤0(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

一批產(chǎn)品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方法從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)：方法一：先隨機(jī)抽取1件，放回后再隨機(jī)抽取1件；方法二：一次性隨機(jī)抽取2件．記方法一抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為ξ1，方法二抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為ξ2．

(1)求ξ1，ξ2的分布列；16.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(ax+b)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x?2y+2ln2?1=0．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)?xx+1，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)求證：當(dāng)x≥0時(shí)，有17.(本小題15分)

詩詞大會(huì)的挑戰(zhàn)賽上，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝，比賽最多進(jìn)行5輪(挑戰(zhàn)者和守擂者依次答題一次為一輪)，若第五輪挑戰(zhàn)者答題正確則不論守擂者答對(duì)與否都認(rèn)為挑戰(zhàn)者獲勝.賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問題的概率都是12，且每次答題互不影響.(其中挑戰(zhàn)者第五輪答對(duì)問題概率為13)

(1)若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)的條件下，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？

(2)在此次比賽中，挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率是多少？

(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)全部6位守擂者，以(2)中求得的挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率作為挑戰(zhàn)者面對(duì)每個(gè)守擂者的獲勝概率，每次挑戰(zhàn)之間相互獨(dú)立，若最終統(tǒng)計(jì)結(jié)果是挑戰(zhàn)者戰(zhàn)勝了不少于三分之二的守擂者，則稱該挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)成功，反之則稱挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)失敗.若再增加118.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?x2+(a?2)x+a?3ex(x>0)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，19.(本小題17分)

在數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)課上，小明設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：在一個(gè)盒子中裝有藍(lán)球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球，一共有偶數(shù)個(gè)小球，現(xiàn)在從盒子中一次摸一個(gè)球，不放回．

(1)若盒子中有6個(gè)球，從中任意摸兩次，摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球的概率為35．

①求紅球的個(gè)數(shù)；

②從盒子中任意摸兩次球，記摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

(2)已知盒子中有一半是紅球，若“從盒子中任意摸兩次球，至少有一個(gè)紅球”的概率不大于1114，求盒子中球的總個(gè)數(shù)的最小值．

(3)在(2)的條件下，盒中球的總數(shù)為x，若“從盒子中任意摸兩次球，恰有兩個(gè)紅球”獎(jiǎng)勵(lì)4x元，若“從盒子中任意摸兩次球，恰有一個(gè)紅球”獎(jiǎng)勵(lì)8+156x答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵C20x=C203x?4，∴x=3x?4或x+3x?4=20，解得x=2或6，

2.【答案】A

【解析】解：P(A|B)=P(AB)P(B)=3747=33.【答案】C

【解析】解：根據(jù)圖象可知，0<x<2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，x<0或x>2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，

則f(x)在(?∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取極小值，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取極大值，故B錯(cuò)誤，C正確，

由圖只能確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性以及極值點(diǎn)，無法確定具體的函數(shù)值，故AD無法確定．

故選：C．

由f′(x)的正負(fù)性可以確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性以及極值點(diǎn)，可判斷B

C，但因無具體的解析式，故無法確定具體的函數(shù)值，故AD無法確定．

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．4.【答案】B

【解析】解：已知隨機(jī)變量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，得μ=80，

則P(40<X<80)=P(80<X<120)，

故P(40<X<80)=0.5?P(X>120)=0.5?0.21=0.29．

5.【答案】B

【解析】解：f′(x)=3x2+2ax+b，

∴f′(1)=3+2a+b=0，①，

f(1)=1+a+b+a2=10，②，

由①②得：a=4b=?11或a=?3b=3，

而要在x=1能取到極值，則△=4a2?12b>0，舍去a=?3b=3，

所以只有a=4b=?11

∴a+b=?7，

6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，分2類討論．

第一類，B去甲活動(dòng)場(chǎng)地，則A，B在一起，都去甲活動(dòng)場(chǎng)地，將剩下4人分為2組，

安排在乙、丙兩個(gè)活動(dòng)場(chǎng)地即可，有C42C22=6(種)安排方法；

第二類，B不去甲活動(dòng)場(chǎng)地，則B必去丙活動(dòng)場(chǎng)地，在剩下4人中選出2人安排在乙活動(dòng)場(chǎng)地，

再將剩下2人分別安排到甲、丙活動(dòng)場(chǎng)地，有C42?A22=12(種)安排方法．

7.【答案】A

【解析】解：由題知P(X=0)=13，設(shè)P(X=1)=a，則P(X=2)=12?a，

因此E(X)=0×13X0123P1111則D(X)=13×(0?54)2+14×(1?548.【答案】C

【解析】解：二項(xiàng)式(6x?13x)6的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1=(?1)rC6r?x2?r2，r=0，1，2，…，6，

令2?r2為整數(shù)，可得r=0，2，4，6，

展開式共有7項(xiàng)，其中有4個(gè)x的次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，把展開式中的項(xiàng)重新排列，9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)選項(xiàng)A，(2x?1)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10，

令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+?+a10=1，

所以a1+a2+?+a10=0，故A錯(cuò)誤．

對(duì)選B，因?yàn)?2x?1)10=a0+a1x+a2x2+?+10.【答案】BCD

【解析】解：f′(x)=2e2x?2a．

則k=f′(0)=2?2a=2，解得a=0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=e2x?2x?1，f′(x)=2e2x?2．

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，e2x>e0=1，則2e2x?2>2×1?2=0，即f′(x)>0．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)正確．

f′(x)=2e2x?2a=2(e2x?a)，令f′(x)=0，即e2x?a=0，解得x=12lna．

當(dāng)a>e2時(shí)，12lna>1．

當(dāng)x∈[1,12lna)時(shí)，e2x?a<0，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(12lna,+∞)時(shí)，e2x?a>0，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以f(x)在x=12lna處取得最小值，f(12lna)=e2×12lna?2a×12lna?1=a?alna?1，故C選項(xiàng)正確．

當(dāng)a≤0時(shí)，e2x>0，則f′(x)=2e2x?2a>0，f(x)在R上單調(diào)遞增．

當(dāng)x→?∞時(shí)，e2x→0，f(x)→?∞，不滿足f(x)≥0．

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)=0，得x=12lna．

當(dāng)x∈(?∞,1211.【答案】ABD

【解析】解：記“第2次投籃的人是乙”為事件A，

“第1次投籃的人是甲”為事件B，則A=BA+B?A，

對(duì)于A選項(xiàng)，有P(A)=P(BA+B?A)=P(BA)+P(B?A)，

=P(B)P(A|B)+P(B?)P(A|B?)=0.5×(1?0.6)+0.5×0.8=0.6，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，P(BA?)=P(B)P(A?)=0.5×0.6=0.3，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，P(A?)=P(BA?+B?A?)=P(BA?)+P(B?A?)

=P(B)P(A?|B)+P(B?)P(A?|B?)=0.5×0.6+0.5×0.2=0.4，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為P(i)12.【答案】48

【解析】解：求不同的涂色方法有兩類辦法：

①若A，D同色，

則用4種顏色涂4個(gè)區(qū)域有A44種；

②若A，D同色，

則用3種顏色涂4個(gè)區(qū)域有A43種，

則不同的涂色方法共有A44+A43=48(13.【答案】3

【解析】【分析】先求得(1x2【解答】

解：因?yàn)?1x2?1)5的通項(xiàng)為Tr+1=C5r·(1x2)5?r·(?1)r=(?1)r14.【答案】π2【解析】解：當(dāng)x>0時(shí)，過原點(diǎn)作y=xex?1+1的切線，

設(shè)切點(diǎn)A(x1,x1ex1?1+1)，

y′=(x+1)ex?1，k1=(x1+1)ex1?1，

則切線方程為y?(x1ex1?1+1)=(x1+1)ex1?1(x?x1)，

又切線過點(diǎn)(0,0)，

所以?x1ex1?1?1=?x1(x1+1)ex1?1，

整理得x12ex1?1?1=0，

設(shè)g(x)=x2ex?1(x>0)，

則g′(x)=(x15.【答案】解：(1)隨機(jī)變量ξ1的可能取值為0，1，2，

且ξ1～B(2,310)，

則P(ξ1=0)=Cξ012P49219隨機(jī)變量ξ2的可能取值為0，1，2，且ξ2服從超幾何分布，

且P(ξ2=0)=C30C7ξ012P771(2)E(ξ1)=E(ξ2).理由如下：由(1)知，方法一中E(ξ1)=2×310=【解析】(1)隨機(jī)變量ξ1的可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列；隨機(jī)變量ξ2的可能取值為0，1，2，且ξ2服從超幾何分布，求出概率，得到分布列．

(2)求解期望，推出16.【答案】解：(I)f′(x)=aax+b．

因?yàn)閥=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x?2y+2ln2?1=0，

所以有f′(1)=aa+b=12f(1)=ln(a+b)=ln2，

解得a=1b=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=ln(x+1)，

所以g(x)=ln(x+1)?xx+1，定義域?yàn)??1,+∞)．

則g′(x)=x(x+1)2．

令g′(x)=x(x+1)2=0，解得x=0，

當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)>0，

當(dāng)?1<x<0時(shí)，g′(x)<0，

所以g(x)=f(x)?xx+1的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,0)．

(Ⅲ)證明：令函數(shù)m(x)=f(x)?xe?x(x≥0)，

所以m′(x)=1x+1?【解析】(Ⅰ)利用切線方程建立方程組求解；

(Ⅱ)由(Ⅰ)確定g(x)的解析式，再求導(dǎo)即可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)m(x)=f(x)?xe?x(x≥0)17.【答案】13；

13；

【解析】(1)設(shè)事件A為“挑戰(zhàn)者獲勝”，事件B為“不多于兩次答題就決出勝負(fù)”，則P(B)=12+12×12=34，

又事件AB為“不多于兩次答題就決出勝負(fù)且挑戰(zhàn)者獲勝”，即只有“挑戰(zhàn)者獲勝，守擂者失敗”這一種情況，

則P(AB)=12×12=14，P=P(A|B)=P(AB)P(B)=1434=13；

(2)挑戰(zhàn)者和守擂者依次答題一次為一輪，

每一輪答題中兩人都答對(duì)的概率為12×12=14，進(jìn)行k輪后不分勝負(fù)的概率為(14)k，

則第k輪挑戰(zhàn)者獲勝的概率為(14)k?1?12?(