第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州市奧林匹克中學高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算2C75+A.62 B.102 C.152 D.5402.函數f(x)=ex+x2的圖象在A.y=2x+1 B.y=x+2 C.y=x+1 D.y=2x+23.把4本不同的書分給3名同學，每個同學至少一本，則不同的分發(fā)數為(

)A.12種 B.18種 C.24種 D.36種4.已知函數f(x)，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則(

)A.f(x)有2個極值點

B.f(x)在x=1處取得極小值

C.f(x)有極大值，沒有極小值

D.f(x)在(?∞,1)上單調遞減5.廣東省第十二屆大學生運動會將于2025年5月5日至6月5日在廣州市舉行.某電視臺為了報道此次運動會，計劃從甲、乙、丙、丁、戊5名記者中選派2人前往現場進行報道.若記者甲被選中，則記者乙也被選中的概率為(

)A.12 B.23 C.356.(x?y2)(x+2y)5A.12 B.40 C.60 D.1007.已知(1+x)2021=a0A.2021×22021 B.2021×22020 C.8.如圖，某種雨傘架前后兩排共8個孔，編號分別為1?8號.若甲、乙、丙、丁四名同學要放傘，每個孔最多放一把傘，則甲放在奇數孔，乙放在偶數孔，且丙、丁沒有放在同一排的放法有(

)A.68種 B.136種 C.272種 D.544種二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則下列選項正確的是(

)X246810P2a0.250.10.25a+0.1A.a=0.1 B.EX=6

C.E(2X+1)=12 D.D(2X+1)=33.610.3個人坐在一排5個座位上，則下列說法正確的是(

)A.共有60種不同的坐法 B.空位不相鄰的坐法有72種

C.空位相鄰的坐法有24種 D.兩端不是空位的坐法有27種11.已知直線y=a與函數f(x)=ex?x的圖象相交于A，B兩點，與函數g(x)=x?lnx的圖象相交于B，C兩點，A，B，C的橫坐標分別為x1，x2，A.ex2?lnx2=2a B.x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.現有10道四選一的單選題，甲對其中8道題有思路，2道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.8，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.甲從這10道題中隨機選擇1題，則甲做對該題的概率是______．13.22024+1除以14.已知函數f(x)=lnxx2，關于x的方程f(x)?2f(x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數f(x)=lnx+x2+ax+2在點(2,f(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直．

(1)求a；

(2)求16.(本小題15分)

已知(x+12x2)n(n?4,n∈N?)的展開式中，第5項與第3項的二項式系數之比為15：217.(本小題15分)

某物理實驗技能競賽分基本操作與技能操作兩步，第一項基本操作：每位參賽選手從A類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的(否則終止比賽)，才能進行第二步技能操作：從B類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.A類題操作正確得10分，B類題操作正確得20分.以兩步操作得分總和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎，100分為一等獎.某校選手李明A類7題中有5題會操作，B類5題中每題正確操作的概率均為23，且各題操作互不影響．

(1)求李明被終止比賽的概率；

(2)求李明獲一等獎的概率；

(3)現已知李明A類題全部操作正確，求李明B類題操作完后總分的期望．18.(本小題17分)

某醫(yī)學研究院為尋找防治甲流的新技術，對甲流疑似病例進行檢測與診斷.研究員抽取了5名甲流疑似病例，假設其中僅有一名感染甲流，需要通過化驗血液來確認感染甲流的人，若化驗結果只有陽性和陰性兩種，且化驗結果呈陽性，則為甲流感染者，化驗結果呈陰性，則不是甲流感染者.現有兩個檢測方案：

方案一：先從5人中隨機抽取2人，將其血液混合，進行1次檢測，若呈陽性，則選擇這2人中的1人檢測即可；若呈陰性，則對另外3人進行檢測，每次檢測1人，找到甲流感染者則停止檢測．

方案二：對5人進行逐個檢測，找到甲流感染者則停止檢測．

(1)分別求出利用方案一、方案二所需檢測次數的分布列與數學期望；

(2)已知檢測前需一次性花費固定成本500元，檢測費用為400元/次，請分別計算利用兩種方案檢測的總費用的期望值，并以此作為決策依據，判斷選擇哪個方案更好．19.(本小題17分)

已知函數f(x)=m(lnx?1)?(2?m)x(m≠0)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)設函數F(x)=f(x)+2sinx+1(x∈(0,2π])，求證：當m=1時，F(x)恰有兩個零點．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：原式=2×7×62+5×4=62．

故選：A．

2.【答案】C

【解析】解：f′(x)=ex+2x，則f′(0)=1，

又f(0)=1，

則所求切線方程為y?1=x，即y=x+1．

故選：C．

3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查排列組合及簡單計數問題，屬于基礎題．

每人至少一本，并且全部分完，需要從4個元素中選出2個元素，和另外2個元素一起全排列即可．【解答】

解：由題意知4本不同的書分給3名同學，每個同學至少一本，并且全部分完，

∴需要先從4個元素中選出2個元素，然后和另外2個元素一起全排列，

共有C42·A34.【答案】C

【解析】解：由題意及圖得，

f(x)在(?∞,3)上單調遞增，在(3,+∞)上單調遞減，

∴f(x)有一個極大值，沒有極小值，

∴A，B，D錯誤，C正確，

故選：C．

通過導函數圖象分析函數的單調性即可得出結論．

本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和極值，屬于基礎題．5.【答案】D

【解析】解：根據題意，若記者甲被選中，需要在剩下4名記者中選派1人，

則記者乙也被選中的概率為14．

故選：D．

根據題意，若記者甲被選中，需要在剩下4名記者中選派1人，由條件概率的定義計算可得答案．

6.【答案】C

【解析】解：因為(x?y2)(x+2y)5=x(x+2y)5?y2(x+2y)5，

其中(x+2y)5展開式的通項為Tr+1=C5rx5?r(2y)r(r∈{0,1,2,3,4,5})7.【答案】B

【解析】解：由題可知，ar=C2021r，對(1+x)2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+?+a2021x2021

等式，

兩邊分別求導可得：2021(1+x8.【答案】B

【解析】解：根據題意，分2種情況討論：

①甲乙放在同一排，有C21C21C21C21C41=64種放法，

②9.【答案】ABD

【解析】解：因為2a+0.25+0.1+0.25+a+0.1=1，

解得a=0.1，故選項A正確；

此時E(X)=2×0.2+4×0.25+6×0.1+8×0.25+10×0.2=6，故選項B正確；

而E(2X+1)=2E(X)+1=2×6+1=13，故選項C錯誤；

因為D(X)=(2?6)2×0.2+(4?6)2×0.25+(6?6)2×0.1+(8?6)2×0.25+(10?6)2×0.2=8.4，

所以D(2X+1)=4D(X)=4×8.4=33.6，故選項D正確．

故選：ABD10.【答案】AC

【解析】解：對于A，C53A33=5×4×33×2×1×3×2×1=60，故正確；

對于B，A33C42=3×2×1×4×32×1=36，故錯誤；

對于C，A33×4=3×2×1×4=24，故正確；

11.【答案】ACD

【解析】解：由題意可得f′(x)=ex?1，當x>0時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x<0時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．

又g′(x)=1?1x，當0<x<1時，g(x)<0，g(x)單調遞減；

當x>1時，g′(x)>0，g(x)單調遞增．

作出函數f(x)=ex?x與g(x)=x?ln?x的圖象，如圖所示：

由題意可知，ex1?x1=ex2?x2=x2?lnx2=x3?lnx3=a，

其中x1<0<x2<1<x3，

對于A，由ex2?x2=a，x2?lnx2=a，可得ex2?lnx2=2a，故A正確；

選項B，因為ex1?x1=x2?lnx2=elnx2?lnx2，

且x1<0，lnx2<0，f(x)在12.【答案】0.69

【解析】解：記事A：甲對該題有思路；A?：甲對該題沒有思路；事B：甲做對該題．

則P(A)=0.8，P(A?)=0.2，P(B|A)=0.8，P(B|A?)=0.25．

.∴P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=0.8×0.8+0.2×0.25=0.6913.【答案】2

【解析】解：由題意有1+22024=(24)506=1+16506=1+(15+1)506

=C5060×15506+C14.【答案】(?∞,1【解析】解：由題意得，f′(x)=1x?x2?lnx?2xx4=1?2lnxx3,x>0，

當0<x<e時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；

當x>e時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

則f(x)max=f(e)=12e，

又x→0時，f(x)→?∞，x>1時，f(x)>0，

可知函數f(x)的圖象如下圖所示：

令t=f(x)，t≤12e，

由方程f(x)?2f(x)=a有三個不等的實根，

即t?2t=a有兩個不等的實根，

即t2?at?2=0有兩個不等的實根，且一個根小于0，另一個根在(0,12e)內，

令g(t)=t2?at?2,t≤12e，

則g(t)=t2?at?2=0有兩個不等的實根，

15.【答案】解：(1)f′(x)=1x+2x+a，則f′(2)=12+2×2+a=92+a，

由題意可得(92+a)×(?23)=?1，解得a=?3；

(2)由a=?3，故f(x)=lnx+x2?3x+2，

則f′(x)=1x+2x?3=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，x>0，

故當0<x<12時，f′(x)>0，當【解析】(1)結合導數的幾何意義及直線垂直的性質計算即可得；

(2)借助導數可討論單調性，即可得極值．

本題主要考查利用導數研究函數的極值，屬于中檔題．16.【答案】n=12；49516；

49516【解析】(1)由題意，可得二項式(x+12x2)n展開式的通項為：Tr+1=Cnrxn?r?(12x2)r=2?r?Cnrxn?3r，r=0，1，2，…，n．

因為第5項與第3項的二項式系數之比為15：2，可得Cn4Cn2=152，即(n?2)(n?3)12=152，

解得n=12，

所以Tr+1=2?r?C12rx12?3r，令17.【答案】0.06×0.250.0525=27；

8189；【解析】(1)設事件M=“李明被終止比賽”，

則P(M)=C22C52C74=27；

(2)設N=“李明獲一等獎”，

則P(N)=C54C74(23)3=8189；

(3)設李明在競賽中，A類題全部操作正確后得分為X，

則X=40，60，80，100，

又B類題正確操作題數n～B(3,23)，

可得P(X=40)=C30(23)0(13)3=127；

P(X=60)=C31(2318.【答案】方案一的分布列見解析，期望為125，方案二的分布列見解析，期望為145；

方案一檢測總費用的期望值為1460元，方案二檢測總費用的期望值為1620【解析】(1)設方案一所需檢測次數為隨機變量X，則隨機變量X的取值為2，3，

X=2時，有如下兩種情況：

①第1次檢測2人的混合血液呈陽性，第2次任選這2人中的1人檢測即可確定甲流感染者，其概率為C41C52=25；

②第1次檢測2人的混合血液呈陰性，第2次檢測另外3人中的1人呈陽性，其概率為C42C52×1C31=15；

所以可以得到P(X=2)=25+15=35X23P32將表格數據代入期望公式可得：E(X)=2×35+3×25=125；

設方案二所需檢測次數為隨機變量Y，則隨機變量Y的取值為1，2，3，4，Y1234P1112將表格數據代入期望公式可得：E(Y)=1×15+2×15+3×15+4×25=145；

(2)設方案一、方案二的檢測總費用分別為隨機變量ξ1，ξ2，

通過題意可以得到：ξ1=400X+500，ξ2=400Y+500，

方案一的期望值E(ξ1)=400E(X)+500=400×125+500=1460(元)，

方案二的期望值E(ξ2)=400E(Y)+500=400×145+500=1620(元)，

因為E(ξ1)<E(ξ2)，所以選擇方案一更好．19.【答案】當m≥2時，f(x)在(0,+∞)上單調遞增；當0<m<2時，f(x)在(0,m2?m)上單調遞增，在(m2?m,+∞)上單調遞減；當m<0時，f(x)在【解析】(1)解：函數的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=m?1x?(2?m)=(