第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省深圳市華中師大龍崗附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1?i20242+i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，b=3，A=30°，則B=(

)A.60°或120° B.60° C.120° D.30°或150°3.如圖，在△ABC中，AD=13AB，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)CA=a，CB=A.23a?16b

B.24.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+22+25.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=5，A.16π B.24π C.25π D.36π6.如圖，向透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD?A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，水是定量的(體積為V).A.水面EFGH所在四邊形的面積不是定值

B.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形

C.棱A1D1一定與平面EFGH平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，BE7.已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43A.100π B.128π C.144π D.192π8.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.其答案如下：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成120°角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a2+c2?b2=3,2sinBsin(C+πA.?1 B.?2 C.?3 D.?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.z?z?=|z|2，z∈C

B.i2024=?1

C.若|z|=1，z∈C，則|z?2|的最小值為1

D.若10.如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3(acosC+ccosA)=2bsinB，且∠CAB=π3.若點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC=1A.△ABC的內(nèi)角B=π3

B.△ABC的內(nèi)角C=π3

C.四邊形ABCD面積的最大值為532+3

D.四邊形ABCD面積無(wú)最大值

11.A.圓錐SO的側(cè)面積為42π

B.三棱錐S?ABC體積的最大值為83

C.∠SAB的取值范圍是(π4,π3)

D.三棱錐S?ABC12.若向量a，b滿足|a|=32，|b|=1，a13.如圖，中華中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高氣度，先在山腳A處測(cè)得山頂C處的仰角為60°，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高400m的M處(即MD=400)，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，則山高BC=______m.14.如圖在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，AA1中點(diǎn)，P在側(cè)面ADD1A四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=a+2i(a∈R)，且z(2?i)是純虛數(shù)．

(Ⅰ)求復(fù)數(shù)z；

(Ⅱ)若復(fù)數(shù)(z?mi)2(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足2bcosC=2a?c．

(1)求角B；

(2)如圖，若△ABC外接圓半徑為263，D為AC的中點(diǎn)，且BD=2，求17.(本小題15分)

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE，BE=λBA+μBC，

(1)求λ+μ的值；

(2)若F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，18.(本小題17分)

已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中AB=3，AA1>BC，其外接球的表面積為29π，平面A1C1B截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD?A1C1D19.(本小題17分)

“但有一枝堪比玉，何須九畹始征蘭”，盛開(kāi)的白玉蘭是上海的春天最亮麗的風(fēng)景線，除白玉蘭外，上海還種植木蘭科的其他栽培種，如黃玉蘭和紫玉蘭等.某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地AOB分成三部分，分別種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭；已知扇形的半徑為70米，圓心角為2π3，動(dòng)點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)Q在OB上，且PQ//OA．

(1)求扇形空地AOB的周長(zhǎng)和面積；

(2)當(dāng)OQ=50米時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；

(3)綜合考慮到成本和美觀原因，要使白玉蘭種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大.設(shè)∠AOP=θ，求△OPQ面積的最大值．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：由題意知，1?i20242+i=i?12+i=(2?i)(i?1)(2?i)(2+i)=?1+3i5=?15+35i，

2.【答案】A

【解析】解：∵a=1，b=3，A=30°，

∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：sinB=b?sinAa=3×121=3.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，AD=13AB，且E是CD的中點(diǎn)，

所以EA=?AE=?12(AC+4.【答案】D

【解析】解：如圖過(guò)D′作DE⊥O′B′，

由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，

即A′D′=2A′E=12×(4?2)×2=2，即B錯(cuò)誤；

還原平面圖為下圖，

即AB=4=2CD,AD=22，即A錯(cuò)誤；

過(guò)C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23，

故四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：4+2+22+23=6+25.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳B2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，所以三角形ABC是直角三角形，

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則S△ABC=12(5+12+13)r=12×5×12,r=2，

2r=4<A6.【答案】D

【解析】解：依題意將容器傾斜，隨著傾斜度的不同可得如下三種情形，

對(duì)于A：水面EFGH是矩形，線段FG的長(zhǎng)一定，從圖1到圖2，再到圖3的過(guò)程中，

線段EF長(zhǎng)逐漸增大，則水面EFGH所在四邊形的面積逐漸增大，故A正確；

對(duì)于B：依題意，BC/?/水面EFGH，而B(niǎo)C?平面BCC1B1，平面BCC1B1∩平面EFGH=FG，

則BC/?/FG，同理BC/?/EH，而B(niǎo)C/?/AD，BC=FG=EH=AD，

又BC⊥平面ABB1A1，平面ABB1A1/?/平面CDD1C1，

因此有水的部分的幾何體是直棱柱，長(zhǎng)方體去掉有水部分的棱柱，沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)锳1D1//BC//FG，A1D1?平面EFGH，F(xiàn)G?平面EFGH，因此A1D1/?/平面EFGH，故C正確；

對(duì)于D7.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了正三棱臺(tái)和外接球的關(guān)系應(yīng)用，球體表面積公式的應(yīng)用．

找到球心，求得半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果．【解答】

解：由題得△ABC與△A1B1C1均為正三角形，且A1B1=33，AB=43，

設(shè)△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，球心為O，

則O一定在直線O1O2上，易得A1O1=3，AO2=4．

當(dāng)球心在線段O1O2上時(shí)，如圖?①所示，設(shè)OO1=x，0<x<1，球半徑為r，

則OO2=1?x，r2=A1O18.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?sinBsin(C+π3)=2sinB(12sinC+32cosC)=sinBsinC+3sinBcosC，

角A，B，C為三角形ABC的內(nèi)角，

則A+B+C=π，

3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+3cosBsinC，

所以sinBsinC+3sinBcosC=3sinBcosC+3cosBsinC，

即sinBsinC=3sinCcosB.因?yàn)閟inC≠0，所以tanB=sinBcosB=9.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，

則z?z?=(a+bi)(a?bi)=a2+b2，|z|2=a2+b2，故A正確；

i4=1，

則i2024=(i4)506=1，故B錯(cuò)誤；

|z|=1，z∈C，表示以(0,0)為圓心，1為半徑的圓，

|z?2|表示該圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)的距離，

故|z?2|的最小值為1，故C正確；

?4+3i是關(guān)于x的方程x10.【答案】ABC

【解析】解：∵3(acosC+ccosA)=2bsinB，

∴3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinB?sinB，

∴sinB=32，

∴B=π3.故A正確．

又∵∠CAB=π3．

∴C=π3，故B正確．

等邊△ABC中，設(shè)AC=x，x>0，

在△ADC中，由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2?2AD?CD?cosD，

由于AD=3，DC=1，代入上式可得：x2=10?6cosD

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12x?xsinπ3+12?3sinD=34x211.【答案】ABD

【解析】解：在Rt△SOC中，SC=SO2+OC2=22，則圓錐的母線長(zhǎng)l=22，半徑r=OC=2，

對(duì)于A，圓錐SO的側(cè)面積為：πrl=42π，A正確；

對(duì)于B，VS?ABC=13×12AB?BC?SO=16×2AB?BC≤16(AB2+BC2)=16AC2=83，

當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=22時(shí)等號(hào)成立，

即AB=BC=22時(shí)，三棱錐S?ABC的體積取最大值83，故B正確；

對(duì)于C，△SAB是等腰三角形，SA=SB，又因?yàn)镾A2+SC2=16=AC2，則∠ASC=π2，

依題意，0<∠ASB<π2，而∠SAB=π2?12∠ASB，因此∠SAB∈(π4,π212.【答案】7【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由向量垂直的判斷方法可得a?(a【解答】

解：根據(jù)題意，向量a，b滿足|a|=32，|b|=1，a⊥(a?b)

則a?(a13.【答案】600

【解析】解：由題意可知，∠AMD=45°，MD=400，

則AM=2MD=4002，

又∠CAB=60°，

則∠MAC=180°?60°?45°=75°，

觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，

則∠MCB=75°，即∠ACM=∠MCB?∠ACB=75°?30°=45°，∠AMC=180°?45°?75°=60°，

在△MAC中，由正弦定理可得，ACsin∠AMC=MAsin∠ACM，即ACsin60°=4002sin45°，解得14.【答案】[3【解析】解：設(shè)△PEF中邊EF的高為?，連接A1C1，C1D，

則三棱錐P?BEF的體積V=13×12×32?×6=9，故?=322，

A1D和點(diǎn)A到EF的距離為322，故P的軌跡為線段A1D和點(diǎn)A，

點(diǎn)P在線段A1D上時(shí)，△A1C1D為邊長(zhǎng)為62的等邊三角形，

故P到C1的最短距離為32×6215.【答案】解：(Ⅰ)∵復(fù)數(shù)z=a+2i(a∈R)，

∴z(2?i)=(a+2i)(2?i)=(2a+2)+(4?a)i，又z(2?i)是純虛數(shù)．

∴2a+2=04?a≠0，∴a=?1，

∴z=?1+2i；

(Ⅱ)∵(z?mi)2=(?1+2i?mi)2=[1?(2?m)2]?2(2?m)i，

又復(fù)數(shù)(z?mi)2(m∈R)【解析】(Ⅰ)根據(jù)純虛數(shù)的概念建立方程即可求解；

(Ⅱ)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義建立不等式即可求解．

本題考查純虛數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，方程思想，不等式思想，屬基礎(chǔ)題．16.【答案】解：(1)因?yàn)?bcosC=2a?c，

由余弦定理可得2b?a2+b2?c22ab=2a?c，

整理可得：a2+c2?b2=ac，

再由余弦定理可得a2+c2?b2=2accosB，

則cosB=12，

又B∈(0,π)，可得B=π3；

(2)若△ABC外接圓半徑為263，

由正弦定理可得：bsinB=2×263，

由(1)可得AC=b=2×263×32=22，

由D為AC的中點(diǎn)，可得AD=CD=12AC=2，

在△ABC中，由余弦定理可得

cosB=a2+【解析】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)由題意及余弦定理可得B的余弦值，再由B的范圍，可得B角的大小；

(2)由(1)和三角形的外接圓的半徑可得b邊的值，由余弦定理可得a，c的關(guān)系，再在△ADB，△BCD中，由余弦定理求出∠ADB，∠BDC的余弦表達(dá)式，再由這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出a+c的值，從而求出三角形的周長(zhǎng)．17.【答案】λ+μ=43；

?【解析】(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，

則A(?1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(?1,1)，E(?13,1)，

可得BA=(?1,0)，BC=(0,1)，BE=(?13,1)，

由BE=λBA+μBC=(?λ,μ)，

則有?λ=?13μ=1，所以λ+μ=43；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE：y=?3x，x∈[?13,0]上，

設(shè)F(a,?3a)，a∈[?13,0]，

由G為AF中點(diǎn)，可得G(a?12,?32a)，

可得AF=(a+1,?3a)，DG=(a+1218.【答案】證明見(jiàn)解析；

4；

39+61【解析】(1)證明：根據(jù)長(zhǎng)方